“多變的全等三角形”教學研究

廣西南寧市第三中學初中部青秀校區（530029）鄧筱涵

“全等三角形的判定”是初中平面幾何中的核心內容，是判斷線段相等和角相等的重要依據，是研究幾何圖形不可或缺的工具。因此，學生熟練掌握全等三角形的判定方法及其應用非常重要。初中階段著重探究的兩個平面圖形的關系是全等與相似，而全等又是相似的一種特殊情況，所以能夠靈活運用全等三角形的性質和判定方法，是學生掌握相似三角形的基礎。

一、目標和目標分析

（一）目標

（1）使學生掌握全等三角形的性質和判定方法，能靈活運用全等三角形的性質和判定方法解決問題；

（2）讓學生從基本圖形入手，學會利用圖形變換探究數學問題。

（二）目標分析

圖形是多變的，教師在講解圖形知識時若僅設置大量問題讓學生解決，然后就題論題進行講解，往往會增加學生的壓力，讓學生在“題?！泵媲笆バ判?，進而導致學習動力減弱，而采用一題多變的方法能有效激發學生的學習興趣，調動學生學習的積極性。

二、教學重難點

（一）重點

能靈活運用全等三角形的性質和判定方法，通過圖形變換加強數學變式的理解。

（二）難點

對全等三角形問題變式的理解。

三、教學過程

（一）復習提問，展示母題

問題1：如圖1，AB=AD，BC=CD，△ABC和△ADC全等嗎？為什么？圖中有相等的角嗎？為什么？

圖1

師生活動：學生通過獨立思考回答問題，明確每一個解題步驟的理論依據；教師指導學生總結全等三角形的性質和判定方法，繪制相關思維導圖（如圖2），總結圖形中通常隱含的條件——公共邊、公共角、對頂角。

圖2

解：△ABC和△ADC全等，理由如下。

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC?△ADC(SSS)

∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD。

設計意圖：利用本題回顧全等三角形的性質和判定方法，總結如何根據已知條件選擇全等三角形的判定方法，為一題多變打下知識基礎。

（二）一題多變，引入新課

問題2：將圖3 右邊的三角形沿著AC邊向上平移，得到一個新的圖形，AB=DE，BC=DF，此時可以說明△ABC和△DEF全等嗎？

圖3

學生很容易發現沒有公共邊，缺少一個條件，無法證明兩個三角形全等，自然而然地想到需要添加條件。那么需要添加什么條件才能使這兩個三角形全等呢？

分析：已知兩邊，找夾角或找第三邊或找直角。本題可以添加夾角相等利用SAS判定全等，或者添加第三邊相等利用SSS 判定全等。因此，需添加∠B=∠D或AC=EF。

設計意圖：通過平移變換，化靜態為動態，使圖形“動”起來，啟發學生觀察圖形之間的聯系，發現變化之后依然存在三角形全等的關系，從變中觀察出不變。

問題3：將圖1 右邊的三角形繞點A順時針旋轉，使一邊落在AB上，如圖4所示，此時AB=AD，添加什么條件，能使△ABC和△ADE全等？利用了哪些判定方法？

圖4

教師先讓學生盡可能把自己想到的條件添加進來，再判斷正誤，最后引導學生從邊和角兩個角度分類討論進行添加。

分析：隱含有公共角，屬于“已知一邊一角”的情況，可以通過添加一邊或一角，注意邊角的位置關系，利用SAS，AAS，ASA來證明。因此，需添加邊AC=AE，或添加角∠B=∠D，或添加角∠ACB=∠AED。

設計意圖：由平移變換變成旋轉變換，啟發學生從多個角度對圖形進行變形，讓學生觀察圖形變形之后什么變了、什么沒變，讓學生學會建立圖形之間的聯系，進一步拓寬學生的視野，培養學生一題多變的能力。

問題4：繼續順時針旋轉三角形，使∠CAD=∠EAB，如圖5，此時AB=AD，AC=AE，你可以證明BC=DE嗎？

圖5

師生活動：學生觀察問題3與問題4之間的區別與聯系。

分析：題目間接考查全等三角形的判定方法，運用全等三角形的性質得到線段相等，利用全等來證明線段相等是比較常用的方法。在全等三角形判定的過程中由已知條件不是直接得到夾角相等，而是利用等式的性質，等式兩邊加上同一個角證明夾角相等，這也是常用的技巧。

