以大概念為引領 同構迭代推動探究
——以《直線與平面垂直的定義、判定》為例

李平香

（1.三明市第二中學，福建 三明 365000；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350001）

涂榮豹教授指出：所謂“探究”，顧名思義就是要“探”要“究”.何為“探”？試探、摸索、探索，不知前方深淺曲折，摸索前進，“摸著石頭過河”；何為“究”？深究、追究、窮究，非得弄個明白，搞個水落石出不可，不達目的誓不罷休.［1］“探究”要如何“探”才能預知前方深淺曲折呢？摸著哪些“石頭”才能順利“過河”呢？要“究”什么才能“水落石出”“達到目的”呢？章建躍博士指出：“大概念”對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等都具有“指路明燈”的作用.所謂大概念（big idea）就是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論［2］.

這一輪課改的顯著特征是“強調數學的整體性，以具有整體性的知識單元為載體，從知識的聯系性出發進行‘單元—課時’教學設計與開展課堂教學”.［3］“單—課時”整體教學的難點在于如何將核心素養落實到教學中，以“什么”作為統領單元整體教學的具體目標.于是，理論界和實踐界都將目光聚焦到大概念，但是，如何把大概念引領下的“單元—課時”教學等“理想課程”“理想觀點”落實在“課時”的課堂教學中，這需要一線教師努力提升專業發展水平，提升教學設計能力，增強課堂實踐能力，通過大概念揭示教學內容之間的關系，把基于數學整體性的“單元—課時”教學進行積極實踐，不斷提供有參考價值的實踐課例.本文以《直線與平面垂直的定義、判定》為例，談談用大概念引領的數學探究的教學.

一、創設情境明確研究對象，進行“單元整體”的探究

問題1：你能從圖1、圖2 中交警執勤的場景、姿勢、動作等現場情境中抽象出直線與平面的位置關系嗎？

圖1

圖2

追問1：你能在教室內找到直線與平面相交的實例嗎？

追問2：直線與平面的相交方式有幾種？

【設計意圖】讓學生在交警執勤的場景、姿勢、動作的現實情境中，抽象出直線與平面的位置關系，用生活實例直觀地認識直線與平面相交的兩種方式：垂直交與斜交，獲取研究對象，明確“為什么學”.

問題2：“直線與平面垂直”與上一節學習的“直線與平面平行”都是研究兩類不同維數空間基本圖形的位置關系，根據研究對象的這一共同特點，類比“直線與平面平行”，你認為要具體研究“直線與平面垂直”的哪些內容？按怎樣的過程展開研究？采取什么研究方法？

【師生活動】讓學生回顧總結直線與平面平行關系的研究內容、研究方法，教師幫助完善.研究內容是直線與平面垂直的定義、判定、性質等；研究過程是沿著“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認知展開；研究方法是“把空間問題轉化為平面問題”即“平面化”，這也是學習立體幾何問題的基本方法.

【設計意圖】根據“直線與平面垂直”是研究兩類不同維數空間基本圖形的位置關系這一特征，找到與其具有類似結構的“直線與平面平行”一課進行關聯思考和整體設計，明確具體要研究“直線與平面垂直”的定義、判定與性質等內容，設計研究思路，尋找研究方法，讓學生進一步明確“學什么”“怎么學”，整體規劃直線與平面垂直的學習與探究活動.

二、揭示現實生活現象本質，實現“從無到有”的探究

問題3：研究一類數學對象，定義是出發點.那么，該如何對“直線與平面垂直”下定義呢？

追問1：你還能舉出生活中直線與平面相交的例子嗎？日常生活中，人們是如何刻畫直線與平面斜交與垂直交呢？

【師生活動】學生說出了一些實例后，教師展示圖3、圖4，意在提示學生日常生活中對直線與平面斜交與垂直交的具體刻畫.如圖3，比薩斜塔是“斜”的，即斜塔向地面的某一面傾斜；如圖4，旗桿是“直”的，即“旗桿沒有向地面的任何一面傾斜”.進而提煉：生活中對直線與平面斜交的刻畫是直線向平面的某一面傾斜，或直線歪向平面的某一面；生活中對直線與平面垂直交的刻畫是“不斜”“不歪”，即直線不向平面的任何一面傾斜，或者說直線不歪向平面的任何一面.事實上，一條直線不向平面的任何一面傾斜，則直線與平面垂直，這也是18 世紀法國數學家克萊羅在《幾何基礎》中對直線與平面垂直的定義.

