HPM視角下“三線六環”的教學設計
——以“完全平方公式”為例

袁春紅 韓祥臨

湖州師范學院教師教育學院 313000

引言

透過數學史，人們可以窺見數學思想以及數學文化的發展脈絡.無論是義務教育數學課程標準，還是普通高中數學課程標準，都強調要將數學文化滲透到課程內容之中，這種滲透不是簡單將其穿插在教學活動中，而是利用數學史上的歷史事件和數學方法，達到激發學生學習動機、拓展數學思維、提升數學文化素養的目的.在初中數學教材（浙教版）中，完全平方公式作為前面章節知識的延伸，它有助于學生對整式乘法的再理解；作為工具性內容，它又為后續因式分解等知識的學習奠定了基礎，在整體上起著承上啟下的作用.可是，筆者經過仔細研讀后發現，教材開篇直接由面積關系得到（a+b）2=a2+2ab+b2，再用多項式乘法進行驗證，至于為什么用這個公式、公式產生的必要性似乎并未解釋清楚，而且完全平方差公式的得出是基于完全平方和公式的推理，這樣做淡化了完全平方差公式的圖形表征.如果借助完全平方公式的歷史演化過程，這兩個問題都能迎刃而解.

基于上述思考，筆者從HPM視角，采用了“三線六環”的教學設計，其中“三條線索”包括：有史可循、有理可依和有地可用；“六個基本環節”包括：情境引入、公式探究、推理驗證、學用結合、首尾呼應和課堂小結（見圖1）.

圖1 “三線六環”教學流程圖

首先，借助完全平方公式的歷史演化過程把握公式的形成過程，使教學有史可循.具體來說，可通過重構求平方根的歷史導入課題，讓學生在情境中獲得學習的內在動力；通過《幾何原本》的內容，驗證公式真偽；通過婆什迦羅的平方算法，體會公式的實用性；通過劉徽在《九章算術注》中給出的算法，去解決引入中未完待續的問題，使前有交代，后有照應.

其次，完全平方公式的驗證依靠的是幾何圖形和代數推導兩方結論的一致性.因此，通過“數形結合”的推理過程，能夠使公式更具說服力，做到有理可依.

最后，所謂英雄無用武之地乃廢材也，數學公式亦然.弗賴登塔爾曾說：“數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實.［1］”因此，筆者從完全平方公式實際應用出發，設計了一系列習題，讓學生在參與做題的過程中感受公式的實用價值.通過這樣的方式，以“三條線索”貫穿“六個環節”，使教學內容更加豐富，教學情節更加完整，讓學生感受到公式應從何處來，又會用在何處.

教學設計與實施

（一）歷史溯源

在符號代數誕生前，完全平方公式的產生源于求某個數的平方、平方根以及解一元二次方程的需要，表征形式主要包括圖形和文字［2］.下面，筆者就這三種來源進行簡要的總結梳理.

（二）教學過程

1.研究之需，情境引入

問題組：

問題1.如果一個正方形的面積是16，那么它的邊長是多少？

問題2.如果一個正方形的面積是25，那么它的邊長是多少？

問題3.如果一個正方形的面積是20，那么它的邊長是多少？

設計意圖學生面對完全平方公式這一結論性知識時，不可避免地會對公式的“起”和“源”產生困惑，教學要破除困惑，可以從其歷史發展中尋找答案.完全平方公式的產生源于平方根的估算.可是，劉徽在《九章算術注》中給出的的被開方數比較大，如果一開始就給學生呈現這道題，學生接受起來比較困難.這里，筆者作了改編，以問題組的形式出示以上3 個題，讓學生求已知正方形的邊長，編排上由淺入深，直到問題3，學生馬上能夠回答出大致范圍在4和5之間.對于更精確的估算值學生卻不知從何入手，這種認知沖突恰好是學生感受為什么要學習完全平方公式的最好載體.此時，筆者假設其邊長比4大x或者比5小x，再引導學生根據正方形的面積公式列出方程（4+x）2=20或者（5-x）2=20.而要進一步確定x的值，就得先弄明白方程左邊的代數式究竟是什么，這樣一來，就使得學生要探究的問題在創設的情境中徐徐展開.

表1 完全平方公式的來源

2.公式探究，發現規律

活動1.發現結構特征

利用多項式乘法計算：

（1）（2+x）2=（2+x）（2+x）=______.

（2）（m+1）2=______.

（3）（p-5）2=______.

