小學數學線上幾何作圖教學實踐探索
——以“用多功能尺作圖”為例

馬 婭

上海市徐匯區康健外國語實驗小學 上海 200233

一、引言

我國教育數字化轉型順應社會數字化轉型和世界教育發展趨勢，伴隨“停課不停學”和大規模在線教育的實施而逐步發展為國家戰略［1］。在線同步教學讓師生在空間分離的情況下實現實時的教與學，建立現場參與感，可實現接近課堂教學的及時交互［2］。

得益于“空中課堂”經驗和教育數字化轉型的推進，上海中小學在線教育的網絡環境更加優化，平臺體驗更加友好，區校方案更加完備［3］。因此，在進行線上教學時，筆者能夠更加從容熟練地操作在線教學平臺，并基本掌握了平臺用于進行線上教學的主要功能。通過實踐，學生也基本能夠在線上課堂中發言和進行互動。

然而，針對一些特殊課型，教師在實際教學中仍然面臨諸多問題和挑戰。具體而言，幾何作圖教學注重實踐操作，在線教學平臺如何滿足這種需求，教師如何有效地引導學生進行在線互動和實踐操作，以及如何評估學生的學習成果等方面，都需要我們進一步探討和研究，以期找到更有效的解決方案。

本節“用多功能尺作圖”課程屬于滬教版數學教材四年級第二學期第五單元“整理與提高”單元，是一節幾何復習課。學習幾何，對于培養學生的空間觀念和推理能力具有非常重要的意義。學生的空間觀念是在觀察和操作中形成的，畫圖是簡單易學的幾何操作活動，也是幾何學習中效果十分顯著的直觀手段［4］。不同于其他新授課，幾何教學更注重動手操作實踐。在幾何作圖教學中，除了課堂互動之外，教師還需特別關注學生的作圖表現。然而，線上教學的特殊性使得線上幾何作圖教學的難度進一步加大。因此，如何有效地實施線上幾何作圖教學成為一個值得探討的問題。此外，學生手頭沒有教材中的多功能尺，教師需要選擇合適的替代工具來進行幾何作圖教學。同時，考慮到本節課是一節幾何復習課，學生已經學過如何用普通三角尺畫垂線和平行線，因而本節課的教學目標和教師在教學過程中的關注重點需要進行相應的調整。

基于對上述問題的思考和探索，筆者借助信息化平臺，對常用的在線教學軟件進行了對比研究，旨在更好地呈現學生的作圖過程，力求為幾何作圖教學提供更加適合的工具和平臺。同時，結合各類教學資源，筆者努力將本節課的教學內容進行整合和完善，提高線上幾何作圖教學的效果和質量，以確保學生能夠更好地掌握知識，促進他們的學習與發展。

二、教學準備與鋪墊

（一）適應新背景，選擇合適的教學工具

本節課教材中的多功能尺（圖1）在日常生活中并不常見，在對學生進行了初步調查后，筆者發現他們大多已有“帶量角器的三角尺”。這種尺同樣具備多種功能合一的特點，可以實現教材中多功能尺的作圖功能，成為其有效替代品。因此，筆者選擇了這種帶量角器的三角尺（圖2）作為教學工具，以便于學生進行學習。

圖1 教材中的多功能尺

圖2 本節課使用的多功能尺

（二）應對新要求，使用恰當的教學軟件

與其他新授課相比，幾何教學更注重學生的動手操作實踐。然而，由于線上教學本身有一定的局限性，教師要展開具體的教學操作，要關注學生的作圖，還要與學生及時互動并反饋，這使得在線上開展幾何教學的難度進一步增大。為了解決這一難題，筆者將線上的互動操作作為本節課的重點研究問題，以實現既能觀察學生的作圖情況，又能及時進行師生互動。

筆者對教學中常用的幾個在線課堂軟件（如釘釘在線課堂、騰訊課堂、ClassIn 平臺等）進行了研究和對比。通過比較和嘗試，筆者發現釘釘在線課堂的“全員看他”功能可以在學生交流作圖過程時使用。當教師點擊該按鈕時，學生的攝像頭內容會出現在主屏幕上，使得所有學生都能清晰地看到該學生的作圖過程，從而加強了線上教學時的及時交互。因此，在經過一番比較后，筆者決定采用釘釘在線課堂作為本節課的線上教學平臺。

