計及多狀態嚙合的面齒輪傳動系統動力學建模與動態特性分析

朱凌云 顧美華 茍向鋒

（天津工業大學 機械工程學院， 天津 300387）

0 引言

面齒輪傳動系統由主動直齒輪和共軛面齒輪組成，用于傳遞相交軸或交叉軸之間的運動和動力。因其具有結構緊湊、體積小、重合度大、傳動功率大、分流效果好、噪聲低等諸多優點，已被廣泛應用于直升機、航空減速器等對空間占用和質量要求嚴格的重要傳動裝置中。

自20 世紀50 年代美國Fellows Gear Shaper 公司報道了面齒輪加工方法以來[1]，越來越多的學者開始致力于面齒輪的研究。Litvin 等[2-5]在面齒輪的設計理論、加工方法、應力分析等方面做出了杰出貢獻。Feng等[6]建立了漸開線斜齒面齒輪傳動全齒面的精確模型。Zhou等[7]提出了一種生成面齒輪齒面幾何形狀的新型包絡法，并用于面齒輪的數控銑削加工。Fu等[8]提出了一種新的面齒輪齒廓修形方法，可精確控制其修形參數。

隨著齒輪設計方法及制造工藝的成熟，動態特性對齒輪傳動過程中的穩定性和可靠性的影響逐漸成為研究的重點。Lin 等[9-10]建立曲面齒輪傳動系統的非線性動力學模型，研究了不完全振動的運動響應及扭轉振動。Li等[11]建立面齒輪傳動系統的4 自由度動力學模型，研究了小齒輪齒根疲勞裂紋對面齒輪傳動動力學行為的影響。Chen 等[12-14]建立6 自由度面齒輪副動力學模型，研究了修形及時變嚙合剛度對系統動態行為的影響。Chen 等[15]利用有限元法計算面齒輪的時變嚙合剛度，分析了傳動誤差激勵對面齒輪傳動系統非線性動力學特性的影響。馮光碩等[16]提出了面齒輪非對稱時變嚙合剛度的計算方法。林騰蛟等[17]研究了面齒輪傳動系統的彎扭動力學模型中的分岔、準周期運動和混沌現象。

通常，面齒輪傳動系統非線性動力學建模主要采用集中質量法，模型中考慮了諸如輸入和輸出軸激勵、時變嚙合剛度、齒側間隙、傳動誤差和嚙合阻尼等因素。已有研究結果對揭示面齒輪傳動系統的非線性動力學特性非常有效，但無法獲得系統的嚙合條件和動態嚙合力。Shi 等[18]提出了一種基于多狀態嚙合的直齒輪副動力學建模方法，分析其動態嚙合力與嚙合狀態的變化，為研究齒輪傳動中的振動提供了新思路。

本文中建立了接近面齒輪傳動系統實際工作狀態的非線性動力學模型，考慮各種嚙合參數及實際嚙合齒廓和由重合度所引起的多狀態嚙合，計算了系統動態嚙合力的變化及載荷對其非線性動力學的影響。

1 非線性動力學模型

面齒輪傳動系統由直齒圓柱齒輪和面齒輪組成。主動輪為輸入軸上的直齒輪，其質量、轉動慣量、驅動力矩和齒數分別為mp、Ip、Tp和Zp；從動輪為輸出軸上的面齒輪，其質量、轉動慣量、阻抗力矩和齒數分別為mf、If、Tf和Zf；Ifx為面齒輪在x軸上的轉動慣量；y軸和z軸分別為直齒輪和面齒輪的軸線。如圖1所示，面齒輪傳動系統可簡化為6自由度的含剛性支撐的彎扭擺振動系統。系統參數如表1所示。

圖1 面齒輪傳動系統簡化物理模型Fig.1 A simplified physical model of face-gear transmission system