問題組：

問題1.觀察算式左右兩邊，有什么規律？

問題2.等號左邊有什么特點？等號右邊有什么特點？

問題3.你能用字母將你發現的規律表示出來嗎？

問題4.你能用自己的語言描述這兩個公式嗎？

活動2.歸納結構特征

符號語言：（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

文字語言：兩數和（差）的平方 等于 這兩個數的平方和，加上（減去）兩數乘積的兩倍.（順口溜：首平方，尾平方，乘積的兩倍中間放，乘積的符號看前方）

設計意圖此環節要完成三個任務：一是借助多項式乘法，從特殊例子中發現完全平方公式的結構特征；二是引導學生將結構特征進行提煉和歸納，再分別用符號語言和文字語言予以描述［3］；三是將文字語言再提煉成順口溜的形式，強化記憶.在此環節中，學生經歷了從特殊到一般的公式探究過程以及數學語言“表述—修改—表述”的完善過程.此環節能夠培養學生的抽象概括能力以及數學語言表達能力，同時加深其對公式結構特征的理解.

3.推理驗證，數形結合

活動1.幾何法驗證（a+b）2=a2+2ab+b2（小組合作）

問題組：

問題1.觀察式子（a+b）2=a2+2ab+b2，看到（a+b）2，a2，b2，你能聯想到什么？

問題2.圖5是三個邊長不等的正方形，從左往右，邊長依次為a，a+b，b，思考該如何移動這三個正方形，證明（a+b）2=a2+2ab+b2.

圖5 邊長不等的3個正方形

數學史片段引入：古希臘的歐幾里得在《幾何原本》中也用幾何圖形演示了完全平方公式的論證過程，其過程正好是圖6中大家想出來的拼湊方法.書中描述“若任意兩分一個線段，則整線段上的正方形等于兩分段上的正方形加上這兩個分段構成的矩形的兩倍”［4］.

圖6 完全平方和公式的幾何模型

活動2.代數法驗證（a+b）2=a2+2ab+b2（獨立完成）

問題：將（a+b）2展開，需要用到什么方法？結果是多少？

活動3.驗證（a-b）2=a2-2ab+b2（小組合作）

問題：類比完全平方和公式的驗證過程，你能從代數和幾何上解釋完全平方差公式的推理過程嗎？（結果見圖7）

圖7 完全平方差公式的幾何模型

設計意圖數學之美在于簡約嚴謹，僅憑猜測歸納出完全平方公式還遠遠不夠，教師必須對公式的正確性給出理性回答.在這里，筆者從數形兩個角度思考：一是從“形”的視角來看，符號代數誕生前，古人就是憑借圖形認識的完全平方公式.因此，在幾何法驗證公式時，教師可以再次融入數學史，先讓學生通過拼圖活動獲得完全平方和公式的幾何圖形，然后借助《幾何原本》（卷二）命題4中給出的圖形表征對公式進行補充；二是從“數”的視角來看，考慮到學生剛學習了多項式乘法，因此，用代數法驗證公式的正確性對學生來說并不復雜，學生完全有能力獨立完成；而且通過活動2的嘗試驗證，學生還能從過程中體驗成功的喜悅感，增強學習的自信心.活動3是在前兩個活動的基礎上，去驗證完全平方差公式，目的是讓學生感受兩個公式在驗證手法上的“異曲同工”.此外，一些看似尋常的提問，實則也耐人尋味.比如，活動前教師有意讓學生從（a+b）2，a2，b2處進行聯想，激起發散思維，使學生很快與黑板上三個正方形的面積建立聯系，迅速拼出符合要求的圖形.這樣，借助圖形的直觀性，能巧妙地讓學生意識到（a+b）2和a2+b2的聯系，可謂一箭雙雕，既牽動整個思維的聯想，又為突破2ab這個易錯點做了一個過渡.

凡事預則立，不預則廢.教師在策劃教學活動時，理應預想到學生可能有的教學行為.比如，圖6中，筆者期待學生可以拼出左邊圖形，然后順勢引出《幾何原本》相關內容.但是，實際教學中，學生很有可能還會想到第二種拼法，既能想到古人想到的方法，還能想出其他拼法，這對學生而言無疑是一種激勵.比如，代數法驗證（a-b）2=a2-2ab+b2時，學生可能又會給出不同的想法，有的會利用多項式乘法去推導，有的會在完全平方和的基礎上再思考，認為：（ab）2=a2+2a·（-b）+（-b）2，此算法蘊含了初中數學中的換元思想，教師可瞄準時機，恰逢其時地讓學生感悟數學思想，積累活動經驗.

4.學用結合，以學論教

練習1：

（1）若（x+2y）2看作兩個數的和的平方，則a，b各指代什么？補充下面書寫.

（2）若（2m-3n）2看作兩個數的差的平方，則a，b各指代什么？補充下面書寫.

（3）若（2m-3n）2看作兩個數的和的平方，則a，b各指代什么？補充下面書寫.

練習2 ：計算

①（3x+y）2；②

③（-m+5）2；④（-3a+4b）2.

