側向受拉脆性巖石壓縮本構及蠕變失效研究

李曉照， 車 行， 邵珠山， 戚承志

(1.北京建筑大學 土木與交通工程學院，北京 100044；2.西安建筑科技大學 理學院，西安 710055)

1 引 言

脆性巖石是深部地下工程圍巖重要組成部分，此外，脆性巖石內部存在大量初始細觀裂紋，外部荷載作用嚴重影響了脆性巖石內部裂紋擴展行為，進而影響巖石的宏觀力學特性。眾多學者通過試驗研究了單軸壓縮、三軸壓縮、單軸拉伸及軸向拉伸側向壓縮作用下[1-4]，脆性巖石應力-應變關系，討論了側向壓縮應力對巖石強度影響，并通過聲發射、電鏡掃描及CT掃描等技術分析了巖石內部細觀裂紋變化情況。也有學者通過有限元、離散元和有限差分法等數值方法[5-7]，研究了不同外部荷載作用下的巖石力學特性及內部細觀裂紋擴展行為。通過理論解析方法，研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下巖石內部細觀裂紋擴展誘發的變形行為[8,9]。

以上是關于短時間內，側向壓縮荷載恒定，軸向壓縮或拉伸荷載漸進增大作用下，脆性巖石準靜態應力-應變本構關系的研究。當外部荷載長時間恒定不變時，脆性巖石蠕變特性研究對于評價深部地下工程圍巖長期穩定性也有著重要的意義。因此，眾多學者試驗研究了單軸壓縮、三軸壓縮和單軸拉伸作用下脆性巖石的蠕變行為[10-12]，并結合彈性、粘性及塑性流變模塊的不同組合，建立巖石蠕變模型；同時也通過聲發射監測技術，研究了脆性巖石內部微裂紋變化行為。也有學者通過有限元和離散元等數值模擬方法[13,14]，研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下，脆性巖石內部細觀裂紋誘發的蠕變力學特性。此外，通過理論解析方法，還研究了單軸壓縮或三軸壓縮作用下，脆性巖石內部細觀裂紋擴展演化誘發的宏觀變形力學行為[15]。

綜上，關于側向拉伸與軸向壓縮荷載作用下，脆性巖石內部細觀裂紋變化力學機理及該機理與宏觀變形關系尚不清楚。深部地下隧道開挖卸載過程中，隧道圍巖承受的應力狀態可能會發生各種變化，其中側向拉伸且軸向壓縮也是一種重要的受力狀態[16,17]，精確地判斷該應力狀態下的力學特性，對深部隧道圍巖穩定性評價也具有重要意義。

因此，本文將在前期關于側向及軸向均為壓縮應力作用下巖石力學模型的[8,15]基礎上，進一步研究側向拉應力對軸向壓縮應力作用下脆性巖石的應力-裂紋擴展關系、應力-應變本構關系，以及巖石蠕變裂紋長度及應變演化特性的影響。

2 理論模型

2.1 裂紋擴展導致的軸向壓縮應力-應變本構關系

基于圖1中軸向壓縮應力作用下細觀翼型裂紋力學模型，裂紋尖端應力強度因子為[8,15,18]

(1)

(2)

(3)

S=π1/3[3/(4NV)]2/3

(4)

(5)

(6)

圖1 側向受拉且軸向壓縮脆性巖石細觀裂紋擴展模型

裂紋應力強度因子KI達到臨界值KI C時，巖石發生斷裂。因此，基于式(1)，巖石的應力狀態與擴展裂紋長度間的關系為[8]

(7)

(8)

(9)

B3=[π(l+βa)]-3/2+

(10)

基于細觀與宏觀定義的損傷，宏觀應變與細觀裂紋擴展間的關系可建立為[19]

ε1=εo[-ln(1-(l/a+1)3Do)]1/m

(11)