（三）基于新操作，提升學生軟件使用的熟練度

在確定了教學軟件后，為了提高學生的課堂參與度和作圖過程的展示效率，筆者對學生進行了操作培訓。釘釘在線課堂中的“旋轉”按鈕能幫助學生在視頻設置中旋轉屏幕，以便更好地展示作圖過程。學生只需按“旋轉”按鈕兩次，再將筆記本電腦調整到與桌面呈60°左右的角度，便能夠將作圖過程清晰地展示在屏幕上。由于釘釘在線課堂是師生平時常用的教學工具，學生對其較為熟悉，經過培訓后，他們都能熟練地獨立完成操作。此外，教師還能通過屏幕上的“翻頁”功能，逐一查看學生在課堂上的畫圖情況，以便更好地指導他們的學習。

三、教學實踐與思考

（一）聚焦疊加組合，利用分屏板書呈現效果

在課堂教學初期，筆者通過復習已學的幾何圖形，梳理并鞏固了迄今為止所使用的作圖工具，并啟發學生思考：如果需要畫不同的圖形，就需要準備不同的工具，這增加了操作的復雜性。因此，筆者引導學生思考是否可以將直尺、量角器和三角尺的功能進行疊加，從而創造出一把集多種功能于一體的尺，初步形成“疊加組合”的作圖工具思想，進而引出本節課的教學工具——多功能尺。在學生對教學工具的探索過程中，筆者通過將簡單功能不斷疊加形成多功能尺的過程，培養其好奇心，并滲透創新設計的一種思維方式，從而有效地落實了教學目標。

在展示了本節課所研究的教學工具后，筆者引導學生進行觀察和比較，讓他們自主探究多功能尺與普通三角尺的不同之處，激發其主觀能動性。學生發現了多功能尺與普通三角尺的異同及其每一部分的作用，并了解到這是一把將直尺、三角尺和量角器相結合的多功能的尺。在此基礎上，筆者利用多功能尺與之前普通作圖工具的共同點進行作圖，鞏固了舊知。

導入是課堂教學的重要環節，對于學生能否在短時間內安靜地進入學習狀態，起著至關重要的作用［5］。因此，在本節課的導入環節中，筆者采用了左右分屏的模式，左側大面積區域用于進行教學，右側區域則用于呈現最初復習引入的幾何圖形，保留了學習過程的痕跡（圖3）。這樣，學生能始終了解學習的進程，并在作圖工具疊加組合的過程中逐步構建自己的知識框架。這種方法不僅提高了學生的學習興趣，還使他們能夠清晰地把握整節課的主脈絡。

圖3 左右分屏板書

（二）聚焦多功能作圖，關注學生幾何操作

在復習鞏固了多功能尺與普通作圖工具的共同點并作圖后，筆者進一步通過實際問題創設情境：由于長時間使用，三角尺的直角部分可能會出現磨損，導致在畫垂線時需要借助畫延長線來完成。針對這一情境，筆者提出一個問題：能否利用多功能尺的特殊功能更方便地作圖，以避免這種情況？在教學過程中，筆者給足學生參與的時間和空間，讓他們根據自己的經驗獨立自主地進行探究學習，為他們提供了動手探究的機會［6］，引導他們通過探索和思考利用多功能尺尋找新方法來作垂線。隨后，學生通過觀察發現多功能尺上有4 組互相平行的短線，可以為快速畫平行線提供便利。學生自主嘗試使用多功能尺作圖，這激發了他們自主研究解決問題的興趣，同時提升了他們的幾何學習能力。

在學生交流并歸納了畫垂線的新方法之后，筆者利用釘釘在線課堂的“題組”模式來鞏固練習操作，豐富了線上教學的形式（圖4）。這種模式不再單純依賴于教師的講授，而是將學生的“被動學習”轉變為“主動探索”。同時，“題組”模式還鞏固了“求點到直線的距離”以及“垂直于同一條線的直線互相平行”等知識點。

圖4 “題組”模式示例

在利用多功能尺的特殊功能來畫垂線和平行線的作圖過程中，學生按照課前的要求將攝像頭對準作圖紙。筆者通過釘釘在線課堂中的“屏幕翻頁”功能，可以觀察到每個學生的作圖情況。根據實際情況，筆者能及時給予提示和指導。

