基于雙樹復小波的齒輪副裂紋故障檢測方法

王天陽 陶學恒 代 鵬 冉海風

（1 大連工業大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 大連 116034）

（2 安徽工程大學 機械與汽車工程學院， 安徽 蕪湖 241000）

0 引言

直齒輪副因其具有瞬時傳動比穩定、傳動效率高、使用壽命長等優點，被廣泛應用在現代機械工業傳動機構中[1]。但因為齒輪副的制造安裝誤差、疲勞磨損、載荷突增、潤滑失效等因素，常常造成齒輪副的故障。其中，齒根裂紋就是齒輪副常見故障之一。齒輪齒根出現裂紋，將大大影響齒輪副的傳動精度，增加齒輪箱的振動與噪聲，降低齒輪副傳動NVH（Noise、Vibration、Harshness）性能，嚴重時將導致齒輪副傳動失效[2]。

在旋轉機械的故障診斷中，由于受周圍環境、傳感器質量和信號傳輸過程的影響，被檢測物體的信號中往往混雜著各種噪聲，有的噪聲干擾甚至大于實際信號，這給信號中的特征信息提取帶來極大難度。因此，在提取特征信息之前，必須對信號進行降噪。小波閾值降噪作為工程實際中常用的降噪方法，通過保留有效信號系數，減小甚至剔除噪聲系數，以求得有用信號的最優估計；該方法結構簡單、收斂速度快、降噪效率高，被廣泛應用在機械振動信號的降噪領域[3]。但是，隨著機械系統的復雜性提高，多機械系統協同作業，所產生的振動信號愈發復雜，在使用小波變換降噪時，對信號的分解難度增大；并且，濾波降噪要求對所有信號進行二進度尺度分解，這顯然對信號特征的識別是不利的[4]。所以，專家學者們不斷提出各種改進的小波濾波降噪方法，以滿足復雜信號降噪的要求。吳定海等[5]針對環境噪聲因素淹沒故障早期所產生的微弱信號問題，提出了一種基于小波包變換的重疊塊閾值降噪方法。華偉等[6]將多小波降噪方法應用到齒輪箱的斷齒故障診斷中，利用小波變換的平移不變性，使降噪效果得到一定提升。Wang 等[7]將QPMZ-IⅡ型齒輪箱的振動信號利用小波變換降噪處理，并對降噪后的信號進行故障診斷。劉小峰等[8]基于小波包理論提出經驗模態分解法，并在齒輪箱故障實測數據上得到應用。Jena 等[9]采用改進的小波降噪算法與有源噪聲消除相結合的方法，對齒輪箱的健康狀態進行了檢測。Havale等[10]將小波變換與深度學習模型組合，制定了一種基于機械學習的齒輪箱的故障診斷模型，在該模型中，小波變換作為降噪手段對振動信號進行預處理，降噪后的信號作為學習模型的輸入。孫海亮等[11]在研究軋機齒輪故障診斷問題時，提出一種基于多小波自適應的分塊閾值降噪方法。小波閾值降噪方法改善了Fourier 變換困難的問題，在機械振動頻譜中減小了雜頻幅值，使得故障信號得以凸顯；但小波閾值基函數確定后，在不對中振動信號降噪過程中易造成能量泄漏，缺乏足夠的自適應性。為此，各學者又接連提出自適應性的小波降噪方法。Feldman[12]在Hilbert 變換的基礎上提出Hilbert 振 動 分 解（Hilbert vibration decomposition，HVD），HVD 基于振動信號的瞬時頻率和包絡幅值，在保留分解精度的同時保證幅值不失真，分解效率和分解精度較高，常被用于機械系統在變工況下運行所產生的非平穩信號降噪處理。馮志鵬等[13]將HVD 降噪方法應用到行星齒輪箱的故障診斷中。唐貴基等[14]將改進后的HVD 方法應用到機械油膜渦動故障診斷中。孫熠等[15]將HVD 與1.5 維譜結合，并將該降噪方法應用到滾動軸承的故障診斷中。

目前，針對齒輪副齒根裂紋的理論研究已趨于成熟，但在對故障齒輪副實驗數據的采集、處理與分析方面存在欠缺，難以根據實驗數據對齒輪副健康狀態進行有效評估。并且，小波變換隔點采樣會丟失部分信息，小波濾波器不理想的截止性質會導致信號分解和重構過程中產生不真實的頻率成分，造成小波分解系數不能準確地反映狀態信息，使特征信息的提取效果受到影響。骨永剛等[16]中驗證了雙樹復小波對斜齒輪副振動信號降噪的有效性，但缺少對比實驗，沒有采用其他信號降噪方法作為比較，難以量化雙樹復小波方法的性能。并且其降噪模型復雜，難以得到推廣和應用。為此，本文中針對直齒輪副振動信號的降噪問題，提出利用4層雙樹復小波降噪方法，利用雙樹復小波的近似平移不變性和完全重構性對含噪信號進行有效降噪。利用常用的硬閾值函數和軟閾值函數降噪方法與雙樹復小波降噪進行了對比實驗，利用信號的信噪比和均方根誤差指標量化雙樹復小波降噪方法對含噪信號的處理效果。降噪模型框架簡單，計算負荷增量小，利于推廣和普及，可為工程實際問題提供參考。

