任意邊界條件下雙模量矩形薄板的彎曲

曹彩芹， 宋永超

(西安建筑科技大學 理學院，西安 710055)

1 引 言

玻璃和陶瓷等材料具有拉壓彈性模量不同的力學特性，使用這種材料的薄板稱為雙模量板。雙模量板的解析求解一直受到國內外相關學者的廣泛關注。

文獻[1]用康托洛維奇法和伽遼金法計算四邊固支的雙模量矩形板的彎曲，但是該文獻只針對四邊固支的矩形板，對于其他邊界條件的板，沒有給出合理的解法。文獻[2]用Kantorovich及Galerkin聯合法研究雙模量板的彎曲，但是該方法對于不同的邊界條件需要重新假定撓度函數，計算較為不便。文獻[3，4]分別分析了雙模量矩形板和圓板的彎曲變形。以上文獻都將坐標軸取在板的中性面上，但是在求解中性面的位置的過程中，沒有充分考慮中性面上的正應力和切應力都為零的條件。

此外，文獻[5]采用改進的漸進損傷分析方法預測了雙模量復合材料層合結構的承載極限。文獻[6]分析了拉壓彈性模量差異對泡沫鋁夾芯板三點彎曲模擬的影響。文獻[7]研究了編織復合材料的雙模量本構關系和細觀模型。文獻[8]用Chebyshev函數研究了雙模量梁變形時的解析解。文獻[9]基于牛頓-拉夫遜理論進行了拉壓不同模量問題的數值求解。文獻[10]用能量法研究了雙模量大撓度圓板的軸對稱彎曲。文獻[11,12]也對雙模量構件進行了研究。文獻[13]提出了帶補充項的雙重正弦傅里葉級數通解，該通解可以適用于任意邊界條件的矩形薄板。

本文改進了板的中性面與板上表面的距離公式，經過分析可知本文方法是合理的。將文獻[13]提出的通解應用到雙模量矩形薄板中，求解了任意邊界條件下雙模量矩形薄板彎曲時的撓度函數。并將本文解與有限元解相比較，驗證了本文方法的可靠性。

2 雙模量矩形薄板的中性面位置

由于雙模量板的拉壓彈性模量不同，板的中性面位置不在板的中面處。為了將坐標軸取在中性面上，首先需要求出板的中性面位置。

將雙模量板等效為兩個各向同性小矩形板組成的層合板，如圖1所示，兩個小矩形板的交界處即為板的中性面。

圖1 兩個各向同性小矩形板組成的層合板

板的應力可由撓度函數表示為

(1)

(2)

(3)

式中i=1，2為第i個小矩形板；x，y和z為板上某一點的坐標；Ei，μi和Gx y i分別為第i個小矩形板的彈性模量、泊松比和切變模量,w為板的撓度函數，一般為w(x,y)的形式；σx i，σy i和τx y i分別為第i個小矩形板x方向的正應力、y方向的正應力和切應力。

在薄板全厚度上，應力σx，σy和τx y各自的代數和均為0，由此可以求出板的中性面位置。

(4)

(5)

(6)

式中h0為板的中性面與板上表面的距離，h為板的總厚度。

將式(1，2)分別代入式(4，5)得

(7)

(8)

式(7,8)相加得

(9)

解式(9)，并考慮h0

(10)

式(7)減去式(8)得

(11)

解式(11)，得到第二個滿足式(7,8)的解

(12)

將式(3)代入式(6)，并解之，得到的結果與式(12)相同。

由于板的中性面唯一，由正應力與剪應力求得的中性面位置應該重合。因此,本文采用式(12)的值作為中性面與板上表面的距離。

文獻[1-4]采用式(10)的值作為中性面距離板上表面的距離，其原因在于式(4，5)聯立后本應有兩組解,即式(10,12)，文獻[1-4]只求出一組解，而且沒有考慮式(6)的解。因此本文的方法更合理。

