淺析勾股定理的應用探究

林勁松

（閩南理工學院教育學院，福建 石獅 362700）

勾股定理將“數”與“形”這兩個數學當中古老而又基礎的對象通過特定的關系連接在一起，被贊頌為數與形的首要定理。同時，勾股定理是第一個使用其獨特推理證明方式，成功轉化當時數學中常用的計算測量方法的定理。勾股定理在某種程度上而言促進了不定方程發展，并讓其變得多樣化。首個不定方程來源于勾股定理公式，最終，其也成為不定方程的典例以及解題標準，從而順利解決自無理數出現帶來的數學危機。因而可知勾股定理的重要性與實用性，也可知其并沒有辜負“千年第一定理”的美譽。除此之外，勾股定理其自身的功能以及特有的廣泛性在數學解題當中非常強大。教師如果想讓學生真正理解勾股定理，并將其運用在數學解題當中，就應當有計劃地培養學生的勾股定理運用能力。

一、勾股定理的教材分析

（一）勾股定理在教材中的地位與作用

勾股定理可以為學生進一步探索微積分學、三角學、解析幾何學奠定良好的數學學習基礎。不難得出，勾股定理自身實用性極強，例如將幾何圖形和數量關系連接、更深入反饋直角三角形三邊數量關系以及上述不定方程的引出，也借此展現形式各樣的無理數等內容。勾股定理憑借著其實用性及強大功能為數學大廈打下穩固地基，讓數學能進一步被認可為兼具證明與推理的科學學科。因而，勾股定理被學者視作運用于平面幾何的重要定理，其甚至在整個數學領域當中也有著不可替代的地位。

（二）教材內容

教科書（人教版八年級上冊第十八章第一節）中的觀察→計算→猜想→證明→簡單應用的這一整個過程是對勾股定理理解運用的進一步闡釋。

第一，在八年級上冊的教科書中就有觀察地表圖形的面積及聯系后悟出直角三角形與三角形三邊數量關系的古希臘學者畢達哥拉斯，在其影響下，學生對數學未知內容充滿了求知欲，其好奇心理也被激發出來。第二，“思考”部分引導學生觀察同種圖形，進一步推動學生發現有一種三角形擁有特殊的直角三角形面積關系——等腰直角三角形，進一步激發學生繼續探索發現的求知欲。第三，“探究”模塊中“算法運算”，將一個直角三角形的三邊分別作為正方形邊長，計算三個小正方形面積，引導學生自主探究，最終可以發現以兩個短邊為邊長的小正方形面積和與長邊為邊長的正方形相等，由此學生根據一般的結論提出自己的猜想。第四，教材中給出了一種面積（割補）的證明方法，就是趙爽弦圖的證明方法。該方法根據所給圖形在其適當的位置進行切割，將切割下來的圖形拼湊適當的位置從而得到新圖形。在該步驟當中，前后出現圖形的所有部分面積相加，最終相等。由此，勾股定理完整證明過程得到充分展現：方法運用不同算法得出圖形面積并利用“總面積不改變”特點將圖形性質推導出來。當然，如果教師想讓學生可以更深入體會勾股定理價值，就要讓他們從日常生活中挖掘例子，結合勾股定理尋找解決方案，并在具體生活中運用拓展。

二、勾股定理的學情分析

首先，學生已經有七年級下冊《三角形》內容基礎，掌握了三角形基本內容，在數量眾多的實例當中體驗感悟，對其特征屬性產生深刻認知。與此同時，在直角三角形中，學生也學習掌握了相關三角形為全等三角形的證明方法。通過此種遞進式理論與實踐結合的教育方式，學生體驗到了關于圖形性質探索的大致流程以及操作，從而可以培養他們的推理能力，讓他們擁有一定的實踐經驗。其次，例如探索乘法公式、單項式乘多項式具體法則等這些學生根據已掌握的圖形面積探究數式運算規律內容，為活動探究奠定基礎。最后，一方面對勾股定理探索運用這塊重難點內容對學生而言，一開始，會覺得很費勁和不熟練；另一方面，對于該章節的難點（勾股定理的證明），除了課本上所述的教學方式，教師也可以為學生的閱讀和思考拓展提出不同的論證方式，進一步讓學生熟練掌握知識內容，并養成發散思維的良好習慣?？傮w而言，學生認真學習勾股定理可為今后學習其他相關知識打下基礎，讓學生感到不陌生，如勾股定理的逆定理和解直角三角形等。所以勾股定理在整個數學知識體系中起著橋梁作用。

