設置連接阻尼器的相鄰結構隨機地震動響應的簡明封閉解

李創第， 楊雪峰， 李宇翔， 葛新廣

(廣西科技大學 土木建筑工程學院，柳州 545006)

1 引 言

地震災害調查研究表明[1-3]，相鄰建筑結構在地震激勵作用下發生碰撞導致結構構件的破壞甚至整體倒塌的問題日益凸顯，引發了專家學者的廣泛關注[4-6]。Wu等[7]對相鄰建筑間設置粘滯流體阻尼器的組合體系動力性能進行了研究，研究表明相鄰結構間設置粘滯流體阻尼器具有良好的減震效果。劉佩等[8]對考慮碰撞效應的相鄰框架結構易損性進行了研究，研究表明碰撞對結構的局部響應影響較大。劉紹峰等[9]對連接粘滯阻尼器的相鄰結構進行了振動臺試驗研究，研究表明連接阻尼器對相鄰結構地震反應具有一定的控制作用。Hao等[10]對相鄰結構間連接調諧粘滯質量阻尼器進行了研究，發現調諧粘滯質量阻尼器具有良好的減震性能。在抗震設計中層間位移大小決定了結構內力的大小，以上研究未能給出層間位移的表達式，因此，對結構層間位移的研究具有重要的工程意義。

地震動觀測表明，地震動是一種隨機過程。工程界已提出了多種隨機激勵模型，如Kanai-Tajimi譜[11,12]、Clough-Penzien譜[13]和歐進萍譜[14]等。Kanai-Tajimi譜將場地土表層的震動看做場地土對下臥層基巖的震動過濾而來，而基巖具有白噪聲隨機過程的震動，是其他更復雜隨機地震動模型的基礎。結構隨機地震動響應分析方法主要有時域法和頻域法[15,16]。時域法應用的前提[17,18]是隨機激勵模型具有協方差函數，Kanai-Tajimi雖然具有協方差表達式，但是獲得的地震動響應表達式復雜。而頻域法則是利用結構響應功率譜密度函數等于結構的頻響函數模值的平方與地震動激勵功率譜的代數乘積，該方法的不足之處是工程應用時需先得到結構的響應方差和譜矩，而要獲得這些物理量需要對響應功率譜密度函數進行積分處理，其精度和效率受積分區間與積分步長的選取影響較大[19]。XU等[20]研究了在相鄰結構設置主動控制下的組合體系基于Kanai-Tajimi譜隨機激勵下的封閉解，但表達式較為復雜。葛新廣等[17,18]利用Kanai-Tajimi譜的濾波方程與結構的地震動方程重構，從而將結構的地震動方程轉化為易于獲得封閉解的白噪聲激勵，從時域法與頻域法聯合應用的角度獲得了結構位移及層間位移的0階～2階譜矩的簡明封閉解。

本文對Kelvin型粘彈性阻尼器連接的相鄰結構基于Kanai-Tajimi譜地震動激勵下的結構系列響應方差和0階～2階譜矩進行了研究，提出了一種簡明解法。首先，利用Kanai-Tajimi譜的濾波方程與組合體結構的運動方程聯立，將復雜的隨機地震動模型精確轉化為白噪聲激勵模型；其次，利用復模態法獲得了組合體結構位移及層間位移等系列響應時域解的統一簡明表達式；然后，基于時域法與頻域法聯合應用獲得了組合體結構相對于地面的絕對位移和層間相對位移的0階～2階譜矩的簡明封閉解。

2 組合體結構地震動方程的重構

兩相鄰結構通過Kelvin型粘彈性阻尼器進行連接形成組合體結構，結構計算簡圖和Kelvin型粘彈性阻尼器本構模型分別如圖1和圖2所示，其左側及右側結構的運動方程分別為

(1)

(2)

