一類矩形中厚板彈性模型的Hamilton形式*

喬佳楠,侯國林

(內蒙古大學數學科學學院,呼和浩特 010021)

中厚板是工程中一種重要的力學材料,常用于建筑工程、機械設備和容器制造等[1-2]。1943年Reissner在Timoshenko關于橫向剪切效應的基礎上提出了中厚板理論,又被稱為Reissner理論。此后,許多科學工作者對該理論進行了大量的研究。近些年來,中厚板問題的數值求解方法取得了諸多進展[3-7],雖然解析解比數值解具有更高的精度,但其構造難度較大。經過諸多學者的努力,解析方法的研究取得了長足的進步[8-11]。傳統的解析求解方法大多是在一類變量范圍內進行,設法消去未知函數從而得到高階偏微分方程,再對一類未知函數進行求解,這樣導出的高階偏微分方程無法直接應用分離變量等有效的數學物理方法。為了避免這一情況,鐘萬勰提出了辛體系方法[12-14],該方法不需要預先假定解的形式,只需將彈性方程轉化為合適的Hamilton形式,再對Hamilton算子的特征函數系進行理性求解即可。所以,根據力學問題建立相應的Hamilton形式就顯得尤為重要。

本文從一類矩形中厚板的相關力學問題出發,抽象出一般的模型,利用力與位移的關系以及對控制方程的分析,分別得到了x和y方向模擬時間的Hamilton形式。最后,從能量觀點闡述了Hamilton形式的導出過程。

1 一類中厚板力學問題的彈性模型

通過對中厚板具體力學問題的分析,可以抽象出如下的控制方程模型:

其中q1(x,y)、q2(x,y)、q3(x,y)是施加在板上的載荷,α1、β1、γ為非零常數。

板的內力可以表示為:

把(4)—(8)式帶入(1)—(3)式中,可以得到如下控制系統:

其中α=α1+C,β=β1+C。

基于上述控制系統,可以通過數學推導得到中厚板模型的兩類Hamilton形式,并給出相應的Hamilton算子,這是辛體系方法進一步應用的基礎。

2 x 方向模擬時間的Hamilton形式

由(4)得到

把(5)、(8)代入(2)中,結合(4)得到

由(3)、(7)、(8)和V x得到

將(7)和V x代入(1)中得到

從(6)中可以解得

式(9)—(14)以矩陣形式可重寫為

3 y 方向模擬時間的Hamilton形式

從(5)可以得到

從(6)得到

把(4)、(7)代入(1)中,結合(5)得到

由(3)、(7)、(8)和V y得到

將(8)和V y代入(2)中得到

由式(16)—(21),可得y方向模擬時間的Hamilton形式:

其中算子矩陣H2滿足H*2=JH2J,是一個Hamilton算子矩陣,具有如下形式:

其中

4 總結與討論

對于較為一般的中厚板模型,通過選擇不同的狀態向量,建立了兩個方向的Hamilton形式,得到了兩類Hamilton算子。當模型中α=β=C,γ=q1(x,y)=q2(x,y)=0,q3(x,y)=—q時,該模型包括文獻[15]中討論的中厚板彎曲問題;當α=C+N x,β=C+N y,γ=q1(x,y)=q2(x,y)=q3(x,y)=0,模型包含中厚板的一種屈曲問題[16];若取α=β=C,γ=ρh?2,q1(x,y)=q2(x,y)=0,q3(x,y)=0,模型含有文獻[17]中提到的中厚板的自由振動問題。針對不同的問題,可以采用不同的算子進行后續的計算。

需要指出的是,Hamilton形式的建立也可以從能量的角度進行。不失一般性,僅以x方向模擬時間的Hamilton形式為例進行說明。

選取q=(—M y,—M xy,V y)T,并引入如下的Lagrange密度函數:

經過分部積分和Legendre變換,得到Hamilton函數H的表達式為:

取p=(φy,φx,ω)T,便得到下述Hamilton對偶方程組: