孟憲良
【摘 要】 縱觀近兩年高考,試卷命題整體以全國教育大會精神為指引,全面貫徹落實“五育并舉”的教育方針,突出學科核心素養,著重考查考生的閱讀能力、思維能力以及綜合運用能力.本文以近兩年高考天津卷中的數列題型為例,提出幾點教學思考.
【關鍵詞】 核心素養;立德樹人;課程評價
1 2021年天津卷整體結構分析
試卷秉承“穩中有新,穩中有變”的命題原則,在知識結構、能力結構、難度結構上完整統一,考查基礎知識的同時,注重考查能力,以數學學科核心素養為導向,將知識、能力、素養融為一體,全面檢測考生的數學學科素養.
第1題集合的交并補運算,第2題充分必要條件,這兩道題注重考查學生的數學運算的核心素養.第3題考查圖象辨析,培養學生綜合運用函數的基本性質,發現函數的變化趨勢.
第4題統計中頻率分布直方圖,以大家熟悉的網絡平臺推送影視作品為選材,以實際生活為背景,需要學生能從具體生活實際中抽象出數學模型,從統計圖表中發現關鍵信息,處理生活中的概率統計問題.第5題比較大小,借助指對函數圖像及指對函數性質,題型穩定,變化不大.第6題球的接切問題,注重學生空間想象能力的培養,提升學生直觀想象的核心素養.第7題為一道指對運算的題目.第8題為圓錐曲線的考查,雙曲線與拋物線的結合.第9題是以函數零點問題為背景,考查學生分析函數的方法,強調從代數化簡推導到幾何作圖,充分考查了考生的數形結合思想與轉化化歸思想,考驗學生分析問題、解決問題的綜合能力.
填空第10題和11題仍然是復數與二項式定理的考查,旨在考查數學運算核心素養.第12題是直線與圓的考查,注重幾何與代數結合的考查,難度適中.第13題基本不等式的考查,注重學生對于基礎知識的運用和綜合分析能力的考查.第14題作為概率與統計知識的考查.第15題是平面向量知識的考查,同樣是采用了雙空的形式,面向全體學生.
解答題第16題是利用正余弦定理解三角形,考查學生的基礎性應用.第17題立體幾何知識的考查.第18題圓錐曲線橢圓解答題的考查,本題意在考查學生題目的綜合分析能力以及計算能力,從提升學生的數學核心素養的角度出發.第19題數列,第一問還是等差等比數列的基本量運算;第二問為數列求和問題;在第三問加大了難度,尤其是放縮方法的結合,求和時需要先放縮去除根號,才能用錯位相減法求和,提高了數列題型的技巧性.第20題,作為試卷的最后一題,綜合了函數與導數知識,既有對函數、導數基本知識方法的考查,又有對導數與不等式綜合能力的考查.
2 夯實基礎,注重解題規范
例如 2020年、2021年天津卷的數列題,我們要注重解題規范,首先獲得基礎分值.例如第一問:求an和bn的通項公式,屬于對學生基本公式和基礎能力的考查.
2020年19題 已知an為等差數列,bn為等比數列,a1=b1=1,a5=5a4-a3,b5=4b4-b3.
(Ⅰ)求an和bn的通項公式;
(Ⅱ)記an的前n項和為Sn,求證:SnSn+2<S2n+1n∈N*;
(Ⅲ)對任意的正整數n,
設cn=3an-2bnanan+2,n為奇數,an-1bn+1,n為偶數.
求數列cn的前2n項和.
思路分析 (Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比,然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列an前n項和,然后利用作差法證明即可;
(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式,然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算∑nk=1c2k-1和∑nk=1c2k的值,據此進一步計算數列cn的前2n項和即可.
詳解過程 (Ⅰ)設等差數列an的公差為d,等比數列bn的公比為q.
由a1=1,a5=5a4-a3,可得d=1.
從而an的通項公式為an=n.
由b1=1,b5=4b4-b3,
又q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,
從而bn的通項公式為bn=2n-1.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可得Sn=n(n+1)2,
故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),S2n+1=14n+12n+22,
從而SnSn+2-S2n+1=-12(n+1)(n+2)<0,
所以SnSn+2<S2n+1.
(Ⅲ)當n為奇數時,cn=3an-2bnanan+2=(3n-2)2n-1n(n+2)=2n+1n+2-2n-1n,
當n為偶數時,cn=an-1bn+1=n-12n,
對任意的正整數n,有
∑nk=1c2k-1=∑nk=122k2k+1-22k-22k-1=22n2n+1-1,
和∑nk=1c2k=∑nk=12k-14k=14+342+543+…+2n-34n-1+2n-14n ,①
由①得14∑nk=1c2k=142+343+544+…+2n-34n+2n-14n+1,②
由①②得34∑nk=1c2k=14+242+…+24n-2n-14n+1=241-14n1-14-14-2n-14n+1,
由于241-14n1-14-14-2n-14n+1=23-23×14n-14-2n-14n×14=512-6n+53×4n+1,
從而得:∑nk=1c2k=59-6n+59×4n.
