APOS理論視角下數學史融入數學概念教學的探析
——以“平方差公式”為例

蔡 璐 韓祥臨

湖州師范學院教師教育學院 313000

引言

APOS理論是美國學者杜賓斯基等人提出的一種基于建構主義學說的數學概念教學理論，深入探討了學生對于數學知識的解構與建構過程，并將數學概念的獲得劃分為“操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）”四個相互銜接、層層遞進的階段，彰顯了以生為本的教育理念.立足初中數學教學內容，落實APOS教學理論，踐行HPM（數學史與數學教育）教學方法，以數學史和相關典故為載體，引經據典、以文載道，可以將枯燥的數學概念、抽象的數學思想、刻板的數學內容變得生動形象.因此，教師應充分考慮初中生的最近發展區，選取適切的歷史素材，以問題為主軸、思維為主攻、體驗為主線設計教學活動，自然地融入數學史料，使學生感悟不同時代、不同背景下數學文化的無限魅力，領會其中所蘊含的人文精神，發揮數學史獨特的育人價值.

史料的選取與融入

（一）遵循史料適切性原則選取教學素材

在史料選取方面，應該嚴格遵循史料適切性原則，依據汪曉勤教授提倡的“趣味性、科學性、有效性、可學性和新穎 性”等五項原則［1］，貼合教材內容和課標要求選取適宜初中生知識建構的歷史素材.

操作階段強調創設合理的問題情境，讓學生親身體驗，感悟數學史中平方差公式的巧妙應用，形成初步認知.據古希臘評注家普羅克洛斯（Proclus，410—485）記載，由于農民的知識和經驗有限，在分配土地時經常受到土地主的欺騙，將周長相等面積更小的土地租給農民，從中牟利.著名數學家歐拉（Euler，1707—1783）小時候利用等周知識“智改羊圈”，幫父親解決了在周長100米不變情況下所得羊圈面積最大的問題.與芝諾多羅斯（Zenodorous，約公元前2世紀）在《論等周圖形》中證明的“在邊數相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大”這一命題有著異曲同工之妙［2］.因 此，該階段選用能夠引起學生認知沖突的等周問題，可以激發學生的探索欲望.

過程階段在學生對平方差公式的概念有初步認知的基礎上，不斷加強對公式的內化理解，了解其幾何背景，明確其幾何表達.公元3世紀，中國古代數學家趙爽就利用“面積割補法”證明了平方差公式（c+b）（c－b）=c2－b2，揭示了其幾何意義（如圖1），并在《周髀算經》中將其注釋為“勾股圓方圖”：“勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實方其里.股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里.”［3］劉徽所注釋的《九章算術》也有類似論述.因此，該階段引導學生利用 “面積割補法”得到更加豐富的面積表達形式，不僅可以提高學生的動手操作能力，還能培養學生數形結合的數學思想.

圖1

對象階段注重揭示概念本質，結合教材和史料逐步把平方差公式的表達轉化為符號語言，賦予其形式化的定義，形成具體數學對象.例題采用古希臘數學家丟番圖（Diophantus，公元3世紀）所著《算術》第1卷第27題：“已知兩個正數和與積，求這兩個數.”解法與古巴比倫泥板記載的“和差術”一致［4］，其實質在于將二元問題轉化為一元問題.該階段重在利用經典例題辨析平方差公式的本質，使學生明確可以應用公式的具體情形，引導學生依據公式繪制圖形，提升直觀想象素養，實現符號、圖形和文字語言的自如轉換.

圖式階段的關鍵在于將所學概念納入知識體系，能與舊知建立內在聯系，也能為新知學習提供生長點.平方差公式既鞏固了多項式乘法法則，又為完全平方公式、因式分解的學習奠定了基礎.因此，該階段應注重知識系統性，適當融入歐幾里得（Euclid，公元前3世紀）《幾何原本》 第Ⅱ卷命題5的幾何圖形（如圖2），其中C為AB中點，將圖形轉化為現代符號語言這是有關平方差公式的精彩變形，體現字母表示數的整體性，豐富學生對平方差公式的認識.

圖2

（二）落實多元化方式融入教學素材

“平方差公式”是人教版八年級上冊第14章第二節的內容，是在學生掌握多項式乘法的基礎上展開學習的特殊形式的多項式乘法，體現了由一般到特殊的教學思路.教材以3道運算探究題入手引導學生在計算過程中發掘運算規律，觀察算式共性特征，并用字母簡潔表示平方差公式，借助圖形面積展示平方差公式的幾何意義，最后以典型的計算例題作為本節的結尾.教材中相關內容的呈現主要集中于精練的文字語言和形象的符號語言，這得益于16世紀數學家韋達（Fran?ois Viète，1540—1603）創立的符號代數，使得平方差公式能夠由幾何形式發展為符號形式，但教材并未將這一發展過程體現出來，更未交代學習平方差公式的必要性.作為初中階段學生接觸的第一個數學公式，教師應該有意識地將相關數學史融入教學內容，讓學生了解數學知識和方法的產生、發展和應用過程.