表1 面齒輪傳動系統參數Tab.1 Parameters of the studied face-gear transmission system

面齒輪傳動系統的重合度大于1.0，且存在齒側間隙，傳動過程中會出現齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙等3種嚙合狀態。分別建立了其非線性動力學模型。

1.1 考慮多狀態嚙合的彎扭擺模型

齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙狀態下的受力分別如圖2（a）、圖2（b）、圖2（c）所示。直齒輪沿z軸和x軸的平動位移分別為zp和xp；繞y軸的角位移為θp。面齒輪沿z軸和x軸的平動位移分別為zf和xf；繞z軸的旋轉角位移為θf；繞x軸的扭擺角位移為θfx。齒面嚙合時，直齒輪驅動面齒輪沿嚙合線N1N2運動；齒背接觸時，面齒輪推動直齒輪沿接觸線M1M2運動。Fnp1、Fnp2分別為沿嚙合線N1N2或接觸線M1M2方向作用在直齒輪輪齒上的正壓力；Fnf1、Fnf2分別為沿嚙合線N1N2或接觸線M1M2方向作用在面齒輪輪齒上的正壓力；Fmp1、Fmp2、Fmf1和Fmf2分別為垂直于嚙合線N1N2或接觸線M1M2的摩擦力。

圖2 面齒輪受力示意圖Fig.2 Force diagram of a face-gear transmission system

根據齒輪嚙合原理，嚙合輪齒處于雙齒區時，齒面嚙合狀態下，沿嚙合線N1N2方向的總動態嚙合力大于0，即Fnf1+Fnf2＞0；沿嚙合線N1N2方向的相對位移大于齒側間隙的一半，即x0＞Dn。齒背接觸狀態下，沿接觸線M1M2方向的總動態嚙合力小于0，即Fnf1+Fnf2＜0；沿接觸線M1M2方向的相對位移小于齒側間隙一半的負值，即x0＜-Dn。脫嚙狀態下，作用在輪齒上的力為0，相對位移滿足-Dn＜x0＜Dn。嚙合輪齒處于單齒區時，上述條件中，Fnp1、Fnf1均為0。多狀態下的系統絕對扭彎擺振動方程為

式中，cpx和cpz分別為輸入軸上軸承沿x軸和z軸的支承阻尼系數；kpx和kpz分別為輸入軸上軸承沿x軸和z軸的支承剛度；cfx和cfz分別為輸出軸上軸承沿x軸和z軸的支承阻尼系數；kfx和kfz分別為輸出軸上軸承沿x軸和z軸的支承剛度；cfxx和kfxx分別為面齒輪在x軸上的扭轉阻尼系數和支撐剛度；f（xp）和f（zp）分別為軸承在輸入軸上的間隙函數；f（xf）和f（zf）分別為軸承在輸出軸上的間隙函數；在“±”和“?”中，當齒面嚙合時，分別取兩符號上部的“+”和“-”；當齒背接觸時，分別取兩符號下部的“-”和“+”。

沿N1N2或M1M2方向作用在直齒輪和面齒輪第i對齒上的正壓力為

式中，Lyi（τ）（y=u，v；i=1，2）為第i對輪齒的載荷分配系數，u和v分別對應齒面嚙合和齒背接觸狀態。

沿嚙合線方向的總動態嚙合力為

式中，τ為時間；kn（τ）、Cn分別為時變嚙合剛度和嚙合阻尼系數；x0為沿嚙合線方向的相對位移，x0=rbpθp+xpcosα+zpsinα-ryf2θf-xfcosα-zfsinα-e(τ)；e（τ）為綜合傳遞誤差；Dn為齒側間隙的一半。

面齒輪傳動中，直齒輪不受軸向力，面齒輪不受徑向力。根據其嚙合原理及點接觸原理，面齒輪副所受法向力始終與直齒輪的基圓相切，則嚙合線是一條與直齒輪基圓相切的直線?？梢?，嚙合點到直齒輪回轉中心和面齒輪回轉中心的距離都是時變的，且摩擦力的方向總是與嚙合線垂直。

