幾何畫板與初中數學教學有效融合的探索

廣西南寧市第三中學初中部青秀校區（530029）廖小舟

隨著現代信息技術的不斷發展，初中數學的教學方式也隨之發生了新變化，教學方法更加多樣化。在數學教學中，現代信息技術越來越得到重視，逐漸成為學生學習數學知識和解決數學問題的強有力的工具。幾何畫板是一種強有力的可視化動態軟件，它能有效促進學生學習數學，改變學生的數學學習方式，對初中數學的教與學都產生了深遠的影響。在初中數學教學中，教師可有效應用幾何畫板輔助教學，創設多種有助于學生思考、觀察的問題情境，充分調動學生學習的主動性和積極性，活躍學生的思維，提升學生的動手操作能力。本文主要討論幾何畫板在數學概念、數學圖像的教學和數學問題解決中的作用及其在初中數學教學中的應用。

一、幾何畫板在數學概念教學中的作用

一般來說，數學概念的形成是一個抽象的過程，傳統的教學方法不能將這個抽象的過程具體化和形象化，學生無法深入理解概念，更不能很好地把握概念的本質。而幾何畫板可以將靜態轉化為動態，將抽象轉化為具體，能夠清晰、直觀地“展示”概念的抽象過程。借助幾何畫板，學生可以進行觀察、思考、比較和分析，增強了學生對概念本質的理解。

例如，對于“三角形的中位線”這一內容，教材大多是直接給出相關的概念，使得學生學習和理解概念時產生了不少疑惑。借助幾何畫板，可以使教學過程更加形象。如圖1，當點P在BC邊上運動時，線段AP的中點Q的運動軌跡是怎樣的呢？借助幾何畫板的動畫功能，學生可以直觀地看到動點Q在線段MN上來回運動，線段AP的所有中點軌跡的點正好形成三角形的中位線MN。通過觀察，學生很容易理解中位線的概念，而且對中位線概念的形成也有深刻的認識。

圖1

二、幾何畫板在展示知識間聯系時的作用

（一）可以準確展示不同概念間的聯系

例如對于圓的切線，在傳統教學中，學生往往只是停留在對教材概念“直線與圓有且只有一個交點時，該直線即為圓的切線”的文字理解上，而若應用幾何畫板的動態功能來展示圓的割線到圓的切線的變化，則能很好地揭示圓的割線與切線之間的區別與聯系。這樣，學生在學習圓的切線性質與判定時，就會更加清楚它們之間的內在聯系，而且學生學習其他曲線的切線時也都可以通過類似的關系去理解。

（二）能形象展示一些性質定理間的聯系

例如，在探索等腰三角形“三線合一”這一性質時，借助幾何畫板的移動功能，不僅能讓學生充分認識到等腰三角形的特殊性，還豐富了學生的感性認識。如圖2，在△ABC中，BA=BD，點C可以在AD延長線上移動，AC邊上的高BP、中線BN和∠ABC的平分線BM是三條不同的線段，當點C在靠近點D運動時，△ABC由不等邊三角形逐漸向等腰三角形轉化，中線BN及角平分線BM隨著點C的移動也不斷向高BP“靠近”，直至與高BP重合。這樣的動態過程能更好地幫助學生理解等腰三角形“三線合一”這一特殊性質的由來。

圖2

三、幾何畫板在初中數學教學中的應用

（一）幾何畫板在代數教學中的應用

“多個絕對值之和的最值問題”是初中數學比較難的內容，學生感到非常抽象，難以入手。應用幾何畫板的度量功能，能幫助學生直觀、形象地進行求解。教師應進一步啟發學生分析、探索這類問題的一般求解方法，從而使學生認識到這類問題的本質。

［例1］如圖3，一條街道旁有A，B，C，D，E五幢居民樓。某大桶水經銷商統計各幢樓內居民每周所需大桶水的數量如下表。

圖3

該經銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設立大桶水供應點。若要使這五幢樓內的居民取水所走路程之和最小，那么可以選擇的地點應在什么地方？