圖3

圖4

追問2：“直線與平面垂直”“直線與平面平行”都是研究兩類不同維數空間基本圖形的特殊位置關系.請回顧“直線與平面平行”的定義，定義中蘊藏的思維方法、思想方法是什么？

【師生活動】學生回顧，教師補充并用課件展示，尤其注意挖掘內隱的思想方法：“降維”“平面化”.

追問3：如圖4，如何“數學地”刻畫旗桿的“直”呢？

【師生活動】讓學生觀察陽光下直立于地面的旗桿（圖4），隨著時間的變化，旗桿影子所在的直線也在不斷地變化，但旗桿所在直線與其影子所在直線形成的位置關系中出現確定的垂直關系.進而，提出猜想：“若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于該平面內與這條直線相交的所有直線”.然后，設計試驗進行操作確認.

問題4：如圖6，在手機手電筒移動光源的照射下，觀察直立于桌面的不透明圓柱體水杯AB及它在桌面的影子BC.隨著光源的移動變化，影子BC的位置也在不斷地變化，觀察并檢驗水杯所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？

圖6

【師生活動】請同學甲用手機手電筒光源照射水杯，同學乙拿著白板筆與直尺畫出水杯在桌面上的影子所在的直線，同學丙用直角尺驗證垂直.隨著光源的移動變化，影子BC的位置也在不斷地變化，水杯所在直線AB與其影子BC所在直線總保持垂直.這樣就確認了：“若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于該平面內與這條直線相交的所有直線.”

追問：我們知道數學定義是充要條件.接下來，同學們要驗證什么？又該如何操作確認呢？

【師生活動】根據充要條件的雙向性，學生知道要驗證：“若一條直線垂直于平面內與這條直線相交的所有直線，則這條直線垂直于該平面.”依據生活經驗“點動成線，線動成面”，教師拿著直角三角板，并將其繞一條直角邊旋轉，用動作演示并滲透研究“某種位置關系性質”的思想方法，就是探索在這種位置關系下的幾何圖形組成元素之間以及與其他同類幾何圖形所形成的位置關系中出現的確定關系（不變性）.具體方法是讓“其他幾何圖形”動起來，看“變化中的不變性”.

問題5：如圖7，將PA 繞直角邊PO旋轉的過程中，什么位置關系沒有發生改變？圓錐的軸與底面垂直嗎？

圖7

【師生活動】讓學生先用直角三角板操作確認，教師再用課件動畫演示，觀察得到結論：在旋轉過程中，直角三角形的兩條直角邊PO，OA的垂直關系始終沒有改變，又圓錐的軸與底面垂直.這樣就確認了：“若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.”

追問1：你能嘗試給直線與平面垂直下定義嗎？

【師生活動】通過上面的操作確認，學生能抽象概括直線與平面垂直的定義：“若一條直線垂直于平面上與該直線相交的所有直線，則該直線與平面垂直.”事實上，這也是歐幾里得《幾何原本》中線面垂直的定義.學生進一步會想到：對于平面上不過點B的任意一條直線也與該直線垂直嗎？答案是肯定的，因為對于平面上不過點B的任意一條直線B′C′，總能在平面上找到過點B的一條直線與之平行（圖8），再根據異面直線垂直的定義可知AB⊥B′C′.因此，AB垂直于平面內的任意一條直線.進而，完善直線與平面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內的任何一條直線，則直線垂直于平面.

圖8

追問2：如何畫圖表示直線與平面垂直？又如何用符號表示？

【師生活動】學生自由發言，并相互補充，教師在關鍵點處進行點評.

追問3：請回顧總結直線與平面垂直定義的探究過程.

【師生活動】學生回顧，教師補充并用流程圖展示外顯的探究歷程、內隱的思維、思想、方法.

【設計意圖】用“比薩斜塔”的“斜”襯托“旗桿”的“直”，用“斜”的對立面——“不斜”“不歪”來刻畫直；用“降維”“平面化”，以及讓組成平面的基本元素——直線“動”起來，觀察“變化中的不變性”等數學的方式方法研究“直”，經歷“從無到有”的探究；濃縮直線與平面垂直定義發展的歷史過程，像專家一樣地思考，讓學生了解如何定義基本圖形的位置關系？定義一種位置關系要完成哪幾件事情.［1］

三、構建判定定理的發現模式，呈現“從有到有”的探究

問題6：用定義來判定直線與平面垂直方便嗎？“判定”要研究的問題是什么？發現判定定理的思想方法是什么？

【師生活動】學生容易感知：用定義可以判斷，但很難驗證一條直線與一個平面內的所有直線都垂直.那么，尋找能判定直線與平面垂直的“更好用”“更簡便”的方法就很有必要.教師再引導學生分析：“判定”要研究的問題是尋找使直線與平面垂直成立的充分條件，發現判定定理的思想方法是從定義出發探究使“直線與平面垂直”所需要的“最少條件”.