垂直于N1N2和M1M2的摩擦力為

式中，μyi為齒面摩擦因數。

摩擦力方向系數為

式中，rp為直齒輪節圓半徑；rypi（τ）、ryfi（τ）分別為第i對輪齒上嚙合點到直齒輪和面齒輪中心的距離，計算式分別如式（6）、式（7）所示。

式中，Sypi、Syfi分別為第i對輪齒上嚙合點到直齒輪和面齒輪中心的摩擦力臂，計算式分別由式（8）～式（10）所示。式中，ha為齒頂高；α、ωp分別為直齒輪節圓壓力角和角速度；αc為面齒輪壓力角，αc=α+arccos(rf/ryfi)；rf為節點到面齒輪軸心的距離，rf=mzf/2；T0為單雙齒交替嚙合周期，T0= 2π/zpωp；rff、rfm分別為點M1到點P和回轉中心的距離。

將式（1）無量綱化，即為

式中，q分別代表x1、x2、z1和z2；d為軸承間隙，d=bpx/D0=bpz/D0=bfx/D0=bfz/D0。

1.2 系統無量綱歸一化彎-扭-擺模型

齒側間隙和重合度大于1.0，決定面齒輪傳動系統存在單/雙齒齒面嚙合、單/雙齒齒背接觸和脫嚙等多種嚙合狀態。相對位移大于齒側間隙的一半且嚙合力大于0，即x3≥D且Fn＞0時，系統處于單/雙齒齒面嚙合；x3≤D且Fn＜0 時，系統處于單/雙齒齒背接觸；當-D＜x3＜D且Fn= 0時，系統發生脫嚙。

定義嚙合力在x方向的狀態函數rx（t，x3）為

式中，rxd（t，x3）、rxs（t，x3）分別為雙、單齒嚙合在x方向的狀態函數，可分別由式（14）和式（15）求得；j為周期數。

定義嚙合力在z方向的狀態函數rz（t，x3）為

雙齒嚙合和單齒嚙合在z方向的狀態函數rzd（t，x3）和rzs（t，x3）可分別由式（17）、式（18）求得。

嚙合狀態函數h（t、x3）、rzf（t、x3）可分別由式（19）、式（20）求得。

式中，hd（t，x3）、rzfd（t，x3）和hs（t，x3）、rzfs（t，x3）分別為雙齒嚙合和單齒嚙合的狀態函數，可分別由式（21）～式（24）求得。

將狀態函數式（15）～式（26）引入到面齒輪傳動系統非線性動力學模型中，則可化為包含5種狀態的無量綱歸一化扭彎擺模型，即

式中，f（x3）為齒側間隙函數，計算式為

無量綱非線性動態嚙合力Fn可用來判別嚙合狀態，其方向與x3相同，可由式（27）計算得到。

由式（27）中可見，與現有非線性動力學模型相比，本文中所建立的含多狀態嚙合的系統扭彎擺非線性模型中，考慮了嚙合剛度、載荷分配率、摩擦、齒側間隙和綜合傳動誤差等因素，有以下特點：①包含的狀態函數h（t，x3）和rzf（t，x3）可以準確反映面齒輪傳動系統的嚙合狀態。②包含的狀態函數rz（t，x3）明確區分了單齒嚙合和雙齒嚙合。③可通過方程中有關齒廓的時變參數來分析齒廓變形和修形對面齒輪系統的影響。④動態嚙合力可準確說明其對嚙合狀態的影響。

2 動態嚙合力與嚙合狀態分析

根據重合度計算方法，可得面齒輪的近似重合度εm=1.72。此時，嚙合齒對出現單、雙齒交替，其嚙合區域劃分如圖3 所示。圖3 中，AD為嚙合線的工作部分，A和D分別為嚙入點和嚙出點，P為節點，BC為單齒嚙合區（對應輪齒上的B1C1），AB和CD為雙齒嚙合區（對應輪齒上的A1B1和C1D1）。沿嚙合線AD的載荷分配率可根據文獻[19]求得。

