裝配誤差和齒面修形對曲線圓柱齒輪傳動誤差的影響

張學剛 謝永春 王鵬飛

（攀枝花學院 智能制造學院， 四川 攀枝花 617000）

0 引言

根據嚙合時的接觸形式不同，曲線圓柱齒輪可分為點接觸和線接觸[1-2]。 相對于線接觸曲線齒輪，點接觸曲線齒輪對裝配誤差不敏感，在裝配誤差作用下不易出現輪齒邊緣接觸，某些情況下其傳動平穩性比線接觸齒輪更強。點接觸曲線齒輪是一種平行軸齒輪，其齒形呈現弧形。與直齒輪、斜齒輪和人字齒輪相比，這種齒輪加工效率較低，成本較高，在傳動系統中應用較少[3-4]。由于其齒形為弧形，在傳動過程中，軸向竄動力可相互抵消，且具有更好的潤滑性能[5]。目前，不少國內外學者開展了對曲線圓柱齒輪傳動性能的研究，以爭取克服齒輪傳動過程中的問題。

Tseng 等先后分別研究了采用盤形面銑刀加工[6-7]和滾齒加工[8-9]所得曲線圓柱齒輪的數學模型、根切現象、無載荷傳動誤差等。Wu 等[10-12]采用圓弧曲線對曲線圓柱齒輪齒面進行修形，并探討了修形參數和刀盤半徑對齒輪的無載荷和有載荷傳動誤差的影響。蘇進展等[13]推導了帶拋物線修形的曲線圓柱齒輪的齒面方程，并研究了某種修形系數下，三類裝配誤差對無載荷傳動誤差的影響；在此基礎上，還研究了某種裝配誤差下拋物線修形系數對無載荷傳動誤差的影響[14]；此外，還通過預設4階無載荷傳動誤差，對曲線圓柱齒輪齒面進行了優化設計[15]。Fuentes 等[16]330-339研究了刀盤半徑對曲線圓柱齒輪的齒面接觸應力和齒根接觸應力的影響，以及利用齒頂修形消除齒頂接觸應力；此外，還對比研究了曲線圓柱齒輪與直齒輪和斜齒輪之間的力學性能。馬登秋等[17]基于分心理論研究了曲線圓柱齒輪的接觸應力問題。Sun 等[18]研究了齒寬和刀盤半徑對曲線齒輪接觸應力的影響。侯力等分析了曲線齒輪的振動特性[19]、齒面曲率特性[20]、幾何特性[21]以及潤滑性能[22]等。

傳動誤差是評價齒輪在傳動過程中產生噪聲和振動的重要指標之一，其中，傳動誤差分為無載荷傳動誤差和載荷傳動誤差。無載荷傳動誤差僅研究齒輪副在無載荷條件下的傳動誤差，而齒輪副在實際工作中是存在載荷的。因此，對曲線齒輪載荷傳動誤差的研究更符合實際情況。然而，現有文獻尚未涉及到對曲線齒輪載荷傳動誤差的研究。本文中利用有限元法，并充分考慮點接觸曲線圓柱齒輪在實際裝配過程中的誤差，研究了齒面拋物線修形對點接觸曲線齒輪載荷傳動誤差的影響。

1 齒面數學模型

齒面數學模型是輪齒接觸分析（TCA）、無載荷傳動誤差分析以及建立有限元模型的基礎。曲線齒輪傳動副中，對其中一個齒輪的齒面進行拋物線修形可得到拋物線傳動誤差曲線，提高齒輪傳動平穩性、降低振動和噪聲水平。關于未修形齒輪齒面的數學模型不再贅述，可參見文獻[16]322-329。本文中只對修形的齒面方程進行推導。

1.1 齒輪成型原理

曲線圓柱齒輪副一般采用格里森雙刃面銑式刀盤對其進行銑削加工，如圖1 所示。圖1 中，Rc為刀盤曲率半徑；z為待加工齒輪的齒數；rp為待加工齒輪的分度圓直徑。

圖1 曲線圓柱齒輪的加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of processing curvilinear cylindrical gears

