基于Trans-SEQICR模型的鐵路客流控制研究

王 宇，董 煜

（大連交通大學 交通運輸工程學院，遼寧 大連 116028）

0 引言

21世紀以來，全世界發生的重大傳染性疾病主要包括非典型肺炎、新型冠狀病毒肺炎等，每次重大傳染病爆發時，會造成人員傷亡、生產發展停滯及一系列社會性問題。鐵路旅客運輸由于客流密度大、流動性強的特點，為傳染病的傳播提供了潛在環境基礎，導致旅客出行面臨風險隱患。每當面對疫情，鐵路部門都進行嚴格防控，實現了對疫情的有效控制，但既有模式已難以滿足鐵路企業和社會的發展需要，需對客流合理控制展開深入研究，以在降低疫情擴散風險的同時保障運輸生產活動的適當開展，為鐵路部門未來面對新發流行傳染病的管控方法提供支持。

傳染病模型由KERMACK W O 等提出，是通過分析傳染病的傳播特點、描述傳染病傳播過程的倉室模型[1]。后續延伸出了考慮更多因素的相關研究，發展出諸多更符合現實疾病特征的模型，其中包括考慮潛伏期、垂直傳播、年齡結構和疫苗等因素的模型[2]。該模型可對疫情發展趨勢進行良好預測，學者使用該模型在新冠疫情初期進行了初步分析預測，WU J T等[3]基于中國疾病預防控制中心提供的早期病例數據、人口流動數據和航班數據，用SEIR 模型模擬了全球主要城市的危險性，并估算此次疫情的基本再生數為2.68。QIAN X W等[2]通過將城市人口的流動動態描述為離家、往返于活動地點與參與活動的過程，建立了空間SEIR 模型，以實現公共交通系統的有效入口控制和有限資源的最優分配。通過研究可知，該模型可以預測一個封閉地區疫情的爆發情況、最大峰值、感染人數等，但該模型的主要不足是對于流動中接觸模式的簡化假設，并且傳統模型未考慮城市間人口流動與空間變化等因素，這與現實中傳染病的異質性、人口的流動性和接觸多樣性不符。既有研究所建立的傳染病模型還不夠完善，需要根據實際情況修正模型。

綜上所述，本文提出將傳染病模型應用于鐵路客流控制研究之中，建立了一種考慮兩城市間鐵路客流流動傳染的Trans-SEQICR 模型，從動力學角度對模型的平衡點、基本再生數及特征值進行求解，揭示了鐵路客流控制量的確定方法，并以2022年某地爆發的新冠疫情為例，驗證模型方法的擬合效果。

1 問題提出

鐵路旅客運輸在中長距離運輸中具有不可替代的作用，與其他公共交通方式相比，鐵路客流規模大、途徑站點多、旅行跨度廣，因而鐵路企業的疫情防控工作除了復雜性，更兼具難度和艱巨性，其運輸過程中客流密度大、集散性強的特點，為傳染病傳播埋下了環境安全隱患，導致疫情期間旅客出行面臨感染的可能與風險。

病毒感染者根據其傳染性的差異，一般會劃分為確診者和無癥狀感染者2 類，這2 類感染者的感染率和治愈率都有所不同。此外，根據我國的防疫政策，在發現感染者后會逐步對密切接觸者、次密接觸者開展排查并轉運隔離、治療[4]。因此，為使模型能更準確描述我國疫情防控動態，需要改進病毒傳播流程及人群劃分，在傳統SEIR 模型的基礎上，進一步建立SEQICR模型，S表示易感者，E表示潛伏者，Q表示檢測出現異常被轉運的隔離者，I表示確診感染者，C表示由無癥狀轉為確診并轉運治療的確診治療者，R表示康復者。

通過分析，病毒通過鐵路向外傳播有2 個主要過程，除了感染者到達目的地后造成的擴散傳播外，還可能在列車封閉車廂內引發傳播。感染者在潛伏期內通常沒有癥狀，但他們具有通過接觸和飛沫傳播病毒的特點，導致旅客無意中將病毒傳播給他人。由于車輛空間狹小、氣密性強、通風不良，與室外開放空間相比，飛沫感染和接觸感染的風險存在雙重疊加。通過閱讀分析相關文獻[5-7]，病毒在交通工具中的傳播風險可類比SEIR 模型中的感染概率函數進行計算。但是，以往研究中函數使用的是全體人數Nj，根據感染函數定義，該函數是由某區域內感染人群與易感人群比例為正比關系而建立的，因而本文在后續建模過程中進行了改進，對旅行過程中的感染函數進行了重新定義計算。