證明：∵∠CAD=∠EAB，

∴∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD，

即∠CAB=∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC?△ADE(SAS)，

∴BC=DE。

設計意圖：從問題3到問題4是從特殊到一般，從特殊到一般是研究客觀事物和解決問題時常用的數學思想方法，它是通過研究特殊情況來求得一般情況下的結論。有些數學知識比較抽象，直接讓學生掌握有一定難度，而從特殊情況入手，可使學生產生進一步探討新知識的興趣，進而達到教學目的。

問題5：如圖6，繼續順時針旋轉三角形，已知∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，連接BE，CD，請問BE和CD有什么數量關系？

圖6

師生活動：學生書寫證明過程，教師提醒幾何解題的規范格式。

分析：問題5 中隱含著兩對全等三角形，引導學生找對全等三角形，即可解決問題。

解：BE=CD，理由如下。

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，

即∠CAD=∠EAB，

在△ABE和△ADC中，

∴△ABE?△ADC(SAS)，

∴BE=CD。

設計意圖：通過圖形的變換使學生感受一題可以多變，可以轉化成新的題目，但萬變不離其宗，解題的關鍵在于從復雜的圖形中找出全等三角形。

（三）活動探究，合作領悟

問題6：通過上述活動，你們已經初步體會了有趣的一題多變、一圖多變。你們是否可以把例題中的圖形沿著AC邊剪開分成兩個三角形，把這兩個三角形任意組合成一個新的圖形，然后命題并解答？

預設得到的圖形（如圖7）：

圖7

師生活動：教師組織學生以小組合作的形式探究、解決問題，并讓小組派代表展示，其他小組進行點評，教師最后進行總結。

設計意圖：經過一題多變，能得到常見的圖形，不但增加了學生的圖形儲備，而且建立了圖像間的聯系，還培養了學生的創新意識和發散性思維能力。經過本環節的設計，學生的學習由被動轉為主動，學生也產生了自主研究的需要，經過小組協作學生體驗到了合作學習的快樂，并體會到了成功的快樂，進而提高了學習能力。

（四）課堂小結，鞏固提升

問題7：本節課你學習了哪些知識？掌握了哪些研究圖形的方法？還有什么疑惑的地方？

學生回答：

（1）掌握了全等三角形的性質和判定方法及其運用；

（2）通過一題多變，理解了在解題時要抓住本質的東西，要善于從復雜圖形中提取基本圖形；

（3）經歷了圖形的變化過程，學會了在解題時如何去研究問題，從而得到一類問題的解法。

設計意圖：通過指導學生對本節課的重難點加以歸納，使得學生能夠抓住知識重點，梳理學習的過程，提煉一題多變的方法，培養學生歸納概括的能力。

（五）布置作業，延伸興趣

做教科書第56 頁第7 題、第9 題（題目略），并將第7題進行變式，自主命題并解題。

（六）板書設計（如圖8）

圖8

四、教學反思

學生的學習動力可分為內部動力和外部動力，學生在學習數學的過程中關注的是數學知識是否使其感興趣，知識的呈現方式是否被其所接受，教師作為外部動力因素之一就影響著學生的內部動力。因此，教師必須在數學教學過程中啟發學生產生對數學的需要和興趣，讓學生不斷地在學習活動中感受到成功的快樂，從而增強學生學習數學的信心。

本節課的課題為“多變的全等三角形”，比較生動有趣，賦予全等三角形生命力，拉近數學與學生之間的距離，學生會產生好奇：全等三角形會發生怎樣的變化？在教學時，教師可采用幾何畫板動態展示三角形變化的過程，使靜態的圖形運動起來，讓學生體會到原來圖形之間是有聯系的，每一個原本看起來孤立的圖形，實際上都是由一個基本圖形演變而來。一題多變的設計可以幫助學生找到研究數學的方法，并學會舉一反三、觸類旁通，提高學生學習數學的信心。在題目的設置方面也不拘泥于簡單的證明，而是設置了開放式的答案，有助于訓練學生的發散性思維。

通過上述一題多變的體驗，學生初步掌握了進行一題多變，玩轉兩個全等三角形的方法。在活動探究、合作學習環節，教師給學生搭建了一個充分展示自我的平臺，激發了學生的學習興趣。在合作學習過程中，后進生可以變化圖形，優等生可以設置題目，中等生可以解答題目，使得各個層次的學生在數學學習上都獲得了不同的發展，也培養了學生的創新能力。教學環節的設置一改單調、古板、重復的傳統解題教學模式，使數學學習更有趣味性，使學生能感受到數學學習的快樂，使學生的思維更有活力。