關注高考數學新題型“多選題”之導數部分

江蘇省外國語學校（215100）何 慧

高考數學選擇題出現新題型“多選題”，這比以前的“單選題”增加了難度，不便于直接運用排除法迅速獲解?；诖?，筆者對導數部分“多選題”進行歸類解析，以便學生熟悉新題型，增強解題體驗，不斷積累解題經驗。

類型一、以“多選題”的形式考查函數的極值點

［例1］（多選題）（2021 年北京師大附中期中考試試題）下列函數中，存在極值點的是（ ）。

對于選項B，函數y=根據指數函數的圖像與性質，當x<0 時，函數y=2|x|單調遞減，當x>0 時，函數y=2|x|單調遞增，所以函數y=2|x|在x=0處取得極小值。

對于選項C，函數y=?2x3?x，則y′=?6x2?1 <0，所以函數y=?2x3?x在R 上單調遞減，沒有極值點。

綜上，應選B，D，E。

評注：一般地，分析f(x)是否存在極值點，不是考查方程f′(x)=0是否有解，而是考查導函數在某點附近左右兩側的單調性是否相反，即考查導函數是否存在變號零點。

類型二、以“多選題”的形式考查導函數的圖像與函數的性質

［例2］（多選題）（2021 年山東省日照實驗高級中學階段性考試試題）函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖像如圖1 所示，以下命題錯誤的是（ ）。

圖1

A.?3是函數y=f(x)的極值點

B.?1是函數y=f(x)的最小值點

C.y=f(x)在區間(?3,1)上單調遞增

D.y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零

解析：根據導函數的圖像可知，當x∈(?∞,?3)時，f′(x) <0，在x∈(?3,1)時，f′(x) >0，所以函數y=f(x)在(?∞,?3)上單調遞減，在(?3,1)上單調遞增，則x=?3是函數y=f(x)的極值點。

因為函數y=f(x)在(?3,1)上單調遞增，所以?1不是函數y=f(x)的最小值點。

因為函數y=f(x)在x=0 處的導數大于0，所以y=f(x)在x=0處切線的斜率大于0。

綜上，命題錯誤的選項為B，D。

評注：以圖為載體考查導數的應用，解題切入點是認真觀察圖形特點。

類型三、以“多選題”的形式考查函數的單調性與極值

［例3］（多選題）（2020 年山東省泰安第二中學月 考題）設f′(x)為函數f(x)的導函數，已知

評注：本題還可以靈活運用特例法獲解。取適合題意的函數f(x)=2，則易知A，B 錯誤，又多選，故選C，D。

類型五、以“多選題”的形式考查導數的應用

［例5］（多選題）（2021 年北京師大附中試題）設函數f(x)=

則函數g(x)（即xf(x)）在()1,+∞上單調遞增，在（0，1）上單調遞減。故函數g(x)（即xf(x)）的極小值為g(1)=f(1)=故選A，B，C。

評注：本題的解題關鍵是準確分析函數xf(x)的單調性和極值，從而需要考慮導數的運算法則。對題設條件x2f′(x)+xf(x)=lnx進行適當變形，有利于問題的分析與求解。，則下列說法正確的是（ ）。

A.f(x)定義域是(0,+∞)

B.x∈(0,1)時，f(x)圖像位于x軸下方

C.f(x)存在單調遞增區間

D.f(x)有且僅有兩個極值點

E.f(x)在區間（1，2）上有最大值

類型四、以“多選題”的形式考查導函數與不等式的交匯

［例4］（多選題）（2020 年山東省濟南市章丘區試題）定義在(0,+∞)上的函數f(x)的導函數為f′(x)，且(x+1)f′(x)?f(x)

因為(x+1)f′(x)?f(x)g(2)>g(3)，整理得2f(2)?3f(1) <5，f(3)?2f(1) <7，故A錯誤，C正確。

據此可知，f(x)存在單調遞增區間，故選項C正確；f(x)有且僅有1 個極小值點，故選項D 不正確；f(x)在區間（1，2）上先減后增，沒有最大值，所以選項E不正確。

綜上，應選B，C。

評注：本題還可以借助數形結合法加以巧解。先根據導數分析函數的性質，再畫出函數的大致圖像，最后觀察圖像即可確定結論。

類型六、以“多選題”的形式考查導數與其他知識的綜合運用

［例6］（多選題）（2020 年山東省棗莊市高三訓練題）關于函數f(x)=+lnx，下列判斷正確的是（ ）。

A.x=2是f(x)的極大值點

B.函數y=f(x)?x有且只有1個零點

C.存在正實數k，使得f(x)>kx恒成立

D.對任意兩個正實數x1，x2，且x2>x1，若f(x1)=f(x2)，則x1+x2>4

設函數h(x)=x?xlnx?4（x>0），則h′(x)=?lnx，易知函數h(x) 在(0,1) 上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減，所以h(x) ≤h(1)=?3 <0，g′(x) <0，函數g(x)在(0,+∞)上單調遞減。又當x→+∞時，g(x)>0且g(x) →0，所以根據（?）式可得k≤0，這顯然與k為正實數矛盾。故不存在正實數k，使得f(x)>kx恒成立，故選項C錯誤。

（4）由（1）知，f(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增，x=2 是f(x)的極小值點。由于任意兩個正實數x1，x2，且x2>x1，f(x1)=f(x2)，故0

由于t>1，則tlnt>0，故證2t2?2 ?4tlnt>0(t>1（)??）。

綜上，應選B，D。

評注：本題設計較好，側重考查由導數知識求解函數的極值點、零點問題以及函數與不等式的綜合問題，其中選項C，D 難度較大，對學生分析與解決問題的能力有較好的考查。