圖3 沿嚙合線嚙合區域的劃分Fig.3 Division of engagement area along the action line

為了說明動態嚙合力與嚙合狀態之間的關系，嚙合頻率ω分別取1.1、2.1和3.4，分析其動態特性及不同嚙合狀態發生機理。式（25）中的其他無量綱參數取k11=k12=k13= 0.15，k21=k22=k23= 0.3，k31= 0.3，k32=0.32，k33= 0.31，k= 0.3，ξ31= 0.06，ξ32= 0.07，ξ33= 0.012，ξ11=ξ12= 0.01，ξ23= 0.07，ξ= 0.05，ξ13=ξ21=ξ22= 0.06，ε= 0.2，F= 0.14。

2.1 齒面嚙合

圖4所示為嚙合頻率ω=1.1時，面齒輪傳動系統動態嚙合力隨無量綱時間t的變化及其相圖。由圖4中可見，動態嚙合力始終大于0，相對位移x3大于無量綱齒側間隙D的一半，表明系統處于齒面嚙合狀態，未發生脫嚙、齒背嚙合。圖5所示為ω=1.1時的載荷分配率（圖5（a））和動態嚙合力（圖5（b））沿嚙合線的分布圖。圖5 中，點A和點D分別為嚙入點和嚙出點。根據載荷分配率，動態嚙合力不均勻地分配給兩對齒。當嚙合點從點A移動到點B時，n+1 齒對上的動態嚙合力逐漸減小，n齒對上的動態嚙合力增加。n+1齒對在點B處分離，系統進入單齒嚙合；n-1 齒對在點C進入嚙合。單雙齒切換時，動態嚙合力發生突變。動態嚙合力的波動增加了系統的不穩定性，會導致齒輪在運行時產生振動。

圖4 系統動態特性（ω=1.1）Fig.4 Dynamic characteristics of the system（ω=1.1）

圖5 ω=1.1時沿嚙合線的動態特性Fig.5 Dynamic characteristics along the action line when ω=1.1

2.2 脫嚙

圖6所示為嚙合頻率ω=2.1時，系統的動態嚙合力隨無量綱時間t的變化及其相圖。由圖6 中可見，動態嚙合力周期性地出現等于0的情況，其相對位移x3也會小于無量綱齒側間隙D的一半。這表明脫嚙周期性發生。齒面嚙合與脫嚙交替進行將使齒輪傳動系統運行不平穩。圖6（a）中的局部放大圖揭示了從齒面嚙合切換到脫嚙時，動態嚙合力發生突變，加劇了系統振動。

圖6 系統動態特性（ω=2.1）Fig.6 Dynamic characteristics of the system（ω=2.1）

圖7 所示為ω=2.1 時，載荷分配率（圖7（a））和動態嚙合力（圖7（b））沿嚙合線的分布圖。當嚙合點在單齒嚙合區內從點C移動到點D時，n齒對和n-1齒對上的總動態嚙合力及其分量逐漸減小?？倓討B嚙合力在點a處減小至0，預示嚙合齒對即將發生脫嚙。隨著動態嚙合力的反向增加，最終發生齒面脫離。動態嚙合力的波動會導致嚙合狀態發生變化?？倓討B嚙合力的波動將引起面齒輪傳動系統中出現輪齒脫離、產生振動。

圖7 ω=2.1時沿嚙合線的動態特性Fig.7 Dynamic characteristics along the action line when ω=2.1

2.3 齒背接觸

圖8所示為嚙合頻率ω=3.4時，系統出現齒背接觸，其動態嚙合力隨無量綱時間t的變化及其相圖。動態嚙合力的大小出現了Fn＞0、Fn=0 和Fn＜0 三種情況，相對位移x3也對應地出現了x3＞D、D＜x3＜-D和x3＜-D三種情況，這說明此時系統中出現了齒面嚙合、脫嚙和齒背接觸三種情況。由圖8（a）中的局部放大部分可以看出，嚙合狀態改變時，動態嚙合力發生波動，導致了齒輪傳動過程中的振動。