在學生交流“過直線l外一點B畫直線l的垂線b”的過程中，筆者重點關注學生是否能使用規范的語言表述操作過程。以下示例為學生在交流演示時的表述：

生：在畫這條垂線時，因為直線l上沒有點，無法與量角器的中心點重合，所以我選擇用90°的刻度與點B重合。但我發現量角器的零刻度線無法與直線l重合。因此，我利用了尺上的刻度線與邊垂直的關系來作圖：

① 選擇一條較長的刻度線，與直線l重合；

② 平移三角尺，使這條邊經過點B；

③ 描出線；

④ 標上直角符號；

⑤ 寫結語：b⊥l。

通過學生的操作描述，筆者不僅可以了解他們對幾何知識的掌握情況，還可以加強對其幾何直觀能力的培養。同時，其他學生也可以通過其操作描述來檢驗自身作圖的準確性，拉近彼此在線上教學中的距離。

而在畫兩條距離為5 cm 的平行線時，考慮到這是本課新學的方法，在學生完成作圖并演示后，筆者在課件上再次演示了一遍操作過程，以彌補學生在攝像頭下作圖的清晰度不足的缺陷。

（三）聚焦對比猜測，鼓勵學生自主學習探索

在利用帶量角器的多功能尺按要求畫出垂線和平行線，并能夠規范表述作圖過程后，筆者引導學生回歸課本，并展示了教材中的多功能尺。學生通過對比觀察，發現了它與自己所使用的多功能尺的共同點，并猜測了其各部分功能與作用。在此基礎上，學生了解了該教學工具的特點，并在課后進行了自學并嘗試作圖，實現了知識的拓展和遷移。

為了進一步延伸教學內容，筆者引入了經過線段中點畫垂線（中垂線）的作圖方法，并將圓規作圖與該方法相結合。這一作圖方法與學生所學的知識完全不同，引發了學生的認知沖突，激發了他們自主探究的興趣。同時，筆者將課件板書中“圓”的復習部分進行了融合，為后續的探索研究做了鋪墊。

在進行這一部分的教學設計時，筆者曾面臨如何將圓規作圖經過線段中點畫垂線的過程通過線上教學呈現給學生的挑戰。經過比較權衡，筆者最終選擇了使用媒體動畫的形式來展現這一驗證過程。這一舉措在增加了教學多樣性的同時，也能夠有效地調動學生的學習積極性，開闊他們的眼界，完善他們的知識層面［7］。

（四）聚焦創新想象，引導學生設計多功能作圖工具

在課程結束階段，筆者首先回顧總結了本節課所學的內容，強調了課上所介紹的兩種多功能尺的設計理念，即將直尺、量角器、三角尺的功能通過疊加組合整合在一起。筆者結合實際，進一步引導學生理解生活中存在其他多功能產品，它們都是將基本功能進行重新組合和優化設計構造而成的。學生結合本節課所學內容和分屏板書，自然而然地進行深入思考：是否有可能將直尺、量角器、三角尺和圓規這四種常用作圖工具集成為一個多功能工具。他們會很容易地想到嘗試將圓規的功能疊加到多功能尺中。為了給他們提供更多的靈感，筆者展示了一段市售產品介紹視頻。這一產品已將圓規與多功能尺結合在一起，驗證了多功能設計的可行性和實用性。筆者鼓勵學生在課后進行自主探索和創新實踐，嘗試設計自己的多功能作圖工具。

四、教學反思與后續探索

（一）夯實幾何作圖能力基礎，滲透小升初知識銜接

作為一節復習提高課，本節課旨在鞏固學生在幾何作圖方面的技能，并在此基礎上提高其靈活運用工具進行幾何作圖的能力。學生已具備使用普通三角尺畫垂線和平行線的基礎，因而本節課的重點在于引導他們在作圖的過程中根據多功能尺的功能，采用適當的方法正確、清晰地作圖，并能準確表述作圖過程。在上課過程中，筆者特別關注了這一環節，并努力確保落實該教學目標。

