復辛空間?2,?4 中的完全Lagrangian子空間的分類*

蘇雅其其格,姚斯琴

(內蒙古大學數學科學學院,呼和浩特 010021)

自伴算子在近代物理學和其他應用科學中有著重要而廣泛的應用,因此自伴算子的共軛性識別與描述問題以及譜理論等成為了數學研究的熱門課題[1-2]。

辛幾何是20世紀70年代發展起來的重要數學分支,它的應用領域非常廣泛,如天體力學、幾何光學、分子物理等。1999年,Everitt和Markus用辛幾何的方法描述了對稱微分算子的自伴擴張,證明了對稱算子的自伴擴張與算子定義域所構造的復辛空間中的完全Lagrangian 子空間一一對應[3-4]。2002年,王萬義和孫炯在文獻[5]中研究了復J-辛幾何在常微分算子上的應用,并且證明了J-對稱微分算子的J-自伴擴張與完全J-Lagrangian子空間之間的一一對應[5-6]。

2013年,姚斯琴、孫炯和Zettl研究了實參數解刻畫(LC 刻畫)與辛幾何的方法刻畫(EM 刻畫)之間的關系,初步用辛幾何的方法研究了微分算子的譜問題[7]。2014年,姚斯琴、孫炯和Zettl研究了對稱算子的耗散擴張問題,同樣通過辛幾何的方法,證明了耗散擴張構成的集合與耗散子空間構成的集合之間的一一對應關系[8-9]。2022年,劉婷和姚斯琴研究了復辛空間中的完全Lagrangian子空間的構造并且給出了子空間是完全Lagrangian子空間的充要條件[10]。

本文在文獻[10]的基礎上,將完全Lagrangian子空間的系數矩陣參數化,進而分別給出了復辛空間?2以及復辛空間?4中的完全Lagrangian子空間的分類。

1 預備知識

為便于讀者理解文章,先給出必要的基本概念和引理。

定義1.1設S是一個復的線性空間,在乘積空間S×S上賦予一個復值函數,

若復值函數[∶]滿足

(1)半雙線性型

對任意的u,v,w∈S,以及c j∈?,j=1,2,3,4;

(2)反埃爾米特型

則稱S是一個預-復辛空間;

(3)非退化的

則稱S是一個復辛空間[11]。

復辛空間上的復值函數[∶]稱為辛形式,也即辛內積。

定義1.2復辛空間S的一個線性子空間L為Lagrangian的,若[L∶L]=0,即

進一步,一個Lagrangian子空間L?S稱為是完全的,如果

定義1.3設S為有限維復辛空間,且維數D≥1,辛形式為[∶],令

稱(p,q)為復辛空間S的正負指數,令

則分別稱Δ和E x為S的Lagrangian指數與超出量將p,q,Δ,E x統稱為S的辛不變量。

定義1.4設S為有限維復辛空間,且維數D≥1,其辛形式為[∶],若S的線性子空間S+和S—滿足

則稱S—和S+在S中辛正交互補,記為S=S—⊕S+。

引理1.1設S為有限維復辛空間,且維數D≥1,其辛形式為[∶],則存在S的一組基使得相應的反-Hermitian矩陣為

S的正負指數為

其中,0≤p,q≤D,所以反-Hermitian矩陣H的對角形式是唯一的。

引理1.2設S為有限維復辛空間,且維數D≥1,其辛形式為[∶],則

(1)S中存在完全的Lagrangian子空間?Ex=0即p=q。

(2)當Ex=0即dimS=D=2Δ時,S的Lagrangian子空間L是完全的?dimL=Δ。

引理1.3設{u1,u2,…,u m,v1,v2,…,v m}為S=?2m中的一組基,滿足

引理1.4設S=?2m為有限維的復辛空間,其辛形式為[∶],辛不變量為(p,q),令

則S=S+⊕S—,[S+∶S—]=0。

在文獻[10]中給出了復辛空間中的子空間為完全Lagrangian子空間的充要條件。

引理1.5復辛空間S=?2m,辛不變量p=q=m,設{u1,u2,…,u m,v1,v2,…,v m}為S中的一組基滿足(1)式,設L=span{w1,w2,…,w m},w k∈S,k=1,2,…,m,w k為Lagrangian元素

則子空間L為復辛空間S中的完全Lagrangian子空間充分必要條件為Ran k(A)=Ran k(B)=m且AA*=BB*,其中A=(akj)m×m,B=(bkj)m×m。

下面在引理1.5的基礎上,探討復辛空間?2,?4中的完全Lagrangian子空間的分類。

2 復辛空間?2 中的完全Lagrangian子空間的分類

定理2.1考慮復辛空間S=?2,辛不變量p=q=1,設{u,v}為S的一組基滿足

定理2.2令定理2.1的記號和假設成立,則復辛空間S=?2中的完全Lagrangian子空間L=span{eiθ1u+eiθ2v}可表示為以下5種形式之一:

