2×2分塊算子矩陣本質數值半徑上下界估計*

劉 熠,吳德玉

(內蒙古大學數學科學學院,呼和浩特 010021)

無窮維的Hilbert空間X中的有界線性算子T是緊算子的充要條件是:當時,有→0(n→∞)。因此容易驗證在無窮維復可分Hilbert空間X中,有界線性算子T是緊算子當且僅當對X中的任意正交基{en}有

但對于一些非緊的算子,例如右移算子Sr也可能存在正交基{en}∞n=1滿足(1)式。因此,學者們開始研究有界線性算子滿足什么條件時會存在正交基{en}使得(1)式成立。為了回答上述問題,Stampfli[1]首先引入本質數值域的概念。此后,Fillmore[2]給出了本質數值域的等價描述,進而確定了本質數值域新的性質。又因為本質數值半徑是刻畫本質數值域的有力工具,所以文獻[3]對本質數值半徑進行了研究。

Hilbert空間X中有界線性算子數值半徑在雙曲型初值問題的有限差分近似解的穩定理論領域具有重要應用。文獻[4-6]中給出了一般有界算子數值半徑的不等式。值得注意的是,越來越多的學者開始關注分塊算子矩陣,它廣泛出現于系統理論、非線性分析、發展方程問題、偏微分方程求解問題以及彈性力學等領域[7-9]。鑒于此,本文將Hirzallah[10]關于2×2分塊算子矩陣數值半徑的結論推廣到本質數值半徑上,給出了兩類特殊的2×2分塊算子矩陣本質數值半徑的上下界估計式。

1 預備知識

在本文中,X表示無窮維的Hilbert空間,B(X)表示Hilbert空間X中的全體有界線性算子,而K(X)表示Hilbert空間X中的全體緊算子。W(T)、ω(T)分別表示數值域和數值半徑,W e(T)、ωe(T)分別表示本質數值域和本質數值半徑,則分別表示范數與本質范數。下面給出將要用到的定義。

定義1[11]設T∈B(X),其數值域W(T),數值半徑ω(T)分別定義為

定義2[1]設T∈B(X),其本質數值域W e(T),本質數值半徑ωe(T)分別定義為

2 主要結論及證明

下面將給出2×2斜對角分塊算子矩陣本質數值半徑的上下界估計式。

定理1令B,C∈B(X),則

將C替換為—C,并利用引理4,則有

成立。因此有

然后互換上式中B與C的位置,再由引理4

則有

定理2 令B,C∈B(X),則

證明 由引理1、引理2、性質1與等式

其中a,b∈R,有

因此

成立。

定理3 令B,C∈B(X),則

成立,則根據引理4、引理6與性質1有

再由引理1可得

在上式中,將C替換為—C,并利用引理4,則有

即得

然后互換上式中B與C的位置,再由引理4即得

因此

又因

由引理4與性質1有

再由引理1與引理6可得

將C替換為—C,則有

即

然后互換上式中B與C的位置,則有

因此

下面給出一類特殊的2×2分塊算子矩陣本質數值半徑的上下界估計式。

證明 先證(ⅰ)。由于

則由引理3有

并且

與

成立。因此由式(2)、(3)、引理4與引理9有

因此(ⅰ)得證。

因此由性質2與引理4可得

再由引理1有

因此(ⅱ)得證。