文化融入梯形教學，促進面積公式理解

陳春叢 石義霞

【摘要】在梯形的面積學習過程中，數學文化融入，豐富對梯形面積的認識和體驗，不僅促進對梯形面積的問題性理解、應用性理解。還能增強對梯形面積的關系性理解、方法性理解，豐富對梯形的文化體驗。

【關鍵詞】小學數學;梯形的面積;數學文化;數學理解

平面圖形的面積是小學數學重要內容之一，其主要內容是面積公式的推導過程以及公式的理解并且在現實生活中的運用。對于求陌生的平面圖形面積，可以建立在已知的、熟悉的圖形基礎上，通過轉化等思想方法推導出來。在應試教育的大背景下，大部分的老師在授課過程中，重技巧輕思想，重結果輕過程，尤其重視解決強化訓練，機械練習，忽視在應用上、思考上、文化上的體驗，以及對數學的理解。教學中融入數學文化目的就是要解決數學文化為何要融入數學教學教育中的問題，下面將圍繞著在豐富的歷史背景下如何推導出梯形的面積公式以及對面積公式的理解。

一、文化融入教學，促進對梯形的理解

數學理解是培養核心素養的基礎和前提，可以說是數學的精髓。要想做到運用數學解決問題，就必須認識其本質與價值，同時也要掌握規律。數學文化融入可以豐富教學內容，促進數學理解?？梢?，數學文化融入數學教學教育顯得十分必要。

學習需要理解，就是能對某個知識主題有深入的認識和深刻的思考，沒有理解就沒有真正的學習，數學理解的本質是對數學概念、規則或方法的理解且數學理解的水平具有層次性，包括對數學概念、公式、定理、問題的理解。

（一）聯想圖形時形成問題性理解

數學問題是引領學生進行數學思考的指揮棒，思考問題之間的聯系，達到解決問題的目的。通過陌生的、不熟悉的圖形可聯想到熟悉的圖形，求熟悉圖形的面積已有方法，陌生圖形如何化歸成熟悉的圖形求面積，創設問題情境，促進學生獲得對梯形面積更深層次問題性理解。例如利用兩個同樣三角形拼成平行四邊形或者長方形。但是歷史上有個叫劉徽的數學家將三角形沿高的中點剪下，再將得到的三角形分成兩個小三角形，最后和下面得梯形拼湊成長方形，這種方法也稱為“出入相補”法。

在遇到未知的平面圖形要求面積時，可以通過拼剪方式把未知的平面圖形轉化成已知的平面圖形，進而求面積，可以引導學生對梯形進行拼剪。

（二）深度思考中增進方法性理解

方法作用于思維，思維活動是方法多樣化的核心與動力。數學思想、轉化、割補等方法手段靈活運用有利于促進對梯形面積方法性理解。由于梯形是平面圖形之一，所以“轉化”方法成為探討梯形面積的靈魂。其面積可以通過轉換成已知平面圖形的面積，其中劉徽“出入相補”的經典原理，在梯形面積中得到進一步的應用。

師：同學們可以講一下自己的看法。

生1：如圖1，要求其面積，只需求平行四邊形與三角形的面積。

生2：如圖2，兩個完全重合的梯形組成一個平行四邊形，那平行四邊形的二分之一就是一個梯形的面積。

生3：如圖3，梯形由兩個一樣的小三角形和一個長方形組成，積梯形的面積=2×一個三角形的面積+長方形的面積。

生4：將梯形通過對折旋轉變成長方形如圖4，梯形的面積=長方形的面積。

師：這位同學的想法不錯，運用的原理和劉徽的“出入相補”原理是一樣的。

師：掌聲鼓勵他們。大家都很棒，都能把梯形轉化成熟悉的圖形進一步求得梯形得面積。轉化成熟悉的平面圖形，那能找到求梯形面積的公式嗎？

（三）關聯圖形中形成關系性理解

數學的關系性理解是指對事物意義和結構的認識，不僅要認識替代物的本身結構，還要從替代物遷移到關聯的事物，從而獲得新事物的概念與新認識。通過各種數學方法尋找、確立、形成各種聯系，建立其種概念、屬概念間的聯系，形成更精細、更復雜的只是體系，聯系越多，理解越豐富，認識越深刻。