圖8 系統動態特性（ω=3.4）Fig.8 Dynamic characteristics of the system（ω=3.4）

圖9（a）、圖9（b）和圖9（c）、圖9（d）所示分別為圖8（a）中兩處局部放大部分中從齒面嚙合到脫嚙的載荷分配率（圖9（a））和動態嚙合力（圖9（b））和從齒背接觸到脫嚙時的載荷分配率（圖9（c））和動態嚙合力（圖9（d））沿嚙合位置的分布圖。由圖9（b）中可見，當嚙合點從嚙合線上的點A移動到雙齒嚙合區的點B時，動態嚙合力減小，在點a處減小至0 后反向增加，其作用方向在點a處發生突變，說明嚙合齒對即將脫嚙。動態嚙合力在單齒嚙合區BC的點b處等于0，此時，面齒輪系統發生脫嚙。動態嚙合力的波動導致輪齒脫離。由圖9（d）中可見，當嚙合點從嚙合線中的點A移動到嚙合點C附近時，動態嚙合力的絕對值減小。它在點a處減小至0 后增加。動態嚙合力的作用方向在點a處突變，說明齒背接觸狀態即將結束。動態嚙合力在雙齒嚙合區CD的點b處等于0，系統發生脫嚙。動態嚙合力的波動導致脫嚙和振動。

圖9 ω=3.4時沿嚙合線的動態特性Fig.9 Dynamic characteristics along the action line when ω=3.4

綜上，由單對齒嚙合和雙對齒嚙合交替產生的振動發生在嚙合線的特定位置。由嚙合狀態的切換引起的齒面振動和齒背振動發生在嚙合線的任何位置。動態嚙合力在方向上的突變導致系統嚙合狀態的轉變。

3 載荷對非線性動力學行為的影響

考慮多狀態嚙合的扭彎擺面齒輪傳動系統具有強非光滑非線性特征，其解析求解困難。本文中采用4階Runge-Kutta法數值求解，利用相圖、Poincaré映射圖、分岔圖和最大Lyapunov 指數（TLE）圖分析面齒輪傳動系統的動力學行為。為了系統研究面齒輪傳動系統的非線性動力學和多狀態嚙合特性，定義3個不同的Poincaré截面為：

（1）時間截面Poincaré 映射，Γn={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，mod(t，2π/ω) = 0}。

（2）齒面截面Poincaré 映射，Γp={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，x3=D}。

（3）齒背截面Poincaré 映射，Γb={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，x3= -D}。

數值求解不同截面的Poincaré映射。時間映射用于研究周期激勵系統的周期解。相軌跡每次到達齒面截面/齒背截面時發生一次碰撞?；邶X面/齒背截面內的Poincaré 映射可以判斷相軌跡和齒面/齒背間的接觸次數。系統的周期性運動和碰撞特性由符號n-p-b來表征。其中，n為周期運動數；p、b分別為齒面碰撞和齒背碰撞的數量。

當齒輪系統在不同嚙合狀態之間切換時發生振動，對系統穩定性和可靠性造成影響。本小節中主要分析載荷對系統非線動力學的影響。

取無量綱參數k= 0.3，k11=k12=k13= 0.15，k21=k22=k23= 0.3，k31= 0.3，k32=0.32，k33= 0.31，ξ31=0.06，ξ32= 0.07，ξ33= 0.012，ξ11=ξ12= 0.01，ξ23=0.07，ξ= 0.05，ξ13=ξ21=ξ22=0.06，ε= 0.2，ω=2.6。系統隨載荷增大的分岔圖及對應的TLE 如圖10 所示。其中，青色表示時間截面Γn內的分岔圖，紅色表示齒面截面Γp內的分岔圖，藍色表示齒背截面Γb內的分岔圖。即青色為面齒輪傳動系統隨載荷變化時系統的動力學特性變化過程，可將其分解至齒面截面Γp（紅色）及齒背截面Γb（藍色）內。