根據《義務教育數學課程標準（2022 年版）》的要求，本節課所涉及的“用多功能尺作圖”內容是圖形與幾何領域新增加的一個點——利用直尺和圓規來作圖的活動。這是為初中階段的尺規作圖打下基礎，其意義是培養學生的幾何直觀等關鍵學科素養，使其感受到數學圖形的直觀存在，清晰地感知圖形組成元素之間的空間關系。同時，教師通過增加動手操作的環節，可以讓學生多一些機會動手作圖，增強學生對數學的感覺，改變學習方式［8］。由此可見，將這些內容落實到教學過程中是十分重要的。

因此，在本節課的教學過程中，筆者注重學生的實踐操作，鼓勵他們在課堂上積極動手作圖。比如，通過讓學生嘗試利用線段的中點畫垂線（中垂線），教師隨后演示用圓規作圖的方法，使學生意識到圓規不僅可以用于畫圓，還可以用于畫垂線。這種教學方法激發了學生對后續學習的興趣，為他們在初中階段進一步學習“尺規作圖”打下了基礎，從而實現數學學習的小升初知識銜接，使其形成初步的幾何直觀。

在后續的幾何操作課程中，筆者也繼續貫徹這一理念。例如，在五年級第一學期的平行四邊形作圖教學中，筆者鼓勵學生自主探索，根據平行四邊形的特性，通過已知邊確定其對邊位置，從而規范作圖過程。在操作過程中，筆者同樣關注學生的作圖及表述的過程，這也是為他們將來的初中幾何學習打好基礎。

（二）結合幾何教學，培養學生創新意識

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》對于創新意識的培養有明確的要求，提倡學生勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題與數學問題。不同于平常使用的一般作圖工具［9］，本節課“用多功能尺作圖”內容所使用的是融直尺、三角尺和量角器功能為一體的尺，它將幾個基本工具組合到一起，形成了一個創新的作圖工具。本節課所要探究的內容也與創新意識培養要求相呼應。教師利用幾何教學這個培養學生創新意識的重要平臺，通過與生活實際相結合的教學方式，聚焦“多功能”這一核心概念，采取疊加組合的方式引導學生循序漸進地探究多功能尺的功能。這在作圖工具創新的基礎上鼓勵學生自主探究，達到了教法創新的目的。教師圍繞核心問題，巧設驅動性問題，讓學生學會獨立思考、自主嘗試，并在操作中體驗感悟，從而使學生的創新意識和創新思維能力在幾何教學中得到鍛煉和發展。

（三）整合不同的教學方式，高效開展幾何教學

線上教學可以利用多媒體和網絡技術等豐富的教學手段，為幾何教學提供更為豐富和多元的可能性。比如，教師通過幾何圖形的動態演示，能夠幫助學生更好地理解幾何概念和定理，提高他們的學習興趣和積極性。本節課以釘釘在線課堂為線上教學平臺，對線上幾何教學方式進行了探討。在教學形式上，筆者在線上教學實踐過程中預設了多種手段，如多媒體演示、實時互動等，做了許多前期準備。然而，筆者在實際線上授課中發現，在課堂上逐一糾正學生的畫法仍存在一定的難度，需要在學生演示時進行評價反饋。此外，學生的設備、網絡條件與操作熟練度也會對課堂教學時間產生影響，使得操作復雜性高于線下教學。學生交互形式以師生互動為主，生生互動形式有限，多為使用“黑板”功能打字交流或進行追問交流，大規模的交流互動較少。在線學習時，學生的注意力也容易分散。因此，為了提高課堂效率，教師需要設計一些有趣的互動環節來吸引學生的注意力，并控制好教學講授的時長。

回到線下課程，本節課的重點也應關注學生的自主探索以及規范作圖并表達的過程。筆者預期此過程更便于觀察全班的操作情況，可以采用小組合作與評價等多樣化的教學模式，鞏固知識點，強化其落實和核心素養的培育。線上的板書模式可以延續應用，保留多功能尺的功能疊加與驗證，保持有序性和整體性。

五、結語

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，要合理利用現代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革［10］。在幾何教學中，信息化技術和平臺的應用為教師提供了更多的教學資源和手段。結合幾何教學的特點，筆者通過這些技術和平臺更新了教育理念，拓展了教學方式，對幾何教學的本質和目標也有了更加深入的思考。筆者將不斷總結提煉線上教學的寶貴經驗，合理利用信息技術，基于學情進行探索和實踐，夯實學生的幾何作圖能力基礎，培育學生的核心素養，更有效地進行幾何教學。