由于上文的模型皆為數學模型，能夠相互耦合，可以合并建模。通過將易感人群暴露、感染、隔離、康復過程與客流的動力學模型相結合，可以建立考慮客流流動傳染過程的改進傳染病模型，以描述在常態化疫情防控的情況下鐵路旅客運輸過程中的感染風險。

2 Trans-SEQICR客流控制模型研究

2.1 模型假設

通過上文研究，明確了需要在改進傳染病模型基礎上，考慮假定的兩地之間進行的鐵路客流流動建立Trans-SEQICR模型，現對此提出假設如下。

（1）根據傳染病模型的性質，需忽略人口的出生率和死亡率。

（2）人群普遍具有易感性，且僅考慮人傳人的傳播方式。

（3）考慮存在無癥狀期，且無癥狀期內具有一定的傳染性。

（4）不考慮短期內二次感染的可能性，治愈者不再成為易感人群。

（5）因鐵路客流的規模、流動性強于航空、公路，鐵路運輸過程中引發的感染風險大于其他運輸方式。因此，模型僅針對鐵路運輸展開研究，其他運輸方式所引發的人口變化則通過城市人口遷入率、遷出率表示。

2.2 Trans-SEQICR模型建立

從城市的角度來看，鐵路運輸可以視作點對點的運輸。在上文介紹中，由于傳染病模型是數學模型，所以若建立所有站點間整體模型的工作量十分巨大，后續的求解過程也困難。因此，本文考慮以出現確診病例的城市j為起點，選取另一個可能會有擴散風險的城市i為終點，由此建立將2 個城市視為同一倉室的旅行傳染病模型，以研究j城出現疫情后通過鐵路客流對i城造成的疫情傳播規模?；谝陨显?，建立的Trans-SEQICR 模型的疫情傳播過程如圖1所示。

圖1 兩城市間Trans-SEQICR模型傳播倉室

假設i城市在t時刻的總人口為Ni(t)，記Si(t)、Ei(t)、Qi(t)、Ii(t)、Ci(t)和Ri(t)分別為i城市t時刻的易感者、潛伏者、隔離者、感染者、確診治療者和康復者的數量，則有

由傳播倉室圖可得下述模型

其中：λ為城市人口遷入率，μ為城市人口遷出率，β1為易感者與潛伏者接觸并感染的概率，β2為易感者與感染者接觸并感染的概率，η為潛伏者被轉運隔離的轉移率，σ為潛伏者到感染者的轉移率，α為隔離者被確診后轉運治療的轉移率，ω為感染者被轉運治療的轉移率，γ為感染者的自愈康復率，φ為被轉運的患者在醫學治療下的康復率，τ為潛伏者未發病直接康復的概率；θji為由j城市至i城市的鐵路旅客遷移量，k為封閉空間(車廂)內易感者與潛伏者接觸并感染的概率，b為病毒密度與感染概率的轉換系數，n為在有感染者的交通工具內部經過時間T后病毒的數目，v為病毒向外釋放的強度，E為初始攜帶病毒且具有傳染特性的旅客數，V為交通工具的體積，W為通風指標，交通工具通過排風系統以一定的速率向外排除病毒，D為交通工具消毒指標，假定通過消毒措施使病毒按此指標被勻速殺死，P為個人防護系數，佩戴口罩會使系數變大，X為單列車廂數，L為開行列數。

2.3 Trans-SEQICR模型參數確定

為使用上述模型分析疫情傳播情況，本文以新型冠狀病毒肺炎為例，對Trans-SEQICR 模型中的參數進行估計。根據國內疫情數據，結合查閱文獻及軟件函數擬合，最終確定的參數值如表1所示。

表1 參數含義及取值

3 鐵路客流控制模型求解

疫情期間，若想減輕病毒的傳播風險，最主要的措施是減少旅客密度。根據模型求解合理調整疫情城市發送客流量以實現客流控制。

R0指基本再生數，表示在疫情初期平均每個感染者進入易感人群中，在理想條件下可感染的二代病例個數。R0=1是判斷疾病是否流行的閾值，當R0＞1時，該種疾病感染的人數會越來越多，甚至傳遍整個人群；而當R0＜1時，即便不采取任何防控措施，該地區該種傳染病感染的人數也會越來越少，最后該傳染病趨于消失[16]。