圖1 結構計算簡圖

圖2 Kelvin型粘彈性阻尼器本構模型

式中O1L為JL-1個元素均為0的行向量，O2 L為nL-JL個元素均為0的行向量，O1 R為JR-1個元素均為0的行向量，O2 R為nR-JR個元素均為0的行向量，JL和JR分別為左右側結構連接樓層號，T為向量轉置。

將式(1，2)聯立，則組合體系的地震動方程為

(3)

式中

式中o1為nL×nR階矩陣，內部各元素均為0，組合體中設置阻尼器的左側與右側樓層的剛度及阻尼系數分別為kL,JLJL=kL,JL+kL,JL+ 1+kd，kR,JRJR=kR,JR+kR,JR+ 1+kd，其中,kL,JLJL和kR,JRJR分別為左右側結構剛度矩陣的對角線元素；cL,JLJL=cL,JL+cL,JL+1+cd，cR,JRJR=cR,JR+cR,JR+ 1+cd，其中，cL,JLJL和cR,JRJR分別為左右側結構阻尼矩陣中的對角線元素。組合體中未設置阻尼器的左側與右側樓層的剛度及阻尼系數分別為kL,i i=kL,i+kL,i + 1，kR,i i=kR,i+kR,i + 1；cL,i i=cL,i+cL,i + 1，cR,i i=cR,i+cR,i + 1。Cd和Kd為輔助矩陣，其中，Cd(JL,JR)=-cd，Kd(JL,JR)=-kd，其余元素均為0。

Kanai-Tajimi模型的濾波方程為[11,12,17,18]

(4a,4b)

CüR(τ)=2πS0δ(τ)

(5)

式中S0為地震動強度常數,δ(τ)為Dirac函數。

聯立式(3，4)，并用狀態方程表示

(6,7)

q=2nL+2nR+2

式中o2為(nL+nR)個元素為0的行向量，o3為元素為0的(nL+nR)階方陣，E為(nL+nR)階單位對角陣。

3 地震動方程的復模態解耦

根據復模態理論[15,17-19]，存在特征值矩陣P、右特征向量矩陣U和左特征向量矩陣V，對式(6)復模態解耦，即存在

(8)

式中P為對角陣。

利用復模態變換

y=Uz

(9)

式中z為復模態變量。

將式(9)代入式(6)，利用復模態理論，式(6)可改寫為

(10)

式中

(11)

由于P為對角陣，故式(10)的分量表達式為

(j=1,2,…,q)(12)

(j=1,2,…,q)(13)

4 組合體結構地震動響應的統一解

對組合體結構各層相對于地面的地震動位移和層間地震動變形的分析是工程結構抗震設計的重要環節；而結構層相對于地面的地震動速度(絕對速度)和層間速度是結構抗震動力可靠度分析的基礎。由此，本文研究了上述參數的統一解。

4.1 組合體結構地震動響應的絕對速度與位移

(14a)

(14b)

式中j=1～nL+nR(當j=1～nL時為組合體系中左側的結構，當j=nL+1～nL+nR時為組合體系中右側的結構)，uj為右特征向量矩陣U的第j行向量；動力響應的模態強度系數λj,i為

(15)

式中uj,i為uj的第i個分量。

4.2 組合體結構的層間位移與層間速度

(16a)

ΔxL,j=(uj-uj - 1)z=

(16b)

(16c)

式中j=2～nL。

(17)

(18a)

ΔxR,j=(unL+ j-unL+ j - 1)z=

(18b)

(18c)

式中j=2～nR。

(19)

由式(10，16，18)可得，結構各層位移及其速度、層間位移及其速度可統一表示為

(20)

式中X(t)為地震動響應量;κi為響應量對應的模態強度系數，不同的響應量分別見式(14，16～19)；Xi(t)分量形式如下,

(i=1～q)(21)

5 地震動系列響應的簡明封閉解

5.1 組合體結構地震動響應的協方差

由隨機振動理論及式(20)，結構地震動響應X的協方差為

CX(τ)=E[X(t)X(t+τ)]=

(22)

