利用函數對稱性與周期性的關系解題

楊 婷

(甘肅省慶陽市北京師范大學慶陽附屬學校，745200)

函數圖象的對稱性和周期性是函數的兩個重要性質,許多函數問題常常需要利用兩個性質的關系來求解.本文先歸納、證明這兩個性質關系的幾個基本結論,再舉例說明這些結論在求解相關問題中的應用.

一、基本結論

結論1若函數y=f(x)的圖象分別關于兩條直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=2|a-b|為y=f(x)的一個周期.

結論2若函數y=f(x)的圖象分別關于兩點A(a,0),B(b,0)(a≠b)對稱，則y=f(x)是周期函數,且T=2|a-b|為y=f(x)的一個周期.

結論3如果函數y=f(x)的圖象關于點A(a,0)和直線x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期函數，且T=4|a-b|為y=f(x)的一個周期.

幾個結論的證明具有一定的相似性,下面僅以結論3為例,給出證明.

因為y=f(x)的圖象關于點A(a,0)對稱，設P(x1,y1),Q(x2,y2)為y=f(x)上任意一對對稱點,則x1+x2=2a且y1+y2=0.所以y2=-y1,即f(x2)=-f(x1),亦即f(2a-x1)=-f(x1).由x1的任意性,可知f(x)=-f(2a-x)對定義域內的所有x成立.

又因為函數y=f(x)的圖象關于直線x=b對稱,同理可知f(x)=f(2b-x)對定義域內的所有x成立.

于是,對定義域內的所有x,恒有f(2b-x)=-f(2a-x).

所以f[2b-(2a-x)]=-f[2a-(2a-x)]=-f(x),即f[2(b-a)+x)]=-f(x).進而f{2(b-a)+[2(b-a)+x]}=-f[2(b-a)+x]=f(x).即f[4(b-a)+x]=f(x).可見y=f(x)是周期函數，且T=4|a-b|為f(x)的一個周期.

二、應用舉例

1.求函數值

例1已知f(x)為R上的奇函數，并且f(x)+f(2-x)=0,當-1

解由f(x)為R上的奇函數，得f(x)圖象關于點(0，0)對稱；又由f(x)+f(2-x)=0,得f(2-x)=-f(x),即f(x)圖象關于點(1，0)對稱.由結論2，可知y=f(x)是周期函數，且以T=2|1-0|=2為函數f(x)的一個周期.

例2已知定義域為R的可導函數y=f(x)滿足f(4-x)=f(x),且f(8-x)=f(x),則曲線y=f(x)在x=2 022處的切線的斜率為( )

(A)2 022 (B)2 021 (C)1 (D)0

解由f(4-x)=f(x)，可知f(x)圖象關于直線x=2對稱；由f(8-x)=f(x)，可知f(x)圖象關于直線x=4對稱.所以由結論1可知函數f(x)和它的導函數f′(x)都是R上的周期函數，且T=2|2-4|=4為它們的一個周期.

因為f(x)圖象關于直線x=2對稱，所以f′(2)=0.又2 022=505×4+2,于是f′(2 022)=f′(2)=0.故選D.

2.比較大小

例3已知定義在R上的函數f(x)滿足：①f(-x)+f(x)=0;② 函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱;③ 在區間[0,2]上是增函數.則( )

(A)f(18)

(B)f(5)

(C)f(5)

(D)f(18)

解由條件① 知f(x)為奇函數,所以f(x)的圖象關于原點(0,0)對稱.

又函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱,由結論3可知y=f(x)是周期函數,且T=4|0-2|=8為f(x)的一個周期.

由① ③ 知f(x)在[-2,2]是增函數.

于是f(18)=f(2),f(-32)=f(0),f(5)=f(-1).結合函數f(x)在[-2,2]的單調性,可得f(-1)

3.求解方程問題

例4已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0,2]是增函數.若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=( )

(A)-12 (B)-8 (C)-4 (D)4

解因為f(x)為R上的奇函數,所以f(x)圖象關于點(0，0)對稱.

因為f(x-4)=-f(x),即f(4-x)=f(x),所以f(x)的圖象關于直線x=2對稱.

所以根據結論3可知函數y=f(x)是周期函數,且T=4|0-2|=8為函數y=f(x)的一個周期.

又因為f(x)在[0,2]是增函數,所以f(x)在[-2,0]也是增函數.如此不難畫出f(x)的草圖，如圖1.

同理x3+x4=4.所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.故選B.

4.綜合應用

例5已知函數f(x)滿足：當x∈(-∞,+∞)時，f(2-x)=f(2+x)且f(7-x)=f(7+x),在區間[0,7]只有f(1)=f(3)=0.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)試求方程f(x)=0在[-2 022,2 022]上的根的個數，并證明你的結論.

解由f(2-x)=f(2+x),可得f(x)=f(4-x),所以f(x)圖象關于直線x=2對稱.

由f(7-x)=f(7+x),可得f(x)=f(14-x),f(x)圖象關于直線x=7對稱.

所以由結論1可知y=f(x)是周期函數，且T=2|2-7|=10為f(x)的一個周期.

(1)由于在閉區間[0,7]只有f(1)=f(3)=0,所以f(-3)=f(7)≠0.顯然f(-3)≠f(3),且f(-3)≠-f(3),故f(x)是非奇非偶函數.

(2)由f(1)=f(3)=0,f(x)=f(4-x)及f(x)周期為10，得f(11)=f(13)=f(-9)=f(-7)=0,可知f(x)=0在區間[0,10]及[-10,0]各有兩個根.

因此，由2 022=202×10+2，可得到函數f(x)=0在區間[0,2 022]有405個根，在區間[-2 022,0]有404個根.故在[-2 022,2 022]的所有根的個數為809個.

評注本題的一個重要“點”是給出了兩個類似的函數等式.抓住這個“點”聯想到函數的對稱性，由結論1可知函數f(x)一定是周期函數.從周期出發，我們是通過思考兩點求解的：(1)借助f(1)=f(3)=0求出一些函數值，由此可發現奇偶性；(2)求出一個周期上方程f(x)=0根的個數，再由周期性得出在區間[-2 022,2 022]上的所有根的個數.