因此完全Lagrangian子空間L形如L1。

此時完全Lagrangian子空間L形如L3。

例2考慮如上定義的復辛空間S=?2,完全Lagrangian子空間為L=span{eiθ1u+eiθ2v}。當

因此完全Lagrangian子空間L形如L5。

3 S=?4 中的完全Lagrangian子空間的分類

這一節討論復辛空間S=?4中的完全Lagrangian子空間的分類,而復辛空間S=?4中的完全Lagrangian子空間的分類是比較復雜的。

考慮復辛空間S=?4,設辛不變量p=q=2,設{u1,u2,v1,v2}為S中的一組基滿足

其他辛內積都為零。

引理3.1設L=span{w1,w2}為S=?4的子空間,其中

則L=span{w1,w2}為完全Lagrangian子空間當且僅當Ran k(A)=Ran k(B)=2且AA*=BB*,其中A=(a kj)2×2,B=(bkj)2×2。記C=AA*=BB*,

證明由引理1.5 可知L=span{w1,w2}為完全Lagrangian 子空間當且僅當Ran k(A)=Ran k(B)=2且AA*=BB*。下面證明(2)式,由AA*=BB*可知,矩陣A,B地位均等,只需對矩陣A證明即可。已知矩陣A=(a kj)2×2,則C*=(AA*)*=(A*)*A*=AA*=C,因此矩陣C是2階Her mitian矩陣。

設a kj=r kje iθkj,其中rkj≥0,θkj∈[0,2π),k,j=1,2,則

則矩陣C的對角線上的元素都大于零,又由C是Hermitian矩陣,于是矩陣C形如

下面,我們從矩陣C的不同形式入手,探討完全Lagrangian子空間L的系數矩陣A,B的形式并給出完全Lagrangian子空間L的分類。為研究方便,進一步將矩陣C記為

其中0≤r≤1,θkj∈[0,2π),k,j=1,2且θ11—θ12—θ21+θ22=2nπ+π,n∈?。

特別地,當r=1,r=0時,矩陣分別為

由Euler公式可知,公式(5)的實部和虛部分別寫成如下式子

上式代入到公式(7)得

兩邊同時平方,經整理得到

(9)、(10)兩式平方相加可得

由和差化積公式得

其中θ11—θ12—θ21+θ22=2nπ+π,n∈?,0≤r≤1,θkj∈[0,2π),k,j=1,2。

特別地,當r=1時,矩陣為

當r=0時,矩陣分別為

接著討論一般的完全Lagrangian子空間L與完全Lagrangian子空間￡1,￡2的關系。

定理3.4令定理2.1的記號和假設成立,系數矩陣取

證明 證明完全Lagrangian子空間L=span{w1,w2}可用￡1=span{?w1,?w2}線性表示當且僅當證明￡的基向量組w1,w2與￡1的基向量組?w1,?w2等價,即證明

當r=s時,完全Lagrangian子空間￡為

令￡的基向量組分別為

對完全Lagrangian子空間￡1作變換得到

令￡1 的基向量組分別為

構造矩陣

對矩陣作初等行變換得到

同理可證第二種情況。

再由定理3.1可知,完全Lagrangian子空間￡的系數矩陣不一定都滿足條件(1),(2),則當系數矩陣A,B不滿足(1),(2)中的條件,￡記為￡3。

注 由定理可知,完全Lagrangian子空間￡滿足條件(1)則可由￡1線性表示。而￡的系數矩陣A,B并不只是對角矩陣形式。對于條件(2)也有同樣的結論。

例3 考慮如上定義的復辛空間S=?4,完全Lagrangian子空間為

對矩陣A作初等變換得到

由Euler公式上式實部和虛部可以展開為如下式子

當r11=0時,得到r12=1,代入到(14)、(15)兩式得到

又從(13)式可知r22＞0,則cos(θ12—θ22)=0,sin(θ12—θ22)=1,于是得到

此時得到定理中的A1。

又從(11)式可知r22＞0,則cos(θ12—θ22)=0,sin(θ12—θ22)=1,于是代入到(16),(17)式得到

此時得到定理中的A3。分別令r12,r22為0時,同理可證定理中的矩陣A2,A4。

定理3.6令定理2.1的記號和假設成立。當AA*=BB*=時,復辛空間中相應的完全Lagrangian子空間都能用￡1,￡2,￡3線性表示。

證明 根據定理3.5可知,當AA*=BB*=時,系數矩陣分解形式并不唯一,因此復辛空間中相應的完全Lagrangian子空間也不同,所以只證以下2種完全Lagrangian子空間:系數矩陣分別取A1和A2形式,系數矩陣分別取A1和A3形式。

設系數矩陣

復辛空間中的完全Lagrangian子空間為

則完全Lagrangian子空間L可用￡2=span{u2+ei(ρ21—θ22)v1,u1+ei(ρ22—θ21)v2}線性表示。

設系數矩陣為

復辛空間中的完全Lagrangian子空間為

設完全Lagrangian子空間

設完全Lagrangian子空間￡3 的基向量組為

設完全Lagrangian子空間L的基向量組為

構造矩陣(w1,w2,?w1,?w2)

作初等行變換得到

則Rank(w1,w2)=Ran k(?w1,?w2)=Ran k(w1,w2,?w1,?w2)=2,于是完全Lagrangian子空間可由￡3線性表示。

例4 考慮如上定義的復辛空間S=?4,設系數L矩陣

則復辛空間中的完全Lagrangian子空間為

可用復辛空間中的完全Lagrangian子空間￡2=span{u1+v2,u2+iv1}線性表示。根據定理3.4可以進一步分類為L7。

例5 考慮如上定義的復辛空間S=?4,設系數矩陣

則復辛空間中的完全Lagrangian子空間為

可用完全Lagrangian子空間

線性表示。