1 信號降噪

1.1 小波閾值降噪

為添加對比實驗，利用Donoho 等[17-18]提出的硬閾值降噪和軟閾值降噪算法，比較不同降噪手段對齒輪箱振動信號的處理效果。具體的硬閾值和軟閾值函數表達式如下：

硬閾值函數為

軟閾值函數為

式中，Wj,k為小波系數；?j,k為近似小波系數；λ為閾值，取，N為信號的長度。

1.2 雙樹復小波

圖1所示為單層雙樹復小波中二叉樹結構對信號的分解與重構，其主要由兩個上下平行通道的離散小波變換構成，每個通道由兩個不同的濾波器組成，將其分別稱為實數部和虛數部。通過將虛數部的采樣放置在實數部的中央位置，可以實現信息的互補性和近似平移不變性，更多地保留信號中的有效信息。雙樹復小波在振動信號各層分解過程中借用小波系數中的二分法，可進一步提高計算的速度。

圖1 雙樹復小波的分解與重構Fig.1 Decomposition and reconstruction of the double-tree complex wavelet

根據小波變換理論，一維復小波可以表示為式中，φh(t)、φg(t)分別為兩個正交或雙正交的實小波；i為虛數單位。

一維復小波實數部的小波系數和尺度系數分別為

式中，j為層數；J為最大尺度；x(t)為帶噪時間序列的振動信號。

同理，虛數部的小波系數和尺度系數分別為

雙樹復小波變換由兩個小波變換組成，則雙樹復小波的小波系數和尺度系數分別為

將雙樹復小波的小波系數和尺度系數進行重構，即

2 齒輪副振動信號的降噪

為獲得齒輪箱原始的振動信號，使用圖2所示的HD-CL-012C齒輪箱試驗臺進行實驗。其中，齒輪副主要參數如表1 所示，電機轉速設置為1 200 r/min，負載為48.8 N·m。

圖2 齒輪箱試驗臺Fig.2 Test bench of gearboxs

表1 齒輪副主要參數Tab.1 Main parameters of gear pair

利用三坐標加速度傳感器采集齒輪箱的振動信號，選取高速齒輪一側軸承端蓋為測點，測量齒輪箱鉛錘方向的加速度信號，該方向與齒輪副嚙合線方向較為接近，所得到的振動加速度信號與齒輪副真實振動較為接近。數據采集系統的取樣頻率為10 kHz，進行測試后得到健康齒輪副振動原始信號，并通過快速傅里葉變換得到其頻域響應，結果如圖3所示。

圖3 實驗測得健康齒輪副振動信號Fig.3 Vibration signalw of the gear pair measured by experiment

圖3 所示為實驗所得健康齒輪副振動信號。在圖3（a）振動時域中，其振動幅值較為平均，沒有明顯周期性的脈沖沖擊。在圖3（b）振動頻域中，其頻譜組成主要為嚙合頻率及嚙合頻率高倍頻（fm，2fm，3fm，…），頻譜上存在鋸齒狀的雜頻帶，但相鄰頻帶的間隔難以確定，這對齒輪副的健康狀態判斷帶來很大難度。造成雜頻帶出現的原因很多，其中主要有：①齒輪副的制造安裝誤差，若齒輪副中存在一個或者多個零件出現制造安裝誤差，其誤差會反映在振動信號中，造成振動信號中出現嚴重的頻率調制現象；②齒輪副出現隨機振動，環境噪聲因素以及其他不利因素的白噪聲的存在，使得三坐標加速度傳感器在收集信號時出現雜頻。從圖3（b）中可以看出，齒輪副存在較嚴重的隨機振動和白噪聲成分，使得振動頻域圖上出現分布不均勻不規律的小幅值雜頻，不利于對齒輪副健康狀態的評估。

2.1 小波閾值濾波降噪

利用硬閾值函數和軟閾值函數濾波降噪算法，處理如圖3所示實驗所得齒輪副振動原始信號，可得到硬閾值函數降噪的結果和軟閾值函數降噪的結果，分別如圖4、圖5所示。

圖4 硬閾值濾波降噪Fig.4 Hard threshold function filtering and noise reduction

圖5 軟閾值濾波降噪Fig.5 Soft threshold function filtering and noise reduction

由圖4、圖5 中可知，采用傳統的硬閾值函數、軟閾值函數降噪處理，其降噪效果是一定的。降噪后的振動時域信號幅值分布稍稍平緩，無明顯脈沖沖擊；振動頻域主要為嚙合頻率以及嚙合頻率的高倍諧波，邊頻帶幅值減小。說明使用傳統的小波閾值降噪能夠減小信號中的噪聲，但噪聲頻率和諧波頻率同時被抑制，缺少對特征信號的識別能力，仍然難以分辨相鄰邊頻帶的頻率間隔與主要分布區間。