由圖10 中可見，當F＜F1=0.005 1 時，系統按照1-1-0 的規律運動，在系統1 個周期1 運動內，因為發生了脫嚙而出現1 次齒面碰撞，未發生齒背接觸。圖11中，“·”為時間截面映射點，“△”為齒面截面映射點。圖11（a）、圖11（b）所示分別為F=0.002 時的相圖與動態嚙合力。當載荷增大至F=0.005 1 時，系統進入混沌運動，其TLE 大于0，出現脫嚙和齒背接觸。圖11（c）、圖11（d）所示分別為F=0.01時的Poincaré 映射圖和動態嚙合力變化圖。此時，嚙合力在Fn＞0、Fn=0 和Fn＜0 間 變 化。當 載 荷 增 大 至F2=0.103 1 時，發生鞍結分岔，系統運動退化為2-1-0運動，在系統1 個周期2 運動內發生1 次齒面碰撞。圖11（e）、圖11（f）所示分別為F=0.105 時的相圖、映射圖與動態嚙合力隨時間的變化圖。當載荷增大至F3=0.109 6 時，系統發生擦切，其齒面碰撞增至系統1 個周期2 運動內出現兩次，系統運動為2-2-0，其相圖、映射圖與動態嚙合力隨時間變化如圖11（g）、圖11（h）所示。對照圖11（f）、圖11（h）可見，當F從左向右經過F3點之后，M區域中的動態嚙合力從Fn＞0 向Fn=0 的偏移，表明系統的部分相軌跡擴大并向齒面截面左側移動，如圖11（e）、圖11（g）所示，齒面碰撞次數增加了一次。當載荷增大至F4=0.116 6時，系統發生逆倍化分岔，其TLE等于0，系統運動轉遷為1-1-0。當F=0.177 1時，系統發生擦切，其相圖、映射圖與動態嚙合力如圖11（i）、圖11（j）所示。當F＞F5=0.177 1時，系統運動為1-0-0，不發生脫嚙、齒面碰撞和齒背碰撞，其相對位移大于齒側間隙的一半，動態嚙合力始終大于0，如圖11（k）和圖11（l）所示。

圖10 系統隨載荷F增大時的分岔圖及TLE圖Fig.10 Bifurcation diagram and TLE spectrum with the increase in load F

圖11 系統的相圖、Poincaré映射圖及動態嚙合力Fig.11 Phase diagram,Poincaré mappings and the dynamic engaging force of the system

可見，當載荷較大時，面齒輪傳動系統的非線性動力學和振動特性相對穩定。當載荷系數較小時，系統出現分岔和混沌運動，系統的振動特性變得復雜；雖然載荷系數較小時仍存在周期運動，但系統運行過程中會發生脫嚙，這也是需要避免的。

4 結論

（1）根據面齒輪嚙合原理和受力分析，建立了考慮重合度、載荷分配率、綜合傳動誤差、時變嚙合剛度等時變參數的面齒輪傳動系統6自由度彎扭擺非線性動力學模型。該模型可用于研究動態嚙合力、嚙合狀態及其非線性動力學，有助于面齒輪傳動系統齒廓變形和齒廓修形的研究。

（2）由于單對齒和雙對齒的交替嚙合，動態嚙合力發生波動，動態嚙合力的波動會導致嚙合狀態發生變化。當嚙合狀態變化時，動態嚙合力發生突變。這是面齒輪傳動系統中出現振動與噪聲的根本原因。

（3）當載荷較大時，面齒輪傳動系統的非線性動力學特性和振動特性穩定而簡單；載荷較小時，會出現復雜的多狀態嚙合特性。