加工齒輪時，高速旋轉的刀盤節平面與待加工齒輪的節圓柱表面相切，刀盤沿xc軸方向以速度vc往復移動，齒輪毛坯以角速度ωg繞zg軸順/逆時針旋轉，刀盤的移動速度和齒輪毛坯的旋轉速度滿足vc=rpωg。當1個齒槽加工完畢，刀頭從齒槽中分離，齒輪毛坯轉動1個分度360（°）/z，齒輪和刀盤繼續重復上一步的展成運動，直到齒輪的所有齒加工完成。

1.2 修形齒面數學模型

齒面修形可以改變齒面的幾何形態。未修形齒輪在嚙合過程中易出現線性傳動誤差，相鄰兩嚙合周期之間的傳動誤差線存在階躍效應，會造成較大的振動和噪聲。若對齒面進行齒廓拋物線修形，其傳動誤差曲線為拋物線，相鄰兩嚙合周期之間的拋物線存在交叉，這將會消除線性誤差曲線中存在的階躍效應，從而減小或消除嚙合過程中的振動和噪聲[23]。這種修形方法也是在弧齒錐齒輪齒輪設計中為了減小振動和噪聲的一種常見手段。

圖2 所示為刀盤上的拋物線修形刀頭截面示意圖。圖2中，a為齒頂高系數；b為齒根高系數；ρ為刀尖過渡圓角系數；αn為壓力角；m為模數；u為主切削刃長度的變量；λ為過渡圓角的角度變量；Δytp為修形拋物線的偏置距離刀。盤曲率半徑Rc為刀頭中心線與刀盤旋轉中心之間的距離；坐標系Sc（Ocxcyczc）固定于刀盤的旋轉軸線與節平面的交點處，與圖1 中對應。刀頭左側的外刃用于加工齒輪的凹齒面；刀頭右側的內刃用于加工齒輪的凸齒面。

圖2 刀頭截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the cross-section of the cutter head

將刀頭的內刃和外刃拋物線部分表達在坐標系Sib中，表示矢量形式為

式中，上標i為內刃計算符號；o為外刃計算符號。全文公式均按此規定進行標注。

將刀頭切削刃部分轉換到坐標系Sb中，表示為

接下來，將刀頭切削刃部分轉換到坐標系Sc中，表示為

式中，當上標g=i時，表示內刃；當上標g=o時，表示外刃；u、θ均為形成齒輪產形面的幾何參數。

將齒輪產形面表達在齒輪毛坯坐標系Sg中，為

式中，ψ為展成加工齒輪過程中，齒輪毛坯的旋轉角度。坐標系Sc到Sg的坐標變換矩陣為

其中，

Xt=rp(sinψ-ψcosψ) +Rccosψ；

Yt=rp(cosψ+ψsinψ) -Rcsinψ。

根據微分幾何和嚙合原理[23]，采用工程解法可求解出曲線齒輪的嚙合方程，表示為

將式（5）代入式（4）中，可求出齒面關于u和θ的雙參數數學模型。若給定一組u、θ的值，則可求解出齒面上的一個點。根據文獻[24]中的方法可求解出齒面上一系列規則分布的點云數據，這些點云數據可為后續齒輪參數化有限元模型的建立奠定基礎。

關于齒根過渡曲面方程的推導和拋物線修形部分齒面類似，這里不做過多說明。

2 裝配誤差下初始接觸的定義

裝配誤差在齒輪副實際裝配過程中是不可避免的，它將會引起工作中的齒輪副接觸狀態以及傳動誤差發生改變。圖3所示為齒輪副裝配誤差坐標系的定義。假設小輪安裝于坐標系S1上，大齒輪安裝于坐標系S2上，它們的旋轉中心與自身的Z軸重合。圖3中，坐標系Sf為全局坐標系；Sk、Sl、Sm、Sn分別為定義4類裝配誤差（ΔC、ΔA、ΔH、ΔV）的輔助坐標系。其中，ΔC表示中心距誤差；ΔA表示軸向誤差；ΔH表示軸扭轉誤差；ΔV表示軸交錯誤差。?p、?g分別表示齒輪副嚙合過程中小齒輪和大齒輪的轉角。