2.2 4層雙樹復小波降噪

利用4層雙樹復小波對齒輪副振動信號進行降噪處理，得到處理后的齒輪副振動信號如圖6所示。

圖6 雙樹復小波降噪Fig.6 Double-tree complex wavelet noise reduction

由圖6 中可知，利用4 層雙樹復小波降噪后所得到的齒輪副振動信號較為理想，進一步說明了雙樹復小波對信號降噪的有效性。圖6（a）所示健康齒輪副的振動時域幅值分布較為均勻，無明顯周期性的脈沖沖擊，齒輪副健康狀態良好。圖6（b）所示振動頻域頻譜主要組成仍為嚙合頻率以及倍頻，此外，還存在分布規律的少量邊頻帶，相鄰邊頻帶的頻率間隔為轉軸頻率fr，說明健康齒輪副仍存在輕微的故障；但是，噪聲因素造成的鋸齒狀雜頻被有效過濾，降噪效果理想。這些頻率間隔為轉軸頻率的邊頻帶，可能是因為齒輪副安裝不對中、動靜平衡失效和齒輪的制造安裝誤差等因素所引起，但從邊頻帶的幅值與分布區間可以看出，齒輪副整體上健康良好，無較大故障存在。

從圖6中可知，雙樹復小波不但可以對信號進行有效降噪，減小振動時域信號中的間斷現象，過濾掉振動頻譜中噪聲信號導致的雜頻，還能夠對故障信息進行有效識別，保留信號中的有效信息。

由圖4、圖5和圖6中可以看出，3種降噪方法都可以通過信號分解和重構對齒輪箱振動信號進行降噪，減小信號中的部分噪聲因素。為定量驗證雙樹復小波變換在降噪效果上優于小波變換，求取降噪后信號的信噪比（Siangd-noise ratio，SNR）和均方根誤差（Root mean square error，RMSE）進行比較，具體公式為

式中，x(i)為原始振動信號在第i點處的振動幅值；x?(i)為降噪后信號在第i點處的振動幅值。將降噪信號與原始含噪信號的信噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE）作比較，結果如表2所示。

表2 降噪對比Tab.2 Noise reduction comparison

由表2中可以明顯看出，通過小波變換和雙樹復小波變換對含噪信號進行降噪處理后，雙樹復小波的信噪比要明顯高于硬閾值函數小波降噪和軟閾值小波降噪，并且均方根誤差皆小于兩者，進一步說明雙樹復小波的降噪處理效果要比小波變換的效果好，因此，可以選用雙樹復小波變換方法對齒輪箱含噪信號進行降噪處理。

3 裂紋故障齒輪副振動實驗

選取帶有裂紋故障的主動齒輪如圖7所示。其直線裂紋的深度為0.5 mm，裂紋方向與輪齒中心線夾角為70°。利用該故障件與健康低速齒輪相嚙合，利用圖2 所示的HD-CL-012C 齒輪箱試驗臺進行測試，同樣利用三坐標加速度傳感器采集齒輪箱振動信號，得到的原始振動信號如圖8所示。進行雙樹復小波變換以完成降噪處理，再對降噪后的振動時域信號進行快速傅里葉變換得到其振動頻譜，結果如圖9所示。

圖7 裂紋故障高速齒輪Fig.7 High-speed gears with crack defects

圖8 裂紋故障齒輪副振動含噪信號Fig.8 Vibration signals before noise reduction of the gear pair with crack defects

圖9 降噪后裂紋齒輪副振動信號Fig.9 Vibration signals after noise reduction of the gear pair with crack defects

由圖8中可知，齒輪副含噪振動頻域信號的頻譜組成為齒輪副的嚙合頻率以及高倍諧波。但是，頻譜中也存在小幅值鋸齒狀的噪聲信號，這對齒輪副的諧波頻率識別帶來極大困難。由圖9中可知，在裂紋齒輪副振動時域上，存在明顯的周期性脈沖沖擊，相鄰沖擊的時間間隔為0.050 4 s，與高速齒輪轉頻相一致，可以判定齒輪副局部故障發生在小齒輪上。同時從頻域上分析，其頻譜組成主要為齒輪副嚙合頻率及諧波，存在調制生成的邊頻帶，相鄰邊頻帶間隔明顯，為轉軸頻率fr，而且邊頻帶分布主要位于嚙合頻率的2 倍頻到3 倍頻，以及6 倍頻左右，嚙合頻率的3倍頻4倍頻之間的邊頻帶分別較少。

實驗結果說明，利用雙樹復小波變換降噪后的信號特征明顯，能夠準確快速監測齒輪副的健康狀態，避免了噪聲因素引起雜頻帶而導致的錯誤判別。

4 結論

針對裂紋故障齒輪副振動信號的降噪問題，利用雙樹復小波變換對振動信號進行降噪處理，利用信號的分解與重構完成對信號的處理，并與傳統的小波變換降噪方法進行對比實驗，比較了不同方法的降噪效果。得到如下結論：

小波變換和雙樹復小波變換都能對齒輪副含噪振動信號進行降噪處理，但雙樹復小波變換降噪效果明顯優于小波變換，其降噪后信號的信噪比高，均方根誤差小。在雙樹復小波降噪過程中，不但能夠有效過濾噪聲因素，而且能夠保留信號中的特征信息。