式中m和εo為材料常數。將l=0代入方程(11)，得到裂紋啟裂應變ε1c i；將llim代入方程(11)，得到巖石裂紋貫通極限應變ε1f，該值可近似判斷巖石失效應變。

將式(11)代入式(7)，翼型裂紋擴展誘發的軸向應力與應變本構關系[19]為

(ε1c i<ε1<ε1f)(12)

(13)

(14)

此外，翼型裂紋啟裂前(即l=0)的應力應變關系假設為線性彈性行為。將l=0代入方程(7)，可得到裂紋啟裂應力σ1c i，結合裂紋啟裂應變ε1c i，經計算，裂紋啟裂前應力-應變關系可以表示為

(0<ε1≤ε1c i)(15)

式(12，15)共同描述了巖石初始彈性、應變硬化與軟化及失效階段的應力-應變關系。

2.2 側向拉壓應力判別條件

本文理論模型中壓縮應力為負值，拉應力為正值。模型中巖石裂紋擴展機制可以描述為，遠端應力作用下，巖石內部初始裂紋面的剪切應力克服初始裂紋面法向壓應力導致的摩擦力，進而引起初始裂紋兩端產生翼型裂紋擴展。因此，本文模型需滿足不等式關系(16)，

(16)

通過求解不等式(16)，得到軸向壓應力作用下，側向應力為拉壓應力時需要滿足的參數范圍為

(17)

(18)

滿足不等式(17)，側向應力為壓縮應力時，脆性巖石力學關系已經得到廣泛研究[8,15,19]。然而，對于滿足不等式(18)條件的脆性巖石拉應力作用下，巖石軸向壓縮力學行為研究很少，因此，本文重點關注該方面的研究。

此外，值得注意的是，不等式(18)中，當側向應力為拉應力時，巖石內部初始裂紋面上的法向應力是壓縮應力，即σn<0。那么是否存在初始裂紋面法向應力為拉應力的情況。如果存在，則初始面摩擦力消失，則不等式關系滿足

(19)

根據不等式(19)，求解得到軸向壓縮應力作用下，初始裂紋面法向應力為拉應力時，需要滿足的參數要求如下，

(20)

如果初始裂紋面法向應力為拉應力，則導致裂紋擴展的楔力Fw重新定義為

(21)

將方程(21)替換方程(2)，則一個新的類似于方程(7)的應力-裂紋擴展關系和方程(12)的應力-應變關系方程可以推出。然而，經過計算發現，在固定側向拉應力作用，軸向壓縮應力漸進變化而引起的翼型裂紋擴展過程中，不能同時滿足方程(20)條件，即初始裂紋面法向應力為拉應力的情況不可能出現。因此，本文模型關于側向受拉，軸向壓縮應力作用下，脆性巖石內部初始裂紋面法向應力只能取負，即為壓縮應力，考慮初始裂紋面摩擦系數。

2.3 側向受拉且軸向壓縮脆性巖石蠕變失效方程

對于脆性巖石側向受拉、軸向壓應力作用下，裂紋擴展誘發的蠕變時間演化力學特性，可結合應力強度因子方程(1)與亞臨界裂紋擴展法則dl/dt=v(KI/KI C)n [20]，滿足不等式(18)的條件下，翼型裂紋擴展速率演化方程為

(22)

式中v為特征裂紋速率，n為應力腐蝕參數。求解微分方程(22)，可推出翼型裂紋長度時間演化結果。給定應力狀態下微分方程的初始裂紋長度可通過方程(7)應力-裂紋長度關系獲得。方程(22)側向應力定義為與時間相關函數σ3(t)，可分析側向應力變化路徑影響下的巖石蠕變裂紋擴展行為。

早晨刮胡子，剃須刀斷了。我也沒怎么用力，可是剃須刀的脖子卻啪的一聲，斷了。一次性剃須刀？當然不是。這是吉列公司的最新產品，價格將近六千元。再沒有比它更結實的了，如果不是有人故意把它弄斷，它不可能自己折斷。我才用了一個月，就變成了這樣。