梯形的關系性理解主要體現在它與平行四邊形等平面圖形之間的聯系，通過圖形間的關聯建立梯形面積的立體網絡體系，總結梯形面積公式，增強對面積公式的關系性理解。

梯形與三角形的關系 如圖5，將梯形中的陰影部分（1）剪下移到位置（2），于是梯形就拼成一個三角形。

梯形與平行四邊形的關系 如圖6 拼得的梯形面積是平行四邊形的倍，平行四邊形的底為梯形上、下兩底之和。

梯形與長方形的關系

如圖4，梯形通過對折旋轉變成長方形。

（五）追溯歷史中形成文化性理解

歐幾里德《幾何原本》中定義何為梯形和作為幾何發源地的古埃及因尼羅河泛濫而需重新分配土地，體現出梯形歷史之悠久。通過經典的圖形、案例、歷史名題、數學家的不懈追求等資源的教學運用，有利提升情境創設的策略，提高教學效果，促進數學的文化性理解。數學文化滲透入梯形的面積公式，加深對公式的理解。

九章中的方法 早在《九章算術》就記載著邪田（直角梯形的田）術日：并兩邪而半之 ，以乘正從若廣，又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。

意思是：求直角梯形的面積時，梯形上底加下底的和的再乘以高或者寬就是梯形的面積;或者梯形的高（寬）乘以，再與梯形的上、下底之和的乘積，也可以得到梯形的面積。

師：其實在《九章算術》中還有另外一種說法?；铮ǖ妊菪蔚奶铮┬g日：并踵舌而半之，以乘正從，畝法而一。

意思是：要求等腰梯形的面積時，用梯形的上底加下底的和的，與高的乘積就可以得到梯形的面積。

總統方（證）法比較有趣的具有代表性的歷史名題，能多方位理解、趣味應用梯形的面積公式。1876年，美國總統伽菲爾德有個理解幾何的方法，用三個直角三角形拼成一個梯形如圖7，問這個圖形的面積等于多少？（若a=6，b=8，c=10）

方法一? 用梯形面積公式

梯形的面積=（a+b）×（b+a）÷2=（6+8）×（8+6）÷2=98

方法二? 三個直角三角形面積之和

梯形的面積=三個直角三角形面積之和=（a×b÷2）×2+c×c÷2=（6×8÷2）×2+10×10÷2=98

經典圖形? 如圖8，邊長為a的正方形中，從邊上挖去一個邊長為b的小正方形，然后裁剪出兩個梯形，能求這兩個梯形的面積嗎？能求的話，梯形面積是多少？（若a=4，b=2）注：圖中兩個梯形的面積是相等的

解法一? 利用梯形公式計算

一個梯形的面積=（b+a）×（a-b）÷2=（4+2）×（4-2）÷2=6。兩個梯形的面積=6×2=12

解法二? 利用正方形面積公式計算

兩個梯形的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=a×a-b×b=4×4-2×2=12。

師：除了上面那兩種解法，你們還能想到其他方法嗎？其實啊，還有另外一種解法。把兩個梯形拼成一個大的梯形，再根據我們學的梯形的面積公式，也可以求了，這個留到課后去你們去解答。

師：你們可以獨立完成這一道題目嗎？如圖9，邊長為a的正方形中，從中間挖去一個邊長為b的小正方形，然后裁剪出四個梯形，能求這四個梯形的面積嗎？能求的話，梯形面積是多少？（若a=4，b=2）注：四個梯形的面積是相等的。

這個課后思考。

二、結語

梯形的面積看似平面圖形面積的一個小章節，但是卻蘊含的豐富的歷史文化，以及具有承上啟下的作用。上承三角形、平行四邊形等平面圖形的面積，下啟一些公式與定理的證明。同時這也表明一個數學的知識點不是獨立存在的，而是有著千絲萬縷的;而數學理解就是能把個個知識點聯系起來，研究梯形的面積的公式，不僅要通過已有的研究手段去推導面積公式，還要理解其關系。文化的融入使得梯形的面積不僅僅局限在圖形與幾何那部分，對研究數與代數也起著重要的作用。不僅學到古人解決問題的方法，而且還可以了解到更多數學知識的發展、由來，更加理解數學、了解數學。

【本文系廣東教育學會十四五教育科研課題 “小學數學課堂教學滲透數學文化教育的研究”（編號：GDES14056）的研究成果】

參考文獻

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