追問1：請觀察實物模型：教室內相鄰墻面的柱子與地面的關系（圖10）；翻開一本書立在桌面，書脊AB與桌面的關系（圖11）；直立的落地衣架桿與地面的關系（圖12）.從這些實物模型中直觀感知，猜想要滿足“什么條件”，才能使直線與平面垂直.

圖10

圖11

圖12

【師生活動】學生從實物直觀得到充分感知，自然會提出猜想：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于平面.

追問2：如何設計試驗進行操作確認呢？請同學們用桌面上準備好的3 張全等的硬卡紙三角形紙片ABC折紙確認.過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起來放置在桌面上（BD,BC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？（3）與桌面垂直的折痕AD能折出幾條？你能合理解釋嗎？

【師生活動】讓學生帶著問題動手折紙確認，獨立思考后，再進行自由發言.得出結論：折痕AD不一定與桌面垂直（圖15）；當且僅當沿著底邊BC的高線折起，才能使折痕AD與桌面垂直，而且與桌面垂直的折痕AD有且只能折一條（圖16）；因為在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（圖14），通過折紙試驗，還操作確認了這一結論可以推廣到空間，即過一點垂直與已知平面的直線有且只有一條.教師進一步引導學生定義垂線段、點到平面的距離（圖17）.

圖17

追問3：通過上述操作確認，你能得出直線與平面垂直的判定方法嗎？聯系基本事實中確定一個平面的方法，你能給自己得出的判定方法一個合理的解釋嗎？

【師生活動】學生獨立思考，歸納判定方法，即“一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，那么直線與該平面垂直”，再聯想到基本事實的推論2，平面α可以看成是由兩條相交直線DB,DC所唯一確定的平面.所以，當直線AD垂直與這兩條相交直線時，就能保證直線AD與平面α內所有直線都垂直.學生自然也會想到：兩條相交直線可以確定一個平面，兩條平行線也可以確定一個平面，繼續追問.

追問4：能把“兩條相交直線”改為“兩條平行線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數條直線”呢？

【師生活動】請學生用直角三角板進行實物直觀演示（如圖18、圖19），采用“反例證偽法”很快能判斷改為“兩條平行線”“無數條直線”都不行.教師再引導學生從向量的角度進行解釋，因為“兩條相交直線確定一個平面”與“平面內兩個不共線向量構成一個基底”是等效的.如圖16，平面α可以看成是直線DB,DC確定的平面，因為不共線，平面α也可以看成滿足的點P的集合；而當兩條直線平行時，這兩條直線的方向向量也平行，兩個平行向量不能構成基底，因為位置關系歸根到底是“方向的關系”，平行線的方向一致，所以，平行關系具有傳遞性，與方向相關的問題中，平行線與一條直線等效［4］.因此，只增加直線的“數量”不行，關鍵要增加“方向”.

圖18

圖19

追問5：請用文字、圖形、符號三種語言表示直線與平面垂直的判定定理.

【師生活動】學生自由發言，教師補充并提煉注意點.

【設計意圖】讓學生感知研究“判定”的必要性，明確“判定”要研究的問題是尋找使直線與平面垂直的充分條件，發現判定定理的思想方法是從定義出發探究垂直關系所需要的“最少條件”，引導學生“回到定義去”，在“定義”的基礎上，去掉“冗余條件”，探究直線與平面垂直所需要的“最少條件”.讓學生“往回找根”“回到原始而不失重要的地方去”“回到基本事實去”［4］，對直線與平面垂直的判定進行“從有到有”的探究，經歷“化繁為簡”“以簡馭繁”的研究問題的一般思路.

四、鼓勵學生動手實踐求證，引導“從有到富有”的探究

問題7：如圖21，如何驗證門軸與地面垂直？與門軸平行的另一條邊與地面垂直嗎？由此，你可以得出什么猜想？請證明你的猜想.