因此,∑2nk=1ck=∑nk=1c2k-1+∑nk=1c2k=4n2n+1-6n+59×4n-49.
所以,數列cn的前2n項和為4n2n+1-6n+59×4n-49.
命題意圖 本題主要考查數列通項公式的求解,分組求和法,指數型裂項求和,錯位相減求和等,屬于中等題.
命題方向 這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現.多為中檔題,數列是歷年高考的熱點,主要考查數列的通項公式及前n項和.
方法總結 高考命制綜合題時,常將等差、等比數列結合在一起,形成兩者之間的相互聯系和相互轉化,破解這類問題的方法是首先尋找通項公式,利用性質之間的對偶與變式進行轉化.
常見錯誤解法及教學建議
第1問常見錯誤解法:
錯誤解法1 在第一問中,出現計算錯誤.
錯解 a5=5(a4-a3)
a1+4d=5(a1+3d-a1+2d),(此時的符號運算已經出現錯誤)
21d=1,所以d=121.
錯誤解法2:等比數列通項公式的記憶錯誤,很多學生把通項公式記成:bn=b1qn
從而,得到bn=2n的錯解.
教學建議 注意基本公式的準確性.
第2問常見錯誤解法:
錯誤解法1 等差數列前n項公式錯誤
例如 錯誤公式1:Sn=na1+n(n+1)2d
錯誤公式2:Sn=n(an-a1)2=n(n-1)2
錯誤解法2 證明方法隨意、不規范,對于作差、作商、分析法,沒有規范的書寫格式.
錯誤解法3 把an的前n項和為Sn誤當做bn前n項和計算,
即Sn=1-2n1-2=2n-1,
在此時的情況下,Sn+1=2n+1-1;
Sn+2=2n+2-1,
SnSn+2=(2n-1)(2n+2-1)=22n+2-2n+2-2n+1,
S2n+1=(2n+1-1)2=22n+2-2n+2+1.
利用作差等方法比較大小.
教學建議 注意解題方法的規范性.
第3問常見錯誤解法:
錯誤解法1 當n為奇數時,裂項形式錯誤
高頻錯誤方式有:
(1)3n-2·2n-1nn+2=(3n-2)·2n-2·(1n-1n+2);
(2)3n-2·2n-1nn+2=(2n+2n+2-2nn).
錯誤解法2 不清楚前2n項最后一個奇數項是哪一個.
2021年19題
已知{an}是公差為2的等差數列,其前8項和為64.{bn}是公比大于0的等比數列,b1=4,b3-b2=48.
(Ⅰ)求an和bn的通項公式;
(Ⅱ)記cn=b2n+1bn,n∈N.
(i)證明cn2-c2n是等比數列;
(ii)證明∑nk=1akak+1ck2-c2k<22(n∈N).
詳解過程
(Ⅰ)解:記等差數列an的公差為d,前n項和為Sn,由題意知d=2,S8=64,
代入公式Sn=na1+n(n-1)2d,解得a1=1,所以an的通項公式為an=2n-1.
設等比數列bn的公比為q,由b1=4,b3-b2=48,可得q2-q=12,又q>0,
解得q=4,所以bn的通項公式為bn=4n.
(Ⅱ)(i)證明:由(Ⅰ)可得cn2=(b2n+1bn)2=(42n+14n)2=44n+142n+2×4n,
cn2-c2n=44n+142n+2×4n-(44n+142n)=2×4n,
因為對任意n∈N,有c2n+1-c2(n+1)cn2-c2n=2×4n+12×4n=4,所以cn2-c2n是等比數列.
(ii)證明:由(Ⅰ)和(Ⅱ)(i),有
akak+1ck2-c2k=(2k-1)(2k+1)2×4k=4k2-12×4k<4k22×4k=2·k2k,
則∑nk=1akak+1ck2-c2k<2∑nk=1k2k.
記Tn=∑nk=1k2k,即
Tn=12+222+323+…+n2n.?? (1)
由(1)得12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1. ??(2)
由(1)(2)得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1,從而得
Tn=2-n+22n<2.
所以,∑nk=1akak+1ck2-c2k<2Tn<22(n∈N).
3 拓展數學思維,應對題型變化
數學是思維的科學,數學教學的根本任務就是優化學生的思維品質.在高考復習的過程,始終要堅持思維有邏輯,知識常梳理,賦予學生獨立探索的過程,體會高考題中的內在聯系,促進“高考經驗”的形成,從而提升學生解決實際問題的能力,提高課堂復習效率,從容面對題型變化,獲得更加優異的成績.
參考文獻:
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