3 板的內力

由文獻[14]及式(1～3)知，板的內力可表示為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

4 控制方程和邊界條件

4.1 雙模量矩形薄板的彎曲控制方程

由文獻[14]知，矩形薄板的彎曲平衡方程為

(21)

式中q為板受到的橫向荷載。

將式(13～15)代入式(21)，得到雙模量矩形薄板的彎曲控制方程

(22)

4.2 雙模量矩形薄板的邊界條件

參考文獻[15]，以x=0的邊與x=0，y=0處的點A為例。

4.2.1 簡支邊的邊界條件

若簡支邊發生支座沉降而產生撓度ξ，且板邊受到分布彎矩M作用，則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ， (Mx)x = 0=M。

4.2.2 固定邊的邊界條件

若該邊發生支座沉降而產生撓度ξ與轉角θ，則該邊的邊界條件可以表述為(w)x = 0=ξ，(?w/?x)x = 0=θ。

4.2.3 自由邊的邊界條件

4.2.4 角點的邊界條件

若該角點為自由邊交點且無支座，當該點受集中荷載P作用時，角點條件可以表述為2(Mx y)A=P。若該角點有支座且支座沉降產生撓度ξ，角點條件可以表述為(w)A=ξ。

5 通解的引入

本文采用嚴宗達[13]提出的帶補充項的雙重正弦傅里葉級數通解，形式如下,

(23)

式中wo o,wa o,wo b,wa b,An,Bn,Cm,Dm,En,Fn,Gm,Hm和bm n均為待定系數；a和b分別為板的長和寬。

6 算例分析

6.1 四邊簡支雙模量矩形薄板的彎曲分析

參考文獻[2]，選取四邊簡支雙模量矩形薄板，板長a=2 m，板寬b=2 m，板厚h=0.1 m；壓縮區彈性模量為E1=30.38 GPa，泊松比μ1=0.35；拉伸區彈性模量為E2=16.17 GPa， 泊松比μ2=0.19。板受橫向均布荷載作用，荷載大小為q。采用本文方法，解得板的中性面與板的上表面的距離為h0=0.0473 m。計算板中點處的撓度值w0，并與文獻[2]解及有限單元法(FEM)的結果比較，給出本文解與文獻[2]解的誤差。結果列入表1。

表1 板中點處的撓度值w0(單位：mm)

由表1可知，本文重新推導中性面位置并將雙模量板等效為兩個各向同性小矩形板組成的層合板的方法是有效的。且與文獻[2]相比，本文方法求得的結果更精確。

6.2 任意邊界條件下雙模量矩形薄板的彎曲分析

仍采用6.1節中雙模量矩形薄板，板厚h=0.02 m；板受橫向均布荷載作用且q=625 Pa。改變板的邊界條件,計算板的最大撓度值wmax。結果列入表2。

對比表2的結果，本文方法在計算任意邊界條件下的雙模量矩形薄板時，得出的結果與有限元解接近。誤差均在5%以內，符合工程精度要求。

誤差分析，本文方法未考慮剪切變形的影響，且采用直法線假定，在撓度較大處存在較大誤差。

7 結 論

(1) 本文給出的雙模量矩形薄板中性面的位置的計算方法充分考慮了應力σx，σy和τx y的分布，使得在該中性面滿足應力σx，σy和τx y都為0,且全截面上應力的代數和也都為0。

(2) 將雙模量板等效為兩個各向同性小矩形板組成的層合板來計算，從結果看，該等效方法是合理的。

(3) 本文方法適用于任意邊界條件的雙模量矩形薄板，而且該方法不需要疊加，也不需要針對不同的邊界條件重新構造通解。

(4) 本文的誤差來自于薄板小撓度彎曲理論計算假定，當板厚度較大或者板的撓度較大時，該理論已經不再適用。

表2 各種邊界條件下雙模量矩形薄板的最大撓度值wmax(單位：mm)