圖3 齒輪副裝配誤差坐標系定義Fig.3 Definition of coordinate systems of the gear pair assembly errors

為了使齒輪副的有限元模型精準接觸，需要編程計算兩嚙合齒面在無載荷條件下的初始接觸位置，計算時必須將小齒輪的凹齒面和大齒輪的凸齒面轉換到全局坐標系Sf中。小齒輪的凹齒面轉換到坐標系Sf中，表示為

式中，up、θp與第1 節中的u和θ對應；下標p表示小齒輪；矩陣Mf，1表示坐標系S1到Sf的變換。

大齒輪的凸齒面轉換到坐標系Sf中，表示為

式中，ug、θg與第1 節中的u和θ對應；下標g表示大齒輪；矩陣Mn，z表示坐標系S2到Sn的變換，表示為

矩陣Mf，n表示坐標系Sn到Sf的變換，表示為

式中，

求解兩嚙合齒面的初始接觸點，其幾何意義是接觸點處兩齒面的位置矢量相等，且單位法向量也相等，表示為

式（9）中有6 個未知參數，5 個獨立方程；若給定小齒輪轉角?p，可以求解出其余5個參數；將求解結果再次代入式（6）和式（7）中，便可求解出兩嚙合齒面剛好接觸時的齒面方程。

3 齒輪副有限元模型

由于曲線齒輪齒面是復雜曲面，采用商用有限元軟件在三維模型上直接劃分網格，所得齒面節點誤差較大，將會導致齒面分析結果誤差增大，甚至得到錯誤的結論，與實際情況嚴重不符[25]；而手動劃分網格工作量巨大，不適合建立本文中所需的幾十組有限元齒輪副模型。因此，本文中基于齒面方程所生成的規則齒面點云，將齒面點云作為輪齒有限元模型的節點數據，通過填充齒面內部節點的方式構建整個齒輪的有限元模型。采用這種方法所構建的齒輪有限元模型不存在精度損失，可以得到更準確的分析結果；而且可以通過參數化的方式批量生成所有工況條件下的齒輪副有限元模型[26]。

為了節省有限元求解時間，如圖4所示，采用了5 齒有限元模型，每個齒輪模型有81 590 個節點，67 200 個六面體1 階單元。圖4 中，齒輪內圈和邊界分別與自身的旋轉中心剛性連接，在大齒輪的旋轉中心RP-2處施加阻力矩T，小齒輪旋轉中心RP-1固定。小齒輪的凹齒面為接觸主動面，大齒輪的凸齒面為從動面，分析求解時，在Abaqus求解器中完成。當初始接觸位置分析完成后，齒輪副的接觸已穩定，小齒輪轉動一個角度?p，開始第1 個接觸位置的分析；此時，可得到大齒輪在載荷下的實際轉角?g，齒輪在載荷下的傳動誤差就是大齒輪實際轉角與理論轉角的偏差，表達為

圖4 齒輪副的5齒有限元模型Fig.4 Five-tooth finite element model of the gear pair

當第1個接觸位置分析完成，小齒輪再轉動一個角度，繼續第2個接觸位置的求解，直到所有接觸位置求解完成。本文中只分析了兩個嚙合周期內的載荷傳動誤差，即，小齒輪的轉角?p在[0，2π/zp]之內，在這兩個周期的轉角范圍內劃分了21個接觸位置。

