新評價視角下三角專題高考測評探析

張 潔 林晴嵐

（福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

三角函數與解三角形作為新高考評價必備內容之一，三角函數單元內容作為高中數學函數主線重要基礎性的內容之一，解三角形是高中數學幾何與代數主線的基礎性內容之一.在高考試題中以“一大一小”的考查形式呈現，小題評價形式內容變化大，一般主要考查三角函數定義與同角三角函數的基本關系，或是三角函數圖像與性質，或是利用三角恒等變換求值等內容；（大題）解答題一般以三角形或四邊形為背景，考查利用正、余弦定理解三角形的形式呈現.高考數學既關注考生對三角函數單元的基本概念、基本公式、基本思想方法的理解與應用水平考查；又關注考生在解三角形問題時，是否具備綜合應用正、余弦定理聯系三角函數有關公式解決實際問題能力.加強對考生合理的數學知識結構、扎實的數學基礎、靈活運用數學思想和方法有效解決問題綜合能力和健全向上的人格素養進行全面考查.

一、三角專題的課程學習內容與學業質量要求

（一）課程學習內容要求

1.三角函數

三角函數單元課程內容有五個小節：第一小節是角與弧度.以初中學習的銳角三角函數為基礎，通過單位圓將銳角擴充到任意角，引入弧度制，實現任意角的實數表達目標，為研究三角函數打下良好基礎.第二小節是三角函數概念、圖象與性質.通過平面直角坐標系以坐標原點為任意角的頂點，定義三角函數，探索三角函數的圖像及其性質（如周期性、奇偶性、單調性和最值等）；利用三角函數的定義和單位圓的對稱性畫出三角函數在[0,2π]上的圖象，推導出三角的一系列誘導公式；借助對y=Asin(ωx+φ)圖像觀察，從三角函數圖像中感受參數的變化對圖像的影響，更直觀理解ω、φ、A的意義.第三小節是同角三角函數關系式，從三角函數的定義中，觀察同一角的正弦、余弦、正切的值，發現它們之間的關系，理解sin2x+cox2x=1,=tanx兩個基本關系式.第四小節是三角恒等變換，利用向量研究兩角差的余弦公式作為基礎，展開對正弦的兩角和與差公式，余弦的兩角和公式研究，進而研究正切的兩角和與差公式，以及正弦、余弦、正切的二倍角公式，并在此基礎上進一步研究了積化和差公式、和差化積公式、半角公式，促進理解三角函數之間關系；為解決三角有關問題提供了多樣工具.第五小節是三角函數的應用，掌握利用三角函數構建刻畫實際問題中所描述事物變化規律的周期性特征，會解決簡單的三角函數應用問題.［1］

2.解三角形

解三角形小節內容是借助平面向量這一運算工具研究任意三角形的邊與角關系，推導出了正弦定理和余弦定理，［1］感受向量運算與實數運算的差異，體會了向量在解決數學與現實問題中的作用，掌握運用正弦定理與余弦定理解決三角形問題的基本方式.

（二）學業質量要求

三角專題學業要求是：提升數學抽象、數學運算、邏輯推理、直觀想象和數學模型素養.［1］

1.三角函數

能夠從實數集合之間的對應關系，認識與理解三角函數的概念和性質，以幾何直觀等不同角度，研究三角函數圖象和性質，會選擇適當的三角函數構建數學模型，解決相關實際問題.［1］

2.解三角形

會利用向量運算構建幾何直觀與代數運算之間聯系，增強對正弦定理與余弦定理的理解和應用.

二、三角專題高考考什么與怎么考

通過對新高考中三角專題內容的試題進行整理分析，更好地了解新高考數學是如何借助載體——試題，來承載考查三角專題內容與評價考生的數學素養水平.

全國高考數學試題命制時選擇三角專題相關重點內容作為“選拔人才”必備的基礎性、綜合性、應用性的數學內容，并根據新時代“選拔人才”的要求設置相關問題.三角專題的考查主要有兩部分：一是以三角函數概念、性質與圖象為主要內容，構建數學問題模型；二是以正弦定理、余弦定理的應用為主要內容，結合同角三角函數的基本關系式、三角恒等變換等相關數學公式，設置數學問題；重點考查考生解決問題時呈現的數學思維品質與數學語言表達，評價考生的數學素養水平層次.［2］

（一）三角函數單元

1.三角函數專題高考考查要求

y=Asin(ωx+φ)圖象和性質是考查重點的試題之一，一方面考查考生對三角函數中y=Asin(ωx+φ)的周期性、最值、關鍵點等“特色”理解與應用；另一方面考查考生在已知y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的條件中，求元素A,ω,b這類問題的常規思路運用水平.通常解決問題的方法有：①代入法：將圖象上的一個已知點代入（此時A,ω,b已知）或代入曲線與直線y=b的交點求解（此時要注意交點在上升區間上還是在下降區間上）.②三角函數的五點法：確定φ值時，常需要以尋找“五點法”中的第一個關鍵點為突破口.具體方法如下：“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）時，(ωx+φ)=0；“第二點”（即圖象的“峰點”）時，(ωx+φ)=；“第三點”（即圖象下降時與x 軸的交點）時，(ωx+φ)=π；“第四點”（即圖象的“谷點”）時，(ωx+φ)=；“第五點”時，(ωx+φ)=2π.解決具體的三角函數問題.③從已知圖象中觀察，得到y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最大值M和最小值m，求元素A,b.即.④觀察已知圖象，結合數學運算求得y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 與y=Acos(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的最小正周期T，再根據公式ω=求元素ω.⑤從兩種不同變換方式，分析三角函數y=sinx的圖象變換到y=Asin(ωx+φ)圖象（如表1），會求元素φ.