三、勾股定理的應用

（一）勾股定理在折疊問題中的應用

不少學生對圖形折疊計算問題感到手足無措，如下三個技巧實用性強，可以解決絕大部分此類問題。第一，觀察已知的圖形后，構建或尋找直角三角形，這步非常重要。第二，為了解題便利，可以采用設置未知數的方式，設一條重要未知線段為x，并且將與此線段有關系的其他線段尋找出來，然后盡可能地用含有未知數x的代數式表現；第三，學會使用勾股定理寫出方程式，最后解出 x 就可知道所求線段的線段長以及含有x 的代數式的線段長。此解題過程需要結合方程思想，且必不可少。

大部分問題不能運用勾股定理直接求解，只能在設定未知數時才能運用勾股定理解題。

例1：如下圖，矩形ABCD 中AB=10。BC=8，E為AD 邊上一點，沿CE 將Δ CDE 折，點D 正好落在AB 邊上的F 點，則AE 的長度是多少？

圖1

例1 的圖形說明該題要先選定Rt△AEF，接著可設DE 為x，通過證明可知DE=FE=x，則AE=8-x，在Rt△AEF 中，通過勾股定理得到，42+(8-x)2=x2，根據方程得出DE=x=3。在使用勾股定理的情況下，解題異常簡單，但是如果不用該定理，那么實際上解題難度較大。此題目的主要思路即為，將學習過的方程及其思想與勾股定理相結合，通過這樣的方式得到一個未知數方程，并將其中的未知數x 求得，就可以很容易解出線段AE 的長度，由此便可得知勾股定理作為紐帶，運用設置相關未知數解答題目所求解線段。但是要時刻牢記折疊前后有一些對應的量是不變的。由此可知，學生學習圖形折疊問題時，如果他們運用勾股定理來答，那么要將步驟分為三步，即為找圖形之間的關聯，設置合適的一邊為x，最后運算求得答案。

（二）勾股定理在最短距離中的應用

在最短距離問題當中，平面狀態下求解應當尋找其中的解題核心，在這里即為“兩者之間線段最短”。當螞蟻在圓柱體或長方體上爬行時，最短距離是多少呢？為了解決這種類型問題，不僅要用到勾股定理，還需要學生調動自己的想象力，先將立體圖形由側面展開變為平面圖形。在整個解題過程中，想要讓題目總體維持合理，就需要學生有較強的空間想象力。

例2：在如圖2 長方形點A處，有一覓食的小蟲從其表面爬到食物所在的B 處，長方形長5cm，寬4cm，高3cm，求最近覓食路線。

圖2

該題首先要讓學生明白一個道理就是小蟲沿著長方形的外表爬行，不能進入內部。因而首先要做的就是展開外表，得到平面圖。將立體圖形展開后可得知蟲子一共有三種可以由A 處爬行到B 處方法（如圖3），學生可以運用勾股定理求出該圖形對角線的長度，通過大小的比較可得知蟲子到終點最短的路程。

圖3

當長方體表面有一只蟲子在爬行時，如果起點與終點兩個頂點距離最遠，那么可行的案例就需要通過分類討論得到了。通過分析可以得到總共三種情況，即為跨越長、寬、高。最終從上述探析得，看似小蟲穿越了最長的棱長，但是爬行的路程卻最短。這樣的立體圖展開成為平面圖的方式，在小蟲爬行在圓柱體等相關圖形中時也可運用，歸根結底，即為運用了“兩點之間線段最短”的思想。

（三）勾股定理在斜三角形中的應用

在部分學生看來，勾股定理只能在直角三角形中運用，而不能在銳角或者是鈍角等斜三角當中運用，那么遇到斜三角形的題目時，難道只能束手無策嗎？答案必然是否定的，其中教師就可以運用到構建直角三角形的思想，在斜三角形當中尋找到可以構建的直角三角形，通過此種方式獲得問題的解決方案。