結合方程(22)得到的翼型裂紋長度演化結果與方程(11)，裂紋擴展導致的軸向應變演化為

(23)

3 結果與討論

本文基于前期提出的錦屏大理巖三軸壓縮應力應變本構關系及蠕變演化宏細觀力學模型[8,15]，考慮初始裂紋面法向應力及剪切應力正負方向判別條件，展開進一步深入研究。具體模型參數選取方法參考文獻[8]。由于目前軸向漸進壓縮、側向拉伸作用下的實驗研究較難實施，因此本文是在前期已經驗證的三軸壓縮宏細觀理論模型基礎上的預測與討論。具體研究結果如下。

3.1 側向拉壓應力對初始裂紋面楔力影響

初始裂紋面上的楔力，對于側向受拉壓作用，軸向壓縮巖石力學行為有著重要的影響。圖3給出了側向拉壓應力對楔力的影響曲線，側向應力由壓到拉轉化過程中，楔力不斷增大，即側向壓應力越大，楔力越小，側向拉應力越大，楔力越大。

圖2研究了初始裂紋尺寸、摩擦系數及裂紋角度對楔力與側向應力關系的影響。隨著初始裂紋尺寸增大和摩擦系數的減小，在給定側向應力時，楔力越大。隨著裂紋角度的增大，給定側向應力，楔力先增大，后減小，即存在一個最不利裂紋角度。文獻[8]對于裂紋角度對軸向與側向壓縮作用下的應力應變本構曲線進行了詳細討論，本文在此基礎上進一步研究的軸向壓縮與側向拉伸作用下應力應變曲線存在相同的變化趨勢，因此不再贅述，本文將重點分析側向拉應力對巖石軸向壓縮應力應變曲線及壓縮蠕變演化曲線的影響。

圖2 側向應力與楔力關系

3.2 側向拉壓應力對軸向漸進壓縮失效特性影響

圖3給出了側向應力由壓應力到拉應力轉換過程中，巖石壓縮軸向應力與裂紋長度關系曲線、軸向應力與軸向應變關系曲線、初始彈性模量、裂紋啟裂應力及峰值強度變化規律。

圖3 側向拉壓應力對軸向應力-裂紋長度曲線、軸向應力-應變曲線、初始彈性模量Ei n i、峰值強度σ1peak與裂紋啟裂應力σ1 c i的影響

在軸向應力與裂紋長度關系曲線、軸向應力與軸向應變關系曲線中，在給定裂紋長度或應變下，隨著側向壓應力增大，軸向應力不斷增大；隨著側向拉應力增大，軸向應力不斷減小。隨著側向壓縮應力增大，巖石初始彈性模量、裂紋啟裂應力及峰值強度逐漸增大，隨著側向拉應力增大，巖石初始彈性模量、裂紋啟裂應力及峰值強度逐漸減小。圖3(d)中側向拉應力下的裂紋啟裂應力與峰值強度之間的軸向應力取值范圍，為側向拉伸與軸向壓縮蠕變特性的恒定應力狀態選取提供了依據。

3.3 側向拉應力對軸向壓縮蠕變失效特性影響

圖4 側向拉應力對蠕變過程中裂紋長度l、裂紋速率l′、軸向應變ε1、應變率蠕變破壞時間tf及穩態蠕變率影響

3.4 側向拉-壓應力突變對軸向壓縮蠕變失效影響

3.3節研究了恒定軸向壓縮應力與恒定側向拉壓應力作用下的脆性巖石蠕變演化曲線。圖5(a,b)研究了側向應力由壓應力到拉應力的突變轉化，對軸向壓縮蠕變裂紋長度、裂紋速率、軸向應變及應變率演化曲線的影響。在側向壓應力階段，裂紋長度及軸向應變經歷了減速增大到穩態增大的蠕變演化，在側向拉應力階段，裂紋長度及軸向應變經歷了減速增大、穩態增大及加速增大直至失效的蠕變演化。側向應力由壓到拉的突變，導致了裂紋速率或軸向應變率的突增，進而導致在短時間內裂紋長度或軸向應變也產生了一個較大的增量。

