導數中指數式與對數式的處理技巧

廣西南寧市第三中學（530021）劉 輝

導數是研究函數圖像和性質的重要工具，也是高考數學的重點和難點內容。導數的教學不僅可以培養學生的運算能力，訓練學生分析問題和解決問題的能力，還可以滲透函數與方程、轉化與化歸、數形結合、分類討論等數學思想。由于導數解答題中的函數結構復雜，常含有指數式或對數式等超越式，常需高深的構造函數或運算的技巧，有時還需要進行多次含參討論，讓不少學生找不到解題的突破口。當函數中含有指數式或對數式等超越式時，可以采用“團結指數”“孤立對數”“指對分離”“利用同構”“適當放縮”等解題技巧。文章以一些典型問題為例，講解這五種技巧，為學生提供明確清晰的解題思路。

一、團結指數

如果一個函數由指數式ex和多項式構成，則通常將函數轉化為形如h(x)·ex或h(x)·e?x的形式，由于(ex·h(x))′=ex(h(x)+h′(x))，(e?x·h(x))′=e?x(?h(x) +h′(x))，ex為正數，導數只要正負，求導后就不需要再研究指數式了，此時問題就簡化為研究多項式h(x)和h′(x)的正負情況，進行分類討論即可求解。這種將ex或e?x與多項式乘在一起當作新函數來研究的方法，稱為“團結指數”。

［例1］（2020 年全國Ⅰ卷第21 題第2 問）已知函數f(x)=ex+ax2?x。當x≥0 時，f(x) ≥求a的取值范圍。

問題1：本題屬于導數中的哪種類型？這類問題有哪些常見解法？

由題意可得，ex≥，本題屬于不等式恒成立問題，最常見的解法有分離變量法和直接求導分類討論法。分離變量法的解題思想是將“含參”問題轉化為“無參”問題，本題可以利用這種方法求解，但運算量較大，對學生的計算能力要求極高。若直接作差、求導，再分類討論，導數中仍含ex和多項式，且含有參數，看不出導數的正負，也不可以分解因式，沒辦法進行討論。

問題2：分類討論法用不了，分離變量法計算又太繁雜，我們應從哪個角度思考呢？

這里注意到x≥0，e?x>0，故只需要討論(x?2a?1)(x?2)的符號情況。

問題3：這種與二次函數有關的導數題目，分類討論的標準是什么？

通常比較導數等于0 的兩根的大小，還要拿這兩根與區間的端點值進行大小比較，因此2a+1 既要和2進行大小比較，也要與0進行大小比較。

（1）當2a+1 ≤0,即a≤時，當x∈(0,2)時，g′(x) >0,故g(x)在(0,2)上單調遞增，此時g(x) >g(0)=1，不符合題意。

（2）當0<2a+1<2，即時，x∈(0,2a+1)時，g′(x) <0，g(x)單調遞減；x∈(2a+1,2)時，g′(x) >0，g(x) 單調遞增；x∈(2a+1,+∞) 時，g′(x) <0，g(x)單調遞減。

總結：本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查學生分析問題和解決問題的能力。教師應引導學生掌握本題中轉化函數結構的背景：當指數式ex和多項式同時出現時，常轉化為ex或e?x與多項式乘積的結構。另外，也需要學生總結不等式恒成立問題的各種處理方法，以及含參分類討論的標準，做到學一題、得一法、會一類。

二、孤立對數

當0 0，則分子2xlnx+(k?1)(x2?1)>0；當x>1時，分母x(1 ?x2)<0，則分子2xlnx+(k?1)(x2?1) <0，即 函 數y=2xlnx+(k?1)(x2?1)在(0,1)上為負數，在(1,+∞)上為正數。

問題2：這種不等式問題，一般先求導，再研究單調性即可，大家試一下，過程中會遇到什么障礙？

如果我們把分子當成一個新函數y=2xlnx+(k?1)(x2?1)，求導，得y′=2(1+lnx)+2(k?1)x，導數會帶有lnx，且含有參數k，不易處理，若再次求導，二階導數中仍有參數，且看不出正負。

問題3：這種情況下，如何對函數變形？

總結：當函數結構中含有對數式和多項式時，可以適當使用“孤立對數”這一技巧，求導后不再含有對數式，可以簡化導數的結構，降低問題的難度。實際上，“團結指數”“孤立對數”等本質是一樣的，都是通過處理，使導數結構中不含指數式或對數式。