例3：在△ABC 中，AC 為20，AB 為15，邊長12的AD 為BC 邊上的高，那么BC 為多少？

首先在拿到題目之后，并不知道題目所述三角形為銳角或者是鈍角，因此分類討論思想不可或缺。情況一：如果△ABC 為銳角三角形，那么在該三角形當中，必然存在高與邊長一起構成直角三角形。如圖4 所示，圖中，有Rt△ABD 和Rt△ADC，將所學勾股定理分別應用在這兩個直角三角形中，可求解出BD 為9，CD 為16，那么BC 則為25；情況二：假如△ABC 是鈍角三角形，該三角形外面有著BC 邊上的高，與邊長或者是延長線構成直角三角形，如圖5 所示，圖中有Rt△ACD 和Rt△ADB，將所學勾股定理分別應用在這兩個直角三角形中，可求解出BD 為9，CD 為16，那么BC 則為7。綜上所述，BC 為25 或7。

圖4 銳角三角形構造出的直角三角形

圖5 鈍角三角形構造出的直角三角形

對于此類型的題目，學生經常會因為看錯等原因，思路偏離題目。但是根本原因實際上是學生解題不細心，沒有分類討論△ABC，其思維嚴密性有待加強。題目中涉及了高，這也就暗示學生存在直角，學生可以構建出直角三角形，并將斜三角形進行轉化，然后運用勾股定理解題。此種類型題目不僅考查學生的勾股定理熟練運用能力，還考驗了他們的分類討論思想，考查學生是否遺忘分類討論。此題目在一定程度上可以提高學生的數學邏輯思維能力，增強他們對于考查題目的敏銳性。

（四）勾股定理在證明題中的應用

如圖正方形ABCD，E 為BC 中點，F 為AB 上一點，且BF=?AB。請問FE 與DE 是否垂直?請說明。

∵四邊形ABCD 為正方形

∴該圖形具有正方形所特有的特征四條邊相等 AB=BC=CD=AD=DE

證明:設BF=a，則BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a

∵△BEF 是直角三角形

∴EF2=BF2 +BE2=a2 +4a2=5a2

DE2=CE2 +CD2=4a2 +16a2=20a2

連接點D 點F 得線段DF(如圖)

DF2=AF2 +AD2=9a2 +16a2=25a2

∴DF2=EF2 +DE2

∴FE⊥DE。

這道題目看似難度大，實際上考查的也是勾股定理。通過此種類型的題目，在勾股定理知識得到鞏固的基礎上，學生的知識靈活運用能力以及轉化能力得到加強，學會了舉一反三。

本文主要初步探究勾股定理的簡單應用，在日常的教學中，教師可以精心選擇合適的典例以及相關的勾股定理課后習題，讓學生多加練習，從而提升他們對勾股定理的敏銳度，并培養他們的實際運用能力。通過一步步的指導和練習培養學生對題目中重要信息的獲得能力，根據題目要求探析題目中的重點要求，以及想要讓學生運用的知識點。教師要讓學生學會定期回顧勾股定理內容，總結其中重要知識點，對近期錯題進行總結歸納，從而熟練掌握勾股定理。并且讓學生養成分類討論及運用方程解題等相關重要數學思想，并提升自己的計算能力，從而搭起一座連接代數與幾何“兩岸”的橋梁，將兩者緊密結合在一起，形成有機整體。

四、小結

本文基于分析理解勾股定理的教材、學情的這一起點上，將勾股定理的應用進行初步的歸納分類，并通過以典型例題的形式在學生面前進行呈現。

例題1 選擇與圖形折疊相關的題目，讓學生感受到其在折疊之前和折疊之后的不變性，用此方法在不知不覺中將軸對稱的概念滲入了學生的腦海中，為以后關于軸對稱的學習打下基礎。例題2 選擇與最近路徑相關的題目，將解題過程與立體幾何相結合，以訓練學生空間想象、抽象思維的能力，提前為未來的立體幾何的學習打下基礎。例3 選擇在斜三角形上的運用，強調了對分類法的思考，提高了學生的邏輯和嚴密程度，預防疏漏現象的出現。例4 探討如何運用于論證問題，讓學生明白了問題解法中非常重要的一步是要循本溯源，找到問題的題眼。

總而言之，從舉出的四個典型案例中領悟到，勾股定理的運用是多種多樣的，涵蓋的范圍也很廣。所以，在勾股定理中，要遵循“萬變不離其宗”的思想，從根本上了解和把握，并能做到隨機應變。