圖5 側向拉-壓應力突變及壓-拉應力突變對軸向壓縮蠕變裂紋長度及應變演化影響

在側向拉應力階段的穩態裂紋速率及應變率均大于側向壓應力階段的穩態裂紋速率及應變率。

圖5(c,d)研究了側向應力由拉應力到壓應力突變轉化，對軸向壓縮蠕變裂紋長度、裂紋速率、軸向應變及應變率演化曲線的影響。在側向拉應力階段，裂紋長度及軸向應變經歷了減速增大、穩態增大及加速增大的蠕變演化，此時的加速蠕變并沒有導致巖石的最終失效；在側向壓應力階段，裂紋長度及軸向應變經歷了穩態增大及加速增大直至失效的蠕變演化。側向應力由拉到壓的突變，導致了裂紋速率或軸向應變率的突降，進而導致在較長時間內裂紋長度或軸向應變增量不大。側向壓應力階段的穩態裂紋速率及應變率均小于側向拉應力階段的穩態裂紋速率及應變率。

3.5 側向拉應力分級加載對軸向壓縮蠕變失效影響

圖6給出了側向拉應力分級增大作用下，軸向壓縮蠕變裂紋長度、裂紋速率、軸向應變及應變率演化曲線。隨著側向拉應力分級增大，裂紋長度及軸向應變都分別經歷了多次的減速增大至穩態增大演化，直至最后一次側向拉應力增大，在短時間內裂紋長度及軸向應變分別經歷了一個減速增大、穩態增大及加速增大的演化，直至巖石最終失效。

圖6 側向拉應力分級加載及軸向恒定壓縮應力作用下，脆性巖石蠕變翼型裂紋長度、裂紋速率、軸向應變及應變率演化曲線

loading of lateral tensile stress and the constant axial stress

4 結 論

基于脆性巖石細觀裂紋擴展模型中初始裂紋面法向應力與剪切應力正負方向關系，確定了軸向壓縮作用下，側向應力拉壓判別條件。提出側向受拉的軸向壓縮應力-應變本構關系，以及軸向壓縮蠕變應變演化模型。結論如下。

(1) 側向恒定拉應力和軸向壓縮應力漸進變化過程中，脆性巖石內部初始裂紋面法向應力為壓應力。側向應力由壓縮轉化為拉伸時，脆性巖石峰值強度、裂紋啟裂應力與彈性模量均逐漸減小。即峰值強度、裂紋啟裂應力及彈性模量隨側向壓應力增大而增大，隨側向拉應力增大而降低。

(2) 在恒定軸向壓縮蠕變作用下，由側向壓應力逐漸轉化為拉應力的過程中，巖石蠕變失效時間不斷減小，巖石穩態蠕變應變率不斷增大。當側向應力由壓應力突變為拉應力，導致了裂紋速率或軸向應變率的突增，進而導致在短時間內裂紋長度或軸向應變產生較大的增量；側向應力由拉到壓的突變，導致了裂紋速率或軸向應變率的突降，進而導致在較長時間內裂紋長度或軸向應變增量不大。

(3) 隨側向拉應力的分級增大，裂紋長度及軸向應變都分別經歷了多次的減速增大至穩態增大的演化，直至最后一個側向拉應力階段，巖石裂紋長度及軸向應變產生加速增大，直至巖石失效。

本文提出的脆性巖石宏細觀力學模型中，所有裂紋尺寸或角度均假設為相同值，且僅考慮了兩個裂紋間相互作用，是一種平均化方法。該方法不能很好地分析隨機裂紋分布下，多個裂紋相互作用下導致的巖石非均力學特性。因此，如何研究隨機分布裂紋巖石力學特性是需要進一步解決的問題。