基于APOS理論的特點，梳理了與每一階段相對應的平方差公式史料，但還需結合初中生的認知水平及生活經驗設計史料的融入方式.附加式、復制式、順應式和重構式是目前最為常見的數學史融入數學教學的方式［4］，在充分考慮每種方式的作用及特點后設計如下史料融入方式（見表1）.

表1 平方差公式史料選取及融入方式

結合以上思考與分析，從HPM視角擬定了以下三維教學目標：

知識與技能：

（1）經歷平方差公式的探索及推導過程，掌握平方差公式的本質，即結構不變性和字母可變性；

（2）理解平方差公式的幾何意義，能進行符號、圖形及文字語言的轉換.

過程與方法：

（1）通過等周問題引入平方差公式，站在歷史的角度感悟公式的實際應用，再采用面積割補法深入理解（a+b）（a－b）=a2－b2的幾何意義；

（2）在和差術背景下辨析公式應用情況，能進行簡單的運算，培養運用平方差公式解決相應問題的能力.

情感態度與價值觀：

（1）通過對幾何圖形的裁剪拼接，培養學生的直觀想象核心素養，增強幾何圖形表達能力，提升數形結合思想；

（2）強調公式中a，b的整體性，讓學生樹立數學整體思想，加強符號意識，體會符號表達公式的簡潔美；

（3）通過融入數學史感知數學文化的魅力，增強學生的愛國情懷和民族自信，體驗數學背后的人文精神.

教學的設計與實施

（一）操作階段——等周情境，感悟公式

問題1：為防止草地退化，某部門規定每只羊平均占地面積不多于6平方米.一牧民家中有羊100只，為響應號召，牧民打算在羊圈周長不變的情況下，按照圖3將原先邊長為25米的正方形羊圈進行改造，即將其中一邊長削減的5米添加到鄰邊，請你幫牧民計算一下，改造后的羊圈滿足了這一規定嗎？你又是如何判斷的呢？

圖3

（252＞（25+5）（25－5）=600）

揭示數學史：“智改羊圈”問題來自著名數學家歐拉小時候的故事.小歐拉曾一邊牧羊，一邊讀書，運用數學知識幫父親解決了等周情況下所得正方形羊圈面積最大的問題.你能運用代數或幾何的形式對其進行解釋嗎？

預設：代數，設正方形邊長為a，面積為a2.將一邊長削減b（0≤b＜a），其鄰邊增加b，得到長寬分別為a+b和a－b，面積為（a+b）（a－b）的長方形，依據前后面積關系可得：a2=（a+b）（a－b）+b2，再通過移項得到平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2.（幾何意義見圖4）

圖4

設計意圖操作階段為貼合學生的認知水平和當前教學實際，采用順應式合理改編小歐拉“智改羊圈”的等周問題.首先，以草場退化為背景，滲透環保意識，以具體數字呈現牧民羊圈面積大小，降低學習難度，初步搭建幾何圖形與代數式之間的關系，探究出前后面積之差為陰影部分的小正方形面積，并列出等式252=（25+5）（25－5）+52，讓學生對平方差公式的幾何意義有所感知.其次，揭示情境中蘊含的數學史，用字母表示數，將算式由特殊推廣到一般，再結合幾何圖形得出平方差公式為過程階段做好鋪墊，讓學生感悟數學知識的實際應用.

（二）過程階段——面積割補，探究新知

問題2：如圖5，從邊長為a的大正方形紙片中減去一邊長為b的小正方形，剩余圖形面積為多少？除了列式計算，你能用幾何拼接的形式將其表示出來嗎？請小組利用課前準備的正方形紙片進行裁剪拼接，3分鐘后由同學來分享合作探究的成果.

圖5

預設：

①沿小正方形邊長作切割線（如圖6）；

圖6

②沿正方形對角線作切割線（如圖7）.

圖7

由以上兩種切割方式最終拼接圖形面積都可表示為:（a+b）（a－b）=a2－b2.

揭示數學史：①中所運用的切割方法是公元3世紀我國古代數學家趙爽“負薪余日，聊觀《周髀》”所發現的面積割補法（如圖1），用以證明平方差公式，在《周髀算經》中注釋為“勾股圓方圖”.面積割補法是一種常見的作圖解題的數學方法，在劉徽所注釋的《九章算術》中稱為出入相補原理（又稱以盈補虛），將一個圖形經過分割、移補來計算面積，是數量中平均思想在幾何上的體現.