式中E[·]為數學期望。

由式(21)可知結構地震動響應的分量的協方差為

E[Xk(t)Xi(t+τ)]=κkκi×

(23)

式中u和v為積分變量。

把式(5)代入式(23)，得

E[Xk(t)Xi(t+τ)]=2πS0κkκi×

(24)

利用Dirac函數的性質，式(24)簡化為

(25)

對式(25)積分可得

(26)

由式(22,26)，組合體結構基于Kanai-Tajimi譜的動力響應的協方差為

(27)

由式(27)可知，組合體結構基于Kanai-Tajimi譜隨機激勵的動力響應的協方差可用耗能體系的震動復特征值函數的線性組合表示，表達式簡潔明了，且為模態的完全組合解。

(28)

由隨機振動理論，結構動力響應的單邊功率譜與協方差存在Wiener-Khinchin關系[15]，即

(29)

式中SX(ω)為結構響應X的功率譜。

把式(27)代入式(29)并積分，可得

(30)

5.2 組合體結構地震動響應0階～2階譜矩的簡明封閉解

由平穩激勵的譜矩[15]定義，地震動響應的0階譜矩αX，0為

(31)

對式(31)進行積分運算，可得

(32)

由隨機振動理論，結構隨機地震動響應的0階譜矩等于其方差，比較式(28，32)，可知本文方法計算0階譜矩的正確性。

由隨機振動理論[15,19]，平穩地震動響應變化率的0階譜矩等于其平穩響應的2階譜矩。因此，組合體系響應的2階譜矩可由對應響應量的變化率的0階譜矩表示，即

(33)

組合體系響應的一階譜矩[15]為

(34)

由文獻[17,18]，譜矩αX,1可表示為

(35)

根據式(14～19，32，33，35)，組合體結構的地震動響應的0階～2階譜矩均有簡明封閉解。

6 算 例

一鋼筋混凝土組合體結構，左側結構(主結構)樓層數為10層，右側結構(相鄰結構)為6層，左右側結構層高均為3.6 m，兩建筑結構均在6層設置粘彈性阻尼器相連接。左側結構各層質量均為 1.5×105kg，各層抗側剛度均為1.67×107N/m；右側結構各層質量均為0.9×105kg，各層抗側剛度為2.04×107N/m；結構阻尼采用瑞雷阻尼模型，阻尼比0.05。粘彈性阻尼器采用Kelvin模型，其力學參數為kd=1.0×106N/m，cd=1.0×105N·s/m。Kanai-Tajimi隨機激勵模型的參數為ωg=25.13 rad/s，ξg=0.64，S0=23.17×10-4m2/s3。

6.1 功率譜對比分析

由式(3)可知，基于虛擬激勵的結構響應的頻域解為

(36)

式中

x(ω)={xL,1(ω),…,xL,nL(ω),xR,1(ω),…,xR,nR(ω)}T

結構層間位移的頻響域解Δx(ω)可以表示為

Δx(ω)={xL,1(ω),xL,2(ω)-xL,1(ω),…,

xL,nL(ω)-xL,nL- 1(ω),xR,1(ω),

xR,2(ω)-xR,1(ω),…,

xR,nL(ω)-xR,nL- 1(ω)}

則基于虛擬激勵法的結構響應功率譜為

(37)

為驗證本文方法的正確性，分別將本文方法獲得功率譜密度函數與Kanai-Tajimi譜功率譜密度函數及虛擬激勵法獲得的結構位移及結構層間位移功率譜密度函數進行了對比。

從圖3和圖4可以看出，兩種方法獲得的功率譜密度函數值完全重合，驗證了本文方法計算功率譜密度函數的正確性。虛擬激勵法的功率譜密度函數為式(37)，每給定圓頻率變量ω，均需要進行矩陣運算，而本文方法的功率譜密度函數為式(30)，僅需要在求解組合體系運動方程的特征值及響應系數時進行一次矩陣運算。