練習3：計算

①1032；②8.982.

數學史片段引入：作為工具性內容，完全平方公式也可用作求解某個數的平方.12世紀，印度數學家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》這本書中，記載了兩種求平方的算法，其中一種就是利用完全平方公式，先將一個數拆成兩個數的和，然后再平方.

設計意圖學生剛學習完兩個公式，筆者趁熱打鐵，以練習題的形式對所教內容加以檢驗、強化和鞏固.于是，筆者設計了以上3道題：練習1是為了讓學生準確識別出公式中的a，b在具體式子中分別指代什么以及如何利用完全平方公式展開式子；練習2是為了將練習1中獲得的解題經驗進一步通過同化和順應兩種機制內化到學生已有的認知結構中去.同時，讓學生通過親自參與做題，體會公式中字母a，b的含義，它可以表示數、字母、單項式、多項式，加深學生對公式的理解，突破難點；練習3是為了讓學生感受用完全平方公式可以簡化運算，體會公式的實用價值.在練習中，筆者會在學生最近發展區內搭建思維的階梯，嘗試再度引入數學史，告知學生數學的來源與思想，讓學生先理清算理，再去探究算法.

5.首尾呼應，回歸問題

分析由前面討論的結果，筆者將問題轉化為了（4+x）2=20；接著，利用完全平方公式把（4+x）2展開，得到16+8x+x2=20；顯然2x＜1，又因為2×0.4＜1≤2×0.5，所以可以確定十分位是4，即圖8中黃乙正方形的邊長；假設（4.4+y）2=20，用同樣的方法求解，可以確定百分位是7，即圖8中黃丙正方形的邊長.

圖8 劉徽的圖形解法

數學史片段引入：在韋達符號代數建立以前，人們常以文字或者圖形的形式來描述完全平方公式［5］.比如，劉 徽在《九章算術注》中就是用圖形去解釋的怎么求平方根，而劉徽的做法本質就是我們求時的解法.下面，我們給出《九章算術》中的一道問題，作為課后思考題，看看你們能否用今天學習的知識完成.

思考題：今有積（正方形的面積）五萬五千二百二十五（平方）步.問：為方（正方形的邊長）幾何？

設計意圖此環節旨在回歸原始問題，用新學習的完全平方公式解決引入中暫被擱置的問題，即估算的值，照應開頭，從而達到內容完整、有始有終的效果.為了使學生進一步熟悉開平方的過程，筆者又以《九章算術》中的原題作為思考題，讓學生課后完成.原始問題的解決讓學生豁然開朗，劉徽的算法讓學生感嘆古人的智慧，增強了文化自信.《九章算術》中的數學題讓學生躍躍欲試，使教學給學生以一種“余音繞梁，三日不絕于耳”之感.

6.課堂小結，溫故知新

問題組：

問題1.我們是如何獲得完全平方公式的？它能做什么？

問題2.完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的結構特征和本質特征是什么？

問題3.完全平方公式和平方差公式在結構和本質上又有什么區別和聯系？

問題4.完全平方公式與多項式乘法二者在計算原理上有聯系嗎？（注意：完全平方公式具有承接和輔助的雙重性任務，見圖9）

圖9 完全平方公式相關知識點的結構圖

設計意圖該環節通過師生對話、生生交流，讓學生回顧整節課的學習過程，并將幾個關鍵問題反拋給學生，激起學生的反思意識.問題1強調對公式學習過程中起點和終點的認識；問題2從外部結構和內在本質出發對學生公式理解程度進行檢驗；問題3關注學生是否掌握了平方差公式和完全平方公式的 “變與不變”，包括結構上的可變“前者的結果是2項，后者的結果是3項”以及本質上的不變“公式中的字母都可以表示數、字母、單項式、多項式”等知識；問題4強調學生對知識結構的整體性認識，感受公式外延上的聯系.

教學反思

基于HPM視角的“三線六環”教學，讓學生在學、思、行中獲得了對公式的完整認知，并將數形結合、換元、特殊與一般等隱性數學思想方法以數學知識為載體傳遞給學生，在潛移默化中促進學生思維發展，又在潤物無聲中提升學生數學核心素養.比如，學生從特殊的多項式乘以多項式的算法中歸納概括出一般結論，形成數學抽象素養；從圖形面積的割補中給出完全平方公式的幾何解釋，形成直觀想象素養；從公式的運用中，形成數學運算素養等.此外，本節課也為數學教學由高速發展走向高質量發展提供了參考.以往教學實踐表明，直接將公式和盤托出、片面追求速度的“快餐式教學”已經落伍，教師必須重新審視公式課“如何教”的問題，不能讓公式成為學生頭腦中的“過客”，而應當使教學帶給學生 “學有所思、思中解惑”的學習體驗.