為計算關鍵臨界狀態R0，需要對無病平衡點進行求解。在計算模型的無病平衡點之前，首先要建立本模型的微分方程緊湊形式，即

計算無病平衡點P0[17]，在P0狀態下，若R0＜1，則說明即使發生疫情沿鐵路擴散的情況，也能在短期內得到控制，那么即可求得由j城市發往i城市的動態控制客流量。首先，令Trans-SEQICR 模型微分緊湊表達式右端取0，即可求出無病平衡點P0為

本文選用下一代矩陣法(NGM)計算傳染病模型的基本再生數[18]。涉及染病的倉室包括Ei，Qi，Ii，Ci，Ej，Qj，Ij，Cj。記作

倉室中由于染病而產生的新增項記作f(X)，倉室中發生轉移或移出的項記作v(X)，其中

將f(X)、v(X)對Ei、Qi、Ii、Ci、Ej、Qj、Ij、Cj依次求偏導，得到雅可比矩陣，其中新增感染項構成的f(X)對應的雅可比矩陣為轉入矩陣，記作F(X)，則

發生轉移或移出的v(X)對應的雅可比矩陣為轉出矩陣，記作V(X)，則

根據基本再生數的定義，其值為矩陣的譜半徑，而矩陣譜半徑又為矩陣特征值的最大值[19]，故有

得到矩陣F·V-1的特征值為

代入P0，令基本再生數為1，可反解得到入口控制量。同時，觀察入口控制量的表達式，發現各項參數是隨時間變化的，所以得到的入口控制量也是隨著疫情發展而時刻變化的，因而客流控制策略是一個動態調控的過程。

4 實證分析

4.1 實例基礎數據

本文選取A作為參考城市，根據百度遷徙數據的遷徙指數，選取遷出占比較高的B市作為主要研究對象。根據城市統計年鑒計算城市基礎參數，各參數取值如表2所示。

表2 城市基礎參數取值

A 市2022 年上半年疫情于3 月底逐漸爆發，根據相關報道，于3 月1 日至3 月23 日很多地區陸續轉為中風險等級，因而選取3月23日為中風險等級下的研究起始時間；由報道可知，3月23日新增確診病例41例，將數據作為初始值輸入MATLAB 模型中，以研究是否采取客流控制策略的不同情況下，B 作為外來疫情輸入城市的疫情感染趨勢變化情況。通過Trans-SEQICR模型求解結果，結合兩市的疫情數據，計算可得客流控制量θji=4.3×10-6，A 市至B 市的日常鐵路客流量經計算為5.024×10-4。通過對比2種情況的趨勢，分析不同客流控制策略下的控制效果。

4.2 不對客流加以控制

在不進行客流控制的情況下，通過對A市2022年疫情數據的擬合，將擬合出的參數估計值代入Trans-SEQICR 模型中。在保持日常鐵路客流量時，由康復者、感染者人數變化趨勢圖可知，本輪疫情預計持續近500 d，共造成近1 500萬人的感染規模，單日新增峰值超過6 萬人。B 城康復者和感染者變化趨勢分別如圖2至圖3所示。

圖2 不采用客流控制情況下B城康復者趨勢

圖3 不采用客流控制情況下B城感染者變化趨勢

4.3 采取鐵路入口客流控制

采用Trans-SEQICR 模型的求解結論，在對鐵路客流量進行控制的情況下，本輪疫情預計縮短至300 d，感染規模降為25 萬人，單日新增感染者峰值降至2 200人。B城康復者和感染者變化趨勢分別如圖4和圖5所示。

圖4 采取客流控制情況下B城康復者趨勢

圖5 采取客流控制情況下B城感染者變化趨勢

通過分析上述擬合結果可知，未采用客流控制的情況下，康復者擬合曲線雖趨于平緩，但通過分析具體數值可知，該情況是由于感染人數已達上限，即進入全員感染、長期共存的狀態；而在采用客流控制措施后，該輪疫情總體規模大幅縮減，并且在擬合時間接近末期時康復者人數不再增長，疫情持續時間大大縮短，說明疫情在這時已進入初步可控的階段，符合基于基本再生數的模型求解所得出的結論。雖然疫情持續時間仍較現實理想狀況有所差距，但若在此基礎上進一步完善客流控制相關參數，如增加旅客佩戴口罩防護參數、通風消毒參數等，以提出更優化的防控策略，可以進一步縮短疫情周期，控制疫情規模。