圖3 左側10層結構位移功率譜

structure on the left

圖4 右側6層層間位移功率譜對比

6.2 本文方法精度及效率分析

為了驗證本文所提組合體系響應方差和譜矩封閉解的正確性，與虛擬激勵法進行了對比分析。由式(37)可知，虛擬激勵法的結構響應功率譜無顯示表達式，而隨機振動中的0階～2階譜矩是對功率譜的積分，故虛擬激勵法譜矩的計算只能采用梯形數值積分的方法進行，譜矩的計算結果受積分步長的影響較大。

從圖5～圖7可以看出，隨著虛擬激勵法積分步長的逐漸變小，虛擬激勵法計算結果逐漸逼近本文方法，在理論上說明本文方法的正確性。

圖5 積分步長對左側結構位移0階譜矩的影響分析

圖6 積分步長對左側結構位移1階譜矩的影響分析

圖7 積分步長對左側結構位移2階譜矩的影響分析

6.3 組合體結構設置阻尼裝置前后減震效果對比

為驗證相鄰結構設置粘彈性阻尼器的減震效果，圖8和圖9給出了設置粘彈性阻尼器前后的位移及層間位移變化情況；圖10和圖11給出了設置粘彈性阻尼器前后的層間剪力及層間位移角對比分析。

從圖8可以看出，設置粘彈性阻尼器的組合體結構能有效降低相鄰結構在地震作用下的相對應地面的絕對位移，左側結構頂端位移減少12.7%，右側結構頂端位移減少15.8%。從圖9可以看出，當連接阻尼器設置在第6層時，左側結構連接層以下的層間位移減小幅度較大，但連接層以上的層間位移出現少許增大；右側結構1層～4層層間位移減小明顯，但6層層間位移出現少許增大。從圖9和圖10可以看出，層間剪力及層間彈性角的變化趨勢與層間位移一致。因此，相鄰結構設置連接阻尼裝置時應對層間位移進行綜合評估來確定，以確保低層結構的安全。從圖11可以看出，左右側建筑結構的最大層間位移角發生在底層。設置阻尼器之前左側結構1層的層間位移角為0.00737，未滿足現行高層建筑混凝土結構技術規程的規范值；而設置阻尼器之后層間位移角最大為0.00626，小于規范值。右側結構設置阻尼器前后層間位移角均滿足現行規范要求，但設置阻尼器之后，層間位移角明顯減小。

圖8 左右側結構減震前后絕對位移對比分析

圖9 左右側結構減震前后層間位移對比分析

圖10 左右側結構減震前后層間剪力對比分析

圖11 左右側結構減震前后層間位移角對比分析

7 結 論

本文針對相鄰建筑結構設置Kelvin型粘彈性阻尼器組成的組合體結構基于Kanai-Tajimi譜的相對于地面的絕對位移、層間位移等系列響應的簡明封閉解進行了研究，獲得如下結論。

(1) 本文利用Kelvin型粘彈性阻尼器的微分型本構關系及Kanai-Tajimi譜的濾波方程，與相鄰結構的運動方程聯合建立全微分型且易于獲得簡明解的白噪聲激勵的地震動方程；利用復模態方法獲得組合體系的位移、層間位移的方差和0階～2階譜矩的簡明統一解。

(2) 通過與虛擬激勵法對比分析，驗證了本文所提的結構系列響應的方差和0階～2階譜矩的簡明封閉解的正確性，避免了虛擬激勵法通過試算才能獲得結構響應方差和譜矩高精度解的缺點，因此，本文方法更為簡便且具有較高的精度及效率。

(3) 通過對兩相鄰結構設置連接阻尼裝置前后的結果對比，說明設置連接阻尼裝置對相鄰結構具有良好的減震效果，降低了地震作用下結構碰撞發生的概率，但某些樓層的層間位移和層間剪力可能增大，故需對結構層間位移進行綜合評估。