無限時滯脈沖泛函微分方程的有界性

陳成軍，申建華

(杭州師范大學數學學院，杭州 浙江 311121)

0 引言和預備知識

脈沖微分方程的理論可以追溯到Mil’man和Myshkis[1]的工作.這個理論現在不僅被認為比相應的無脈沖微分方程理論更為豐富,而且為許多現實世界現象的數學建模提供了一個更為自然的框架.過去一些年,脈沖微分方程理論研究取得重大進展,例如,參見[2—10]和其中所引用的文獻,脈沖泛函微分方程理論也已得到充分的發展.

本文中,我們將討論具有無限時滯的Volterra型泛函微分方程

x′(t)=F(t,x(·)),

(1)

在非線性脈沖條件

(2)

擾動下的有界性，其中x′(t)表示x(t)的右導數,t*

令J?是任意區間,定義

PC(J,n)={x:J→n|x在除脈沖點t=tk∈J外都連續,和存在,且

對?t≥t*,將PC([α,t],n)記作PC(t),定義

PCB(t)={x∈PC(t)|x有界}.

對?φ∈PCB(t),定義φ的范數為:

對?t≥t*,H>0,令

PCBH(t)={φ∈PCB(t)|||φ||

對某個給定的σ≥α及φ∈PCB(σ),我們給出方程(1)-(2)的初值條件為:

x(t)=φ(t),α≤t≤σ.

(3)

定義1x(t)被稱作初值問題(1)-(3)關于σ的解,如果

x:[α,β)→n(其中t*<β≤∞)在t∈[α,β){tk,k=1,2,…}上是連續的,和存在,且滿足(1)-(3).

我們假定下述(H1)-(H4)成立,則初值問題(1)-(3)的解x(t,σ,φ)存在且唯一[9].

(H2)F在每個緊集PCB(t)上關于φ是局部Lipschitz的,即對?γ∈[α,β)及每一個緊集G?PCB(t),總存在一個常數L=L(γ,G),使得

|F(t,φ(·))-F(t,ψ(·))|≤L||φ-ψ||[α,t],

其中,t∈[α,γ]以及φ,ψ∈G.

(H3)I(t,x)∈C([t*,∞)×n,n),且對?ρ>0,總存在一個ρ1>0(0<ρ1<ρ),使得對?k∈+,當x∈S(ρ1)時,我們有x+I(tk,x)∈S(ρ).

(H4) 對?x(t)∈PC([t*,∞),n),有F(t,x(·))∈PC([t*,∞),n).

定義2脈沖泛函微分方程(1)-(2)的解被稱作是:

(S1)一致有界的,若對任意實數B1,存在B2>0,使得當t≥σ(σ≥t0),且 ||φ||≤B1時,有 |x(t,σ,φ)|≤B2成立.

(S2)一致最終有界的,若對任意實數B3>0,存在T>0,和B>0,使得當t≥σ+T(σ≥t0),且||φ||≤B3時,有|x(t,σ,φ)|≤B成立.

定義3函數V:[α,∞)×S(ρ)→+屬于集合v0,如果

(A1)V在每個集合[tk-1,tk)×S(ρ)上連續,且對所有的x∈S(ρ)和k∈+,極限

(A2)V關于x是局部Lipschitz的,且有V(t,0)≡0成立.

我們假設F(t,0)≡0,和I(tk,0)≡0,以便方程(1)-(3)存在零解x(t)≡0.同樣,在本文中,我們將假設β=∞.更確切的說,我們將只考慮能從σ的右邊拓展到∞的方程(1)-(2)的解x(t,σ,φ).

定義本文中可能用到的函數集合:

K={g∈C(+,+)|g嚴格單調遞增且g(0)=0}.

K1={g∈C(+,+)|g(0)=0,且當s>0時,g(s)>0}.

K2={g∈C(+,+)|g(0)=0,當s>0時,g(s)>0,且g非減}.

1 主要結果

定理1設存在常數U>0,及φ1,φ2∈K,C∈K1,p∈PC(+,使得下列條件成立:

V(t,x(t))>ψ(V(s,x(s))),max{α,t-h}≤s≤t

時,有不等式

V′(t,x(t))≤p(t)C(V(t))

成立,其中對?k,都有ψ(s)≤ψk(s),x(t)=x(t,σ,φ) 是方程(1)-(2)的任意解;

則方程(1)-(2)的解一致有界且一致最終有界.

證明給定B1≥U,滿足對?σ≥t*,φ∈PCBB1(σ).取正數B2≤ρ1,使得對?k,有

φ2(B1)≤ψk(φ1(B2)).

令x(t)=x(t,σ,φ)是方程(1)-(2)的任意解,記V(t)=V(t,x(t)).對某個m∈+,令σ∈[tm-1,tm),其中t*=t0,則當α≤t≤σ時,我們有:

φ1(|x(t)|)≤V(t)≤φ2(B1)≤ψk(φ1(B2))<φ1(B2).

(4)

即: |x(t)|

現我們斷言:

|x(t)|≤B2,t∈[σ,∞).

(5)

如果式(5)不成立,則假設?t∈[σ,∞),使得|x(t)|>B2.

定義

矛盾!

定義

因為

另一方面,由

φ2(B1)≤ψm-1(φ1(B2))≤V(t)≤φ2(|x(t)|)

將此不等式積分可知:

矛盾!