4.4 對比分析

根據現實統計數據，截至2022 年5 月，B 市本輪疫情累計感染530 人，這一數據表明了現實中嚴格的防控措施和加強個人防護等作用下，形成的傳播規模較小、引發的疫情風險較低，但上述措施會給人民日常生活帶來一定影響。通過比較本模型預測結果可知，在不采用任何控制措施的情況下，最終形成的疫情傳播規模極大，說明該情況下疫情已不可控，危害影響極大，且持續時間長、出現多個感染高峰期，容易引起醫療系統長時間高負荷運行，甚至引發醫療擠兌等情況。

本文建立的模型是通過限制鐵路旅客發送量實現一定程度的客流控制，根據擬合結果可知，在A市至B市客流發送量限制為8.6‰時，能夠使疫情感染規模下降至不采用客流控制情況的1/60，疫情持續時間大幅縮短，防控效果顯著，擬合曲線顯示最終能夠實現疫情完全清除；并且該控制措施保障了部分客流的正常發送，對社會正常運行具有一定意義?，F階段研究并未考慮現實中存在的旅客個人防護、車站防控措施等其他防控因素的影響，雖然在模型中加入上述因素能夠進一步降低疫情持續時間與規模，但現有預測結果表明僅采用客流控制措施的情況下已能夠實現對疫情的有效控制，由此可節省防護用品、防控人員等社會資源。

5 結論與展望

5.1 結論

為研究疫情期間的鐵路客流控制策略，本文分析了病毒在客流中傳播的規律和機理，建立了一種考慮客流流動傳染的Trans-SEQICR 模型，得到以下結論。

（1）通過完善傳染病模型的人群倉室并引入人口流動力學模型，建立了考慮鐵路旅行傳染的Trans-SEQICR 模型。經過對該模型研究得出，利用MAT‐LAB可擬合得到疫情的發展趨勢與整體模擬曲線，直觀表示鐵路旅客運輸引發的跨區域疫情傳播過程，由此可分析各類防控措施對疫情發展的影響效果，完善了現有模型的不足，可以提高模型對疫情預測的準確性。

（2）從動力學角度對模型的平衡點、基本再生數及特征值進行求解，揭示了鐵路客流控制量的確定方法，并以A市至B市為例，當客流發送量控制在常態值的8.6‰時可實現對疫情的顯著控制，驗證模型方法的擬合效果。

（3）該模型不僅對現有疫情數據進行了整合分析，還可以通過調整參數使其適用于其他新發傳染病，為階段性、區域性的流行病防控辦法提供參考，為鐵路部門面對未來可能發生的其他突發傳染病時的科學決策提供支持，實現社會資源的合理運用。

5.2 創新點

（1）根據新型突發傳染病的防疫政策安排，在傳統SEIR 模型的基礎上考慮了隔離人群和確診人群，并將鐵路客流流動引發傳染的過程轉化為動力學模型，將其與傳染病模型相互嵌套，建立考慮客流傳染的Trans-SEQICR 模型，可以模擬疫情沿鐵路發生傳播后的變化趨勢，還可以以此評價一系列控制措施的實施效果。

（2）現有鐵路疫情防控研究多為防控理念與措施的研究，尚缺少定量研究以確定控制標準。本研究通過求解改進后的Trans-SEQICR 模型，以基本再生數R0為約束，反解得到客流控制量θji，為后續研究奠定基礎。

本研究也存在一些局限性。雖然模型已較為完整，但部分變量、參數設置的科學性有待提高，如病毒密度與感染概率轉換系數b、病毒釋放速度v等具有醫學專業特點的參數，需廣泛閱讀相關研究，盡可能改進出更為貼合疫情實際情況的模型。同時，現階段研究尚未充分發揮傳染病模型的優勢，未來在現有研究結論的基礎上，可進一步對客流控制措施進行細分，從不同時期、不同控制主體等角度建立更為完整、系統的鐵路客流控制策略，以實現更理想的防控效果。