設計意圖過程階段通過小組合作的形式探究平方差公式的幾何意義，培養學生數形結合能力的同時，有益于提升學生的直觀想象核心素養.采用重構式引導學生在剪拼正方形紙片的過程中，思路自然接軌中國古代數學家趙爽的“面積割補法”，將不規則陰影圖形轉化為學生熟知的四邊形，利用等積關系建立等式，讓學生領會數學家的深刻思想與巧妙方法，樹立學習數學的信心，增強愛國情懷和民族自豪感.

（三）對象階段——典例分析，揭示本質

問題3：幾何視角下的面積探究得到了式子（a+b）（a－b）=a2－b2，你能發現該式子蘊含的結構特征并用語言進行描述嗎？

預設：整個式子含有兩個數，前一個括號是兩數之和，后一個括號是這兩數之差，其中符號相同的a稱為相同項，符號相反的b稱為相反項，二者乘積等于這兩數平方差，故稱為平方差公式（如圖8）.

圖8

問題4：判斷下列各式計算是否正確？若錯誤請加以修改，并指出α，b分別表示什么.

判斷正誤：

問題5：公元3世紀，古希臘數學家丟番圖在其《算術》第1卷第27題中記載：已知兩數和為20，乘積為96，求這兩個數.你能利用平方差公式解決這一問題嗎？

預設：兩個數不能同時大于10，也不能同時小于10，必定一個大于10，一個小于10.可設一個數為10+x，另一個數為10－x，二者乘積形式（10+x）（10－x）符合公式結構，運用平方差公式（10+x）（10－x）=102－x2計算得x=2，兩個數分別為12和8.

揭示數學史：丟番圖“二元問題”的解法與古巴比倫數學泥板記載的“和差術”不謀而合，能讓學生從中體會到數學知識和數學文化的傳承及應用.“YBC4663泥板”載有這樣一道二元問題［5］你能用和差術進行求解嗎？

設計意圖操作和過程階段我們從“形”的視角探索了（a+b）（a－b）=a2－b2，對象階段我們選取“數”的視角對（a+b）（a－b）=a2－b2進行剖析，揭示本質.問題4采用了教材例題，體現教材的示范性，其中a，b分別以數、單項式、多項式呈現，著重對公式中相同項和相反項進行辨析，加深學生對結構不變性和字母可變性的理解.問題5以數學史的方式融入平方差公式在解決二元一次方程組中的有效應用，不同于先前直接呈現式子判斷正誤，此處滲透了方程和換元思想，豐富了公式的運用情形.

（四）圖式階段——拓展深化，豐富認知

問題6：公元前300年，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷命題5中，用巧妙的幾何圖形證明了平方差公式，但其形式與今天所學存在差異，你能依據圖2列出圖形所示公式嗎？

課堂小結：

（1）你能用圖形、符號和文字語言表達平方差公式嗎？

（2）平方差公式的本質是什么？

（3）看似枯燥的平方差公式居然蘊藏了如此豐富的數學史，哪一個令你印象最深刻？

揭示數學史：歐幾里得用圖2巧妙證明的公式屬于平方差公式的精彩變形，其相同項為，相反項為.歐幾里得的《幾何原本》建立了人類歷史上第一個公理體系（也稱演繹邏輯體系），它的邏輯演繹范式幾乎決定了自它之后整個西方數學和科學的表達方式.在這一部宏偉著作中還蘊含了許多以后我們要學習的數學知識，讓我們一起期待與它們的相遇.

設計意圖在之前的學習中，我們已經從代數和幾何兩個角度對平方差公式進行了探究，對其結構不變性和字母可變性的特征已有所掌握.引入歐幾里得幾何圖解所得的變形公式，能突破學生思維定式，豐富學生對平方差公式的認識.簡述《幾何原本》的歷史地位使學生感悟所學知識的重要性，并為后續學習做好了鋪墊.以提問反思形式進行的課堂小結有利于梳理學生的知識體系，搭建幾何、代數和文字相互轉譯的橋梁，為完全平方公式和因式分解的學習提供了思維方向.

結束語

APOS理論的本質是用操作、過程、對象和圖式來表示數學概念學習中的動態心理過程，為搭建結構化的知識體系助力.數學史的自然融入使原本單調的數學課堂變得有趣起來，能在不同階段的知識探索過程中選取典型素材推陳出新，感悟數學家的所思所想，體現了知識之諧、方法之美和探究之樂.適切的歷史素材和多元的融入方式保障了教學活動的豐富性，古巴比倫、古希臘、古代中國以及近現代等諸多數學著作上記載著平方差公式的探究與應用，不僅能使學生體會數學知識在傳承與發展中展現的文化魅力，還能體現數學史料在課堂教學運用中彰顯的德育功效.