4 算例分析

本文中以表1 所示齒輪基本參數作為分析的依據，分別研究了齒輪的4類裝配誤差、修形量、刀盤曲率半徑、修形曲線偏置量對齒輪載荷傳動誤差的影響。

表1 齒輪基本參數Tab.1 Basic parameters of the gear pair

4.1 裝配誤差對傳動誤差的影響

假設加工曲線齒輪所有刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線系數apf=0.001 5，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm；4類裝配誤差參數如表2所示。每一類分為4種工況，其中，誤差值0表示無裝配誤差?？偣残柰瓿?3種工況的有限元分析。

表2 4類裝配誤差參數Tab.2 Four types of assembly error parameters

4 類裝配誤差下的載荷傳動誤差如圖5 所示。圖5 中的圖例“VHAC=0”表示無誤差的理想裝配。從圖5 中不難看出，在任意裝配誤差下，齒輪傳動誤差波動明顯小于理想裝配，在傳動過程中可起到降噪、減振的作用。此外，裝配誤差的值對傳動誤差影響較小。

圖5 4類裝配誤差對傳動誤差的影響Fig.5 Influence of four types of assembly errors on transmission errors

4.2 修形量對傳動誤差的影響

由于第4.1節中的研究發現裝配誤差類型和數值對載荷傳動誤差影響較小，后續將不再考慮多種裝配誤差的影響，只考慮單一裝配誤差。假設齒輪副的軸扭轉誤差ΔH=0.2°，刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm，修形拋物線系數如表3所示。表3中，修形系數越大，修形量越大。

表3 修形拋物線系數apfTab.3 Modified parabolic coefficient apf

修形量對傳動誤差的影響如圖6 所示。結果表明，修性量越大，載荷傳動誤差波動越??；無修型的曲線齒輪載荷傳動誤差最大。

圖6 修型量對傳動誤差的影響Fig.6 Influence of the modification amount on transmission errors

4.3 刀盤曲率半徑對傳動誤差的影響

假設齒輪副軸向誤差ΔA=0.2 mm，修形拋物線系數apf=0.001 5，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm，刀盤曲率半徑如表4所示。

表4 刀盤曲率半徑RcTab.4 Curvature radius of cutter Rcmm

刀盤曲率半徑對傳動誤差的影響如圖7所示。結果表明，隨著刀盤曲率半徑的增大，載荷傳動誤差減小，誤差波動也隨之減小。

圖7 刀盤曲率半徑對傳動誤差的影響Fig.7 Influence of the curvature radius of the cutter on transmission errors

4.4 修形曲線偏置對傳動誤差的影響

假設在理想裝配條件下，刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線系數apf=0.000 5。修型拋物線偏置量如表5所示。

表5 修形拋物線偏置量ΔytpTab.5 Offset of the modified parabola Δytpmm

修形曲線偏置對傳動誤差的影響如圖8所示。結果表明，修型曲線相對刀盤節平面的距離越遠，傳動誤差的波動略微增大；無偏置時，傳動誤差波動最小。

圖8 修形曲線偏置量對傳動誤差的影響Fig.8 Influence of the offset of the modified curve on transmission errors

5 結論

通過對曲線圓柱齒輪載荷傳動誤差的研究，得出以下結論：

（1）裝配誤差有利于降低載荷傳動誤差的波動幅度，從而起到降噪和減振的效果；無誤差的理想裝配反而會引起較大的傳動誤差波動，說明修形的點接觸曲線圓柱齒輪更適合工業應用。

（2）適當增加齒面修形量，其載荷傳動誤差波動將越小，有利于提升曲線齒輪的傳動性能。

（3）隨著加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑增大，載荷傳動誤差和誤差波動都將會減??；說明加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑不宜過小，否則將會影響傳動性能。

（4）齒面修形曲線的偏置對載荷傳動誤差的影響較小。

總的來說，采用較大曲率半徑的修形刀盤所加工出的曲線圓柱齒輪傳動性能更好。