圖21

【師生活動】讓學生想到通過轉動門即可根據線面垂直的判定定理證明門軸與地面垂直.進而，引導學生思考：既然門軸與地面垂直，那么，與門軸平行的另一條門的邊框所在的直線也與地面垂直，從而提出猜想：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

證明：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

【師生活動】請學生先畫出圖形（如圖22），再用符號語言表示已知、求證，引導學生尋找證明思路要“由已知想性質，由求證想判定”，溝通已知的條件和求證的結論，本題可以用判定定理證明（如圖23），也可以用定義證明（如圖24），再請學生規范書寫解題過程.

圖22

圖23

圖24

學生提問：如圖21，注意到兩邊的門框所在直線與地面都垂直，兩邊的門框又互相平行.所以，提出猜想：垂直與同一平面的兩條直線平行.

【師生活動】引導學生先分析上面猜想的研究起點是以a⊥α,b⊥α為大前提，研究目標是直線a,b具有怎樣確定的位置關系，這是研究直線與平面垂直的性質問題，也是下一節要學習的內容.教學中要讓學生明確什么是性質？什么是判定？什么是數學定義？以直線與平面垂直位置關系為例，判定要研究的問題是：探究已知的直線以及與平面有關的直線、平面要具備什么樣的位置關系時，該直線才與平面垂直；其性質要研究的問題是：探究在已知直線與平面垂直的情況下，與之有關的直線和平面具有什么樣確定的位置關系；定義是界定一類對象的共同特征，這些特征是這類對象的最基本性質.［5］

【設計意圖】讓學生準確分析已知求證、精確作圖、規范表達，體會空間平行與垂直之間的內在聯系以及相互轉化，經歷“從有到富有”的探究活動，“富有”不僅僅是“數量”的豐富，還指“研究視角”的豐富.平行與垂直是整個定量幾何的基礎所在，所以，不論是研究平行還是垂直，都要既從平行又從垂直的視角進行研究.同時，《普通高中數學課程標準（2017 版2020 年修訂）》第一次對理解三種條件與性質、判定和數學定義之間的關系提出了具體的教學要求.盡管學生在平面幾何的學習中學過許多數學定義、判定、性質，但學生對數學定義、判定、性質到底要研究什么還是“不甚了了”，始終“朦朦朧朧”；通過上一節“空間直線、平面的平行”這一單元學習，學生已經對數學定義、判定、性質與三種條件的關系“似有所悟”.這里，再直觀、明確地呈現并加以對比，能幫助學生從“似有所悟”開始走向“明朗清晰”.

本節課對直線與平面垂直的定義與判定的教學經歷了“獲取對象，整體探究”“從無到有”“從有到有”“從有到富有”等探究活動.在“抽象數學對象-探索數學性質—構建知識體系”等大概念的引領下，先從現實場景中獲取研究對象，再根據研究對象的特征（兩類不同維數空間基本圖形的特殊位置關系），規劃研究內容、尋找研究方法、設計研究思路，進行單元整體探究，讓學生明白“為什么學”“學什么”“怎么學”，構建先行組織者，形成“導游圖”，確保在課時探究中能始終保持正確的學習路徑和明確的學習方向；在“幾何元素之間的確定關系就是性質”等一般觀念的引領下，根據研究“某種位置關系性質”的思想方法，就是讓組成平面的基本元素——直線“動”起來，觀察“變化中的不變性”，引導學生用數學的眼光觀察“直”，用數學的思維分析“直”，用數學的語言表達“直”，經歷“現象描述—本質刻畫—精致完善”的抽象概括定義的過程，對定義進行“從無到有”的探究；在“判定就是從定義出發探究垂直關系所需要的‘最少條件’”等一般觀念的引領下，讓學生“回到定義去”，“化繁為簡”“以簡馭繁”，在“定義”的基礎上，去掉“冗余條件”，“往回找根”“回到原始而不失重要的地方去”“回到基本事實去”［4］，對判定進行“從有到有”的探究；在“判定是什么、性質是什么、定義是什么”等一般觀念的引領下，讓學生體會空間平行與垂直之間的內在聯系以及相互轉化，對平行與垂直的關系進行“從有到富有”的探究，“富有”不僅僅是“數量”的豐富，還指“研究視角”的豐富.另一方面，在大概念的引領下，本節課的探究活動都沿著“直觀感知—操作確認—思辨論證”的認知過程展開，在連續地、一脈相承地、同構迭代的探究活動中，讓學生有了“發現事物的眼光”“洞察本質的智慧”“析解問題的方法”，能自覺地運用“大概念”指導數學學習與探究活動，實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.［6］