與情況1證明類似,定義

我們下證方程(1)—(2)的解一致最終有界.令

由上述證明知方程(1)—(2)的解一致有界,故對給定的?B3≥U,我們總能找到一個B4>B,且B4≥ρ1,使得當φ∈PCBB3(σ)時有

|x(t)|≤B4,V(t)≤φ1(B4),t≥α.

下面我們將證: ?T>0,使得當φ∈PCBB3(σ)時,有|x(t)|≤B,t≥σ+T.

因為當φ1(B)≤u≤φ2(B4)時有不等式ψ(φ1(B))≤ψk(φ1(B))≤ψk(u)

(6)

所以有

我們取d=d(B),使得0

ψ(u)≤ψk(u)≤u-M2/M

令N是使得φ2(B4)≤φ1(B)+Nd成立的第一個正整數.再令

T=τ+(h+τ)(N-1),

我們將證: |x(t)|≤B,t≥σ+T.

為此,我們定義m1=m,及

mi=inf{k∈Z+|tk≥tmi-1+h},i=2,3,…,N.

則我們知:tm1=tm≤tm+σ-tm-1≤σ+τ.又由定義tm2≤tm1+h+τ.

不失一般性的,我們設

tmi≤tmi-1+h+τ,i=2,3,…,N.

特別地,當i=N時,我們有

tmN≤σ+τ+(N-1)(h+τ)=σ+T.

現我們證明:

V(t)≤φ2(B4)-id,t≥tmi,i=1,2,…,N.

(7)i

先證(7)i成立.反設存在某個t≥tm1=tm,使得V(t)>φ2(B4)-d.定義

ψk(φ2(B4))<φ2(B4)-d.

又當t≥σ時,有V(t)≤φ2(B4),所以

再定義

因為

綜上所述,我們有

因此

V(t)≥ψk(φ2(B4))>ψk(φ2(B))>ψk(φ1(B))=φ2(U).

將此不等式積分可得:

(8)

又因為

(9)

且顯然有φ1(B)≤φ2(B4),所以

ψk(φ1(B))≤ψk(φ2(B4))<φ2(B4)-d<φ2(B4).

從而再由φ2(B4)-d≤s≤φ2(B4)及M的定義知, 1/C(s)≤M.結合式(9),我們有

這顯然與式(8)矛盾! 故原假設不成立,從而(7)i成立.

假設對每個1≤i

V(t)≤φ2(B4)-(i+1)d,t≥tmi+1.

(7)i+1

反設存在某個t≥tmi+1,使得:V(t)>φ2(B4)-(i+1)d.定義

ψk(φ2(B4)-id)<φ2(B4)-id-d=φ2(B4)-(i+1)d,

從而

因為

V(t)≥ψk(φ2(B4)-id).

因此,我們有

再由不等式tmi+1≥tm+h,知tmi≤tmi+1-h知

另一方面,由

φ2(|x(t)|)≥V(t)≥ψk(φ2(B4)-id)≥ψk(φ1(B))>ψ(φ1(B))=φ2(U)

將此不等式積分可得

(10)

再由M2與M定義知

矛盾! 故原假設不成立,即(7)i+1成立.

由簡單歸納可知,對?i=1，2，…,N,(7)i都成立.特別地,令i=N,我們有

φ1(|x(t)|)≤V(t)≤φ2(B4)-Nd≤φ1(B),t≥σ+T≥tmN.

所以|x(t)|≤B,t≥σ+T.

綜上所述,當t≥σ+T時,有|x(t)|≤B,即方程(1)-(2)的解一致最終有界.定理證畢.

定理2設存在常數U>0,及φ1,φ2∈K,C∈K1,p∈PC(+,使得:

V(t,x(t))>ψ(V(s,x(s))),α≤s≤t

時,有不等式

V′(t,x(t))≤p(t)C(V(t))

成立.其中對?k,都有ψ(s)≤ψk(s),x(t)=x(t,σ,φ) 是方程(1)-(2)的任意解;

則方程(1)-(2)的解一致有界.

2 應用舉例

例考慮方程

(11)

(12)

其中，τ>0,f∈C(+,+,+)).g(t,u,v)在+×(-∞,0]×上是連續的,且|g(t,u,v)|≤m(u)|v|,對x∈,有|x+I(tk,x)|≤λk|x|,其中λk∈(0,1)(k∈+).

假設存在一個常數L>0,及h>0,使得

(13)

假設存在一個常數μ>0,使得

(14)

則方程(11)-(12)的解一致有界且一致最終有界.

證明首先由(13)—(14)我們可以找到一個常數A>0,使得

對?x(t)=x(t,σ,φ),有

故我們有

V′(t,x(·))≤2x(t)f(t,x(t))+2b(t)|x(t)||x(t-τ)|+

2L|x(t)|2.

記p(t)=2L,C(s)=s.則有V′(t,x(·))≤p(t)C(V(t)).

此外,我們還有

則根據定理2知:方程(11)—(12)的解一致有界.

更進一步,對任意解x(t),若滿足||x(t)||(-∞,t]≤1及

ψk(V(s,x(s)))

則我們有

V′(t,x(·))≤2x(t)f(t,x(t))+2b(t)|x(t)||x(t-τ)|+

且

再由定理1知:方程(11)-(12)的解一致有界且一致最終有界.