二維八次對稱準晶平面彈性問題的Hamilton混合能變分原理*

周海英,侯國林

(內蒙古大學數學科學學院,呼和浩特 010021)

準晶是一種介于晶體和非晶體之間的固體,具有高硬度、高光滑度、良好的彈性等優越性能,于1984年被Shechtman等發現[1]。之后,Bak和Socolar提出了準晶的彈性理論[2-4],范天佑研究了準晶彈性靜力學的廣義變分原理和有限元方法,并討論了準晶彈性邊值問題解的存在性、唯一性和收斂條件[5]。

鐘萬勰創造性地將Hamilton體系及辛狀態空間理論應用到彈性力學,擴大了分離變量法的適用范圍,開創了彈性力學求解辛體系[6-8]。羅建輝等進一步拓展了辛彈性力學求解方法,推導了薄板和厚板彎曲理論與耦合應力問題之間的變分原理[9-10]。侯國林等利用可分Hamilton系統和相應的斜對角Hamilton算子在扇形區域和Mindlin板彎曲問題中建立了平面彈性問題的變分原理[11-12]。

Qiao等[13]將辛彈性力學求解方法推廣到二維八次對稱準晶的平面彈性問題,這是二維準晶平面彈性問題中最復雜的情況。本文建立了二維八次對稱準晶彈性問題的變分原理。通過構造新的狀態向量,得到了二維八次對稱準晶的可分Hamilton系統和斜對角Hamilton算子。最后,基于斜對角Hamilton算子的結構特點和相應的邊界條件,導出了Hamilton混合能變分原理的完整表達式。

1 二維八次對稱準晶的基本方程和Hamilton體系

二維八次對稱準晶不含體力的平衡方程如下:

由幾何方程和廣義胡克定律可得

其中w x和w y是相子位移,u x和u y是聲子位移,H xx、H xy、H yx、H yy是相子應力,σxx、σxy、σyx、σyy是聲子應力,L和M是聲子彈性常數,K1、K2、K3是相子彈性常數,R1是聲子相子耦合彈性常數。

簡單起見,引入以下記號:

觀察公式(1)—(11),并引入新的狀態向量:

可得到如下可分Hamilton系統:

其中

將狀態向量進行分塊表示為對偶形式:

其中

則公式(12)可以被表示成

2 Hamilton混合能變分原理

將區域Ω的邊界S拆分為S=Sξ+Sφ,其中Sξ表示位移邊界,Sφ表示應力邊界。相應的邊界條件如下:

其中

m和l是方向余弦。

設U*是任意狀態向量,且U滿足式(15)和邊界條件(20)—(21),則

其中

將式(16)—(19)代入(23)可得

設定邊界為直線段,由格林公式得

由公式(22)中的U和U*可以得到

引入變分運算

用公式(22)減去(26),可得

即

對式(27)進行變分的逆運算,可以得到如下Hamilton混合能變分原理

其中

公式(29)含有位移和應力的積分形式的泛函表達式。通過對(29)的變分進行逆運算,可以得到微分方程(15)和邊界條件(20)—(21)。

3 總結

通過構造新的狀態向量,給出了二維八次對稱準晶彈性問題的可分Hamilton系統,可分系統與文獻[13]的Hamilton系統相比,狀態向量的分量有真實的力學含義。觀察導出的斜對角Hamilton算子的結構特點,構造了兩個對偶微分方程,推導了二維八次準晶的Hamilton混合能變分原理。本文的結果充分地利用了哈密頓算子的結構特性,所得結論是Hamilton型的,與文獻[5]中的變分原理等價但不等效,為今后進行Hamilton系統保能量或保辛的有限元計算提供了參考。