經討論，學生給出了如下方案。

設AB=a，BC=b，CD=c，DE=d。每戶居民每次取一桶水。

（1）若以點A為取水點，則五幢樓內的居民取水所走路程之和為55AB+50AC+72AD+85AE=262a+207b+157c+85d。

（2）若以點B為取水點，則五幢樓內的居民取水所走路程之和為38AB+50BC+72BD+85BE=38a+207b+157c+85d。

（3）若以點C為取水點，則五幢樓內的居民取水所走路程之和為38AC+55BC+72CD+85CE=38a+93b+157c+85d。

（4）若以點D為取水點，則五幢樓內的居民取水所走路程之和為38AD+55BD+50CD+85DE=38a+93b+143c+85d。

（5）若以點E為取水點，則五幢樓內的居民取水所走路程之和為38AE+55BE+50CE+72DE=38a+93b+143c+215d。

故以點D為取水點，五幢樓內的居民取水所走路程之和最小。

這時，筆者再提出問題：如果將“該經銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設立大桶水供應點”改為“該經銷商計劃在這條街道上租一間房，設立大桶水供應點”，那么可以選擇的地點在什么地方？

一石激起千層浪，學生給出了各種各樣的答案，而且爭論激烈，互不相讓。筆者告訴學生，可以應用幾何畫板的度量功能和計算功能來探究這個問題。

如圖4，在該直線上任取一個點P，選擇度量距離，在繪圖區顯示出度量出來的長度，可以得到PA，PB，PC，PD，PE的長度。拖動點P，隨著點P位置的變化，PA，PB，PC，PD，PE的值和38PA+55PB+50PC+72PD+85PE的值都在改變。當點P與點D重合時，38PA+55PB+50PC+72PD+85PE的值最小。因此，如果將“該經銷商計劃在這五幢樓中租一間房，設立大桶水供應點”改為“該經銷商計劃在這條街道上租一間房，設立大桶水供應點”，則在D處設立大桶水供應點，五幢樓內的居民取水所走路程之和最小。

圖4

這時，有學生提出問題：如果將某幢樓居民每周所需大桶水的數量改動一下，結論還一樣嗎？

可重新編輯該運算，如果將E幢樓居民每周所需大桶水的數量改為22桶，即PE前的數量由85改為22，拖動點P，結果發現，當點P與點C重合時，38PA+55PB+50PC+72PD+22PE的值最小。

學生一下子興奮起來，躍躍欲試。于是，筆者讓學生自由修改其中的數據，然后改變點P的位置，告訴大家所發現的結論。

當一個學生將PE前的數量85改為71后，學生沸騰了，他們發現當點P位于點C和點D之間（含點C，D）時，38PA+55PB+50PC+72PD+71PE的值保持不變，而且最小。這時，學生充滿了好奇，他們很想知道到底是怎么一回事。

于是，筆者便從|x?3 |+|x?5 |的最小值談起。由絕對值的幾何意義知，|x?3 |和|x?5 |在數軸上分別表示x到3和x到5的距離。在x軸上任取一點x作為動點，仿照上一環節中的步驟，即可研究|x?3|+|x?5 |的最小值。仿照|x?3 |+|x?5|最小值的研究方法，再探究|x?3 |+|x?5 |+|x?2|，|x?3 |+|x?5 |+|x?2 |+|x+1|，|x?3 |+|x?5 |+|x?2 |+|x+1|+|x+7 |的最小值。結合數軸、絕對值的幾何意義等相關知識，學生很快發現了如下規律。

若a1≤a2≤a3≤…≤an?1≤an，對于|x?a1|+|x?a2|+|x?a3|+…+|x?an?1|+|x?an|。

（1）若n為奇數，則當x=an+1時，原式有最小值。

（2）若n為偶數，則當an≤x≤an+1時，原式有最小值。

至此，學生恍然大悟。原來例1 中的街道相當于數軸，A，B，C，D，E五幢樓則是數軸上的點a1，a2，a3，a4，a5。要計算設立大桶水供應點的位置，使得五幢樓內的居民取水所走路程之和最小，則相當于在數軸上尋找點x，使38|x?a1|+55|x?a2|+50|x?a3|+72|x?a4|+85|x?a5|的值最小。這樣，此類問題的本質得到了很好的揭示。

（二）幾何畫板在幾何教學中的應用

幾何畫板為學生自主探索和自主學習提供了一個很好的平臺，它是學生進行研究性學習的強有力的工具。教師應教會學生應用幾何畫板畫圖分析、探索思考、合作交流，讓學生親歷知識的產生與形成過程，使“知識”發現、“方法”習得與“態度”形成達到高度統一，從而實現知識的自主建構。

近年來，一類以“鏈式”問題形式出現的幾何探究題可謂精彩紛呈，命題者充分考慮到學生的認知規律，讓學生在一定的情境中完成探究，使學生的才能得到充分的展示，因此此類探究題成為中考數學的一大亮點。這類探究題往往缺少一定的條件或無明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明。根據其特征大致可分為條件探究題、結論探究題、規律探究題和存在探究題等。探究題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎、構思精巧，具有相當的深度和難度。