三、指對分離

在不等式證明中，如果同時出現ex與lnx，求導后含有超越式，且多次求導后也看不出正負，就可以考慮將指數式和對數式分開，分別研究兩個函數的最值，從而解決問題。這種將指數和對數分開，研究兩個函數的方法稱為“指對分離”，一般適用于含指數式和對數式的不等式證明。

問題1：如何證明一個函數大于0？

問題2：能否嘗試對函數結構進行變形？

問題3：觀察前兩個嘗試，合在一起無法處理，將函數分開成兩個會怎樣？

注意到m′(x)=(1+lnx) ?，若分開成兩部分，很容易看出這兩個函數的極值點。

總結：在指數與對數同時出現的不等式證明中，如果直接求導或多次求導仍無法得證，就可以考慮將指數和對數分開，變成兩個函數，分別研究兩個函數的最值。在證明過程中，要適當乘上或除以多項式進行調整。一般是一個函數的最大值小于或等于另一個函數的最小值，由于滿足的條件較為苛刻，因此“指對分離”這個技巧一般適用于含指數式和對數式的不等式證明，在求參數范圍時很少用。另外，ex，lnx，x這三者之間通過乘或除構成的函數的單調性、最值或圖像，我們也要非常熟悉。

四、利用同構

為了達到不等式兩邊“結構”相同的目的，常需對“指對式”進行“改頭換面”，如x=elnx，xex=elnx+x，通過轉化，構造出結構相同的式子，再構造函數，利用新函數的單調性求解，這種方法稱為“利用同構”，通過同構，可將復雜的函數結構變簡單，降低問題的難度。

［例4］（2020 年山東高考第21 題第2 問）已知函數f(x)=aex?1?lnx+lna，若f(x) ≥1，求a的取值范圍。

問題1：由題意得aex?1?lnx+lna≥1，這個不等式結構有什么特點？

不等式中既有指數又有對數，不適合使用“指對分離”的技巧，求導后仍是超越式，直接求導也無法得解，需要仔細觀察函數結構，尋求轉化。

問題2：嘗試一下，看看如何轉化？

注意aex?1=ex?1+lna，原不等式轉化為elna+x?1?1+lna≥lnx，兩邊同時加上x上后可得elna+x?1+x?1+lna≥x+lnx，elna+x?1取以e 為底的對數就是x?1+lna，這樣構成了左右兩邊結構相同的式子，再構造新函數，利用不等式求解，這就是“利用同構”法。

解：由f(x)=aex?1?lnx+lna≥1 移項得aex?1+lna≥lnx+1，即elna+x?1+lna≥lnx+1，兩邊同時加（x?1）得elna+x?1+x+lna?1 ≥lnx+x，即elna+x?1+(x+lna?1) ≥lnx+elnx，

設g(x)=x+ex，則g′(x)=1+ex>0，所以g(x)單調遞增，所以lna+x?1 ≥lnx，即x?lnx+lna?1 ≥0，

設h(x)=x?lnx+lna?1，則h′(x)=1 ?所以h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，所以h(x)min=h(1)=lna≥0，所以a≥1。

五、適當放縮

在導數的學習中，我們需要熟練掌握一些常見的不等式，如x>0 時，

問題1：對于這個不等式，你有什么想法？

題目中既有指數式ex，又有三角函數sinx，還有對數式，直接求導不易處理，如果能得關于ex和sinx的常見不等式就可以通過放縮法簡化函數結構，降低問題難度。

問題2：關于指數式ex和三角函數sinx的常見不等式，你最容易想到什么？

想到泰勒展開式，利用泰勒展開式可以得關于ex和sinx的常見不等式。

解：要證明ex+sinx>xlnx+1，可對不等式左邊進行放縮，

總結：適當放縮，可以快速將指數式或對數式這兩種超越式與多項式建立聯系。但放縮法對學生的能力要求很高，需要學生熟練掌握很多常見不等式和熟悉各種函數結構組合后的特點。在教學中，教師要做好引導，通過不同的放縮來拓展學生的視野，開闊學生的思路，同時也要注重充分展示學生的思維成果，鼓勵學生大膽嘗試，讓學生樂于放縮，享受“放縮”帶來的快樂。

綜上所述，對于含有指數式或對數式的導數題目，通過團結指數、孤立對數、指對分離、利用同構、適當放縮這五種技巧，可以簡化函數結構，減少討論，降低問題的難度。學生要對函數進行分析，觀察函數的具體特征，研究函數的結構，將復雜的函數轉化為合適的函數，并有針對性地選擇解題方法，總結解題思路，提高解題水平。