表1

2.2020-2022 年三角函數單元部分高考試題與考向

（1）（2020 年新高考I 山東卷第10 題），由已知三角函數y=Asin(ωx+φ)的部分圖像（圖1），考查考生通過觀察已知三角函數圖象的關鍵點，結合y=sinx的關鍵點和周期規律特征，尋找該三角函數的周期和初相，以此求得sin(ωx+φ)的表達式.

圖1

（2020 年全國I 卷第7 題）在已知三角函數f(x)=cos(ωx+)在[-π,π]的圖像大致如圖2 的情況下，考查考生通過觀察已知三角函數圖象的關鍵點，結合三角函數f(x)=cosx的關鍵點和周期規律特征，尋找ω（值，以此求得f(x)=cos(ωx+) 的最小正周期；

圖2

（2）（2021 年全國甲卷理第16 題），已知函 數f(x+2 cos(ωx+φ)的部分圖像（圖3），考查考生通過觀察三角函數圖象的最小周期、關鍵點，尋找滿足不等式(f(x) -f(-))(f(x) -＞0 成立的最小正整數x值.

圖3

以上高考試題要求考生會結合正弦曲線、余弦曲線，綜合運用三角公式，利用整體代換結合三角計算去分析問題、解決問題.2022 年新高考I 卷從新的視角考查三角函數y=sin(ωx+φ)圖像與性質問題，呈現出了對數學運算與邏輯推理素養水平的新要求趨勢.總體評價的要求是數學運算素養水平二、直觀想象水平一與邏輯推理水平一層次.［2］

（二）解三角形

1.解三角形的高考考查要求

2.2020-2022 年解三角形部分高考試題與考向

（1）（2020 年全國I 卷文科卷第18 題）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.（1）若a=，求△ABC的面積；

第一問考查考生由余弦定理建立c的方程，求解得出a,c，利用面積公式求得S△ABC；（2）若sinA+，求c.本題第二問考查考生運用三角恒等變換解三角形，合理選擇與運用公式是解此問的關鍵.

（2020 年 全國2 卷第17 題）△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

（2020 年新高考I 卷（山東卷）由已知①ac=②csinA=3，③c=這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求C的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在△ABC，它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA=，________?這樣的開放問題是新高考的新問題呈現方式，要求考生選擇一條件完善問題，再根據解三角形的常用方法，如，選擇條件①時，可利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，再由余弦定理得到c的長度；選擇條件②時，利用誘導公式和兩角和的三角函數公式求得tanA的值，得到內角A,B,C的值解決該問題.

（2）（2021 年全國新高考I 卷第19 題）記△ABC，它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.（1）證明：BD=b；考查考生合理運用正弦定理和已知條件以角化邊，進行邏輯推理來證此問；（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC，考查考生運用余弦定理來解此問的數學運算素養.

（3）（2022 年新高考I 卷第18 題）記△ABC，它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知（1）若C=，求B；考查考生靈活利用三角恒等變換和三角形的內角和定理，合理將已知條件轉化成與角B 聯系的關系等式，求得角B；（2）求的最小值.查考生靈活利用三角恒等變換和三角形的內角和定理，在（1）問的一中間關系式，合理將已知條件轉化成同一量的關系，再結合基本不等式構造不等關系，以求得問題解決，此題要求考生的數學運算素養與邏輯推理素養水平都是二級層次.

（2022 年高考乙卷第17 題）記△ABC的內角A,B,C對邊分別為a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).（1）證明：2a2=b2+c2；考查考生合理運用正弦定理和已知條件，以角化邊進行邏輯推理來證明；（2）若a=5,cosA=，求△ABC的周長.考查考生運用余弦定理來解此問的數學運算素養.

（2022 年新高考Ⅱ卷）△ABC的內角A,B,C對邊分別為a,b,c，分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=,sinB=求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=求b.考查考生合理運用三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理和已知條件，以角化邊進行邏輯推理來解此問，此類問題總體趨勢是評價考生數學運算素養與邏輯推理素養水平二的層次要求。

三、評價啟示

三角專題的高考試題以考查考生解決三角函數、解三角形與代數運算的融合問題時，所呈現出的素養水平層次，試題每年從不同視角和不同要求提出新問題，但都是圍繞考查三角專題的基礎內容、基本性質、解決問題的基本思維方式和基本數學運算.考生在理解和掌握三角專題問題解決思路和方法上仍有一定難度，需要教師通過課堂教學：一方面對課程標準中三角專題學習內容和學業質量評價的要求進行細化解讀，幫助考生借助單元圓的直觀，學習三角專題內容，理解三角函數、解三角形等具體內容的內涵，領悟其中的數學原理和思想方法，掌握三角專題內容作為高考數學“基礎性”與必備知識的評價原則；另一方面，通過研究近幾年全國高考三角專題試題，追本溯源，尋找試題與教材中的例、習題間聯系與演化源，提升對這些典型題的理解層次，探析高考三角專題考查內容與評價新變化趨勢.［3］