［例2］如圖5，點A為等邊三角形BCE內任一點，以AB為一邊作等邊三角形ABD，連接DE，AC，則圖中哪兩個三角形全等？請說明理由。

圖5

學生容易發現并證明△ABC≌△DBE，然后以AC為一邊作等邊三角形ACF，連接EF（如圖6），同理可證△ABC≌△FEC。這時，教師提出問題，并進行師生交流。

圖6

師：除全等三角形外，你還發現了什么結論？你能說明其中的道理嗎？

生1：四邊形AFED是平行四邊形。易得△ABC≌△DBE和△ABC≌△FEC，所以△DBE≌△FEC，所以EF=DB=AD，DE=FC=AF，用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可證。

師：拖動點A，改變它在△BCE中的位置，有什么發現？

生2：四邊形AFED還有可能是矩形、菱形、正方形。

師：當△ABC滿足什么條件時，會出現上述情形？

生3：只要△ABC滿足∠BAC=150°，四邊形AFED就是矩形。

師：你是怎么探索的？

生4：因為四邊形AFED是平行四邊形，所以要使四邊形AFED是矩形，只要有一個角等于90°或對角線相等即可。而點A是△ABC與四邊形AFED的公共點，分析與點A相關的元素。四邊形AFED與△ABC相關的角是∠DAF，只要使∠DAF=90°即可，△ABC只要滿足∠BAC=360° ?90° ?2 ×60°=150°即可。

很快，學生的興趣被激發了，有學生發現，要使四邊形AFED是正方形，首先要保證它為矩形，即△ABC滿足∠BAC=150°，而這樣的點A有無數多個，同時還應滿足“鄰邊相等”，而四邊形AFED與△ABC相關的鄰邊為AD，AF，所以只要AD=AF即可，而AD=AB，AF=AC，需要再補充AB=AC這個條件，所以當△ABC滿足AB=AC且∠BAC=150°時，四邊形AFED是正方形。

在探索當△ABC滿足什么條件，四邊形AFED是菱形時，學生首先進行了分析和猜想：在上面正方形的探索中，當△ABC滿足AB=AC時，AF=AC一定成立，這時四邊形AFED是菱形。

生5：在操作幾何畫板尋找滿足條件的點A的位置時，總是很難精準地找到相應的位置，不知有什么辦法？

生6：因為點A滿足AB=AC，且點A在△BCE內，所以點A的軌跡為線段BC的中垂線在△BCE內的那一部分，那么作線段BC的中垂線EM，在線段EM（不含端點E）上的任何一點均可使四邊形AFED是菱形。

由于學生的知識限制，對于使四邊形AFED是矩形及正方體時，找點的精確位置需要進行詳細的講解。因為△ABC滿足∠BAC=150°，而“同弧所對的圓周角相等”，所以只要找到一個特殊點N，使∠BNC=150°，劣弧BNC即為所求點A的軌跡，將點A與劣弧BNC合并即可。

通過上述分析與操作，學生發現點A的運動引起△ABC的形狀發生變化，進而使得四邊形AFED變成不同的形狀。這樣的課堂生動形象而又有趣，減少了教師畫圖的時間，提高了教學效率，激發了學生對數學問題的探究熱情。

綜上，數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效；要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意投入到探索性的數學活動中去。數學課程改革要反映信息技術所引發的變革，就必須將數學課堂教學與信息技術進行整合。幾何畫板在作圖的過程中動態地保持了幾何圖形中內在的、恒定不變的幾何關系及幾何規律。利用幾何畫板可以按給定的數學規律和關系來制作圖形（或圖像、表格）。學生在通過觀察、類比和分析提出問題后，還可以借助幾何畫板驗證問題的真假，從而發現恒定不變的幾何規律。

課堂教學魅力無窮、潛力巨大，結合信息技術，可使課堂教學精彩紛呈。幾何畫板具備強大的圖形生成功能，彌補了傳統教學手段的不足，大大提高了教學效率和教學效果，但課堂教學也不能由信息技術“牽”著走，教師應根據課程內容擇優使用，不能太過依賴信息技術。信息技術的本質是輔助教學，幾何畫板的使用應以提高學生學習興趣、引發學生思考、提高學習效率為目的，讓學生學會主動探究，理解概念和結論，知其所以然。