城市交通系統雙區域邊界控制的模型預測控制方法

李 妍，吳超云

（安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133）

隨著城市的發展，城市上下班高峰期的交通擁堵現象越發嚴重，為緩解擁堵，城市交通系統的管理和宏觀控制被廣泛研究。GODFREY在1969年最先提出宏觀基本圖（Macroscopic fundamental diagram，MFD）的概念[1]。在過去幾十年里，城市交通系統MFD 的存在性已被廣泛證實[2-6]，并提出了大量基于MFD的宏觀控制策略，包括最優控制[7]、區域交通總量動態調控技術[8]、協作控制[9]、多區域邊界控制[10]和魯棒控制[11-12]等。2012年GEROLIMINIS等建立了兩個區域的邊界流量最優控制模型，并用模型預測控制方法來最優化交通系統的行程完成量[7]。2014年杜怡曼等以北京市西二環為例，基于宏觀基本圖及區域總量動態調控為主、傳統優化為輔的交通管理新手段，通過區域邊界設置的反饋閘門控制網絡流入量以提高區域通行效率[8]。2013 年HADDAD 等研究了高速公路和兩個城市區域網絡組成的大型混合交通網絡的協作控制問題[9]。ABOUDOLAS等建立了多區域邊界控制模型[10]，采用模型預測控制、協調控制、自適應控制等多種控制方法。來提高交通系統效率和緩解交通擁堵，2014年HADDAD等為處理宏觀基本圖的不確定性，對城市核心區域建立了魯棒邊界流量控制，通過控制邊界流量來穩定核心區域的累積量[11]。2021年LI等考慮排隊長度，建立了兩區域的魯棒邊界控制模型[12]，實驗結果表明魯棒邊界控制方法能有效緩解高峰期交通擁塞，并提高交通系統效率。

模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）最早產生于20世紀70年代，又稱為滾動時域控制或后退時域控制；1978 年，RICHALET 等歸納了預測控制算法的三要素：預測模型、滾動優化和反饋控制[13]。由于MPC具有滾動優化策略，即在線反復進行優化計算且滾動實施，使模型失配、畸變、擾動等引起的不確定性及時得到彌補，從而獲得較好的動態控制性能，因此通常用于預測交通系統，并實施交通系統管理。2019 年YE 等人概述了MPC 在交通信號控制中的應用[14]。另外，學者們提出了諸多基于MPC 控制的交通控制策略，包括用MPC 來解決邊界控制問題[15]。2014 年FREJO 等提出了雙區域MFDS 非線性模型預測控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）方案[16]，2019 年KIM 等針對大規模路網邊界控制問題，提出了一種新的分布式模型預測方法[17]。

以上區域控制模型沒有考慮狀態變量和控制變量的穩定性問題，本文建立了一個雙區域邊界控制模型，并考慮了兩個區域累積量和控制變量的穩定性，同時采用模型預測控制方法對模型進行模擬分析。區域累積量的穩定性可使區域累積量盡量接近穩定狀態，從而避免交通擁堵并提高交通效率；控制變量的穩定性可使控制變量盡快穩定，從而降低控制成本。

1 城市交通系統雙區域邊界控制模型

城市交通系統被劃分成兩個相鄰的同質區域，雙區域邊界控制如圖1 所示。其中，n1(t)(veh)和n2(t)(veh)分別表示t時刻區域1和區域2的累積量，即車輛數。Gi(x)(i=1,2)(veh/s)表示第i個區域的MFD，每個MFD則表示該區域內的累積量與域內車輛完成行程量的函數關系，一般由一個一元三次多項式函數Gi(x)=ai·x3+bi·x2+ci·x表示，其中ai,bi,ci是估計的參數。G1(n1(t))表示t時刻累積量為n1(t)時在區域1中的完成行程量，G2(n2(t))表示t時刻車輛數為n2(t)時在區域2中的完成行程量?！1(n1(t))表示在區域1 中已完成的行程，并且已到達目的地的車輛數；G1(n1(t))表示在區域1中已完成的行程，未到達目的地（目的地是區域2）的車輛數。q11(t)(veh/s)、q12(t)(veh/s)和q2(t)(veh/s)分別表示交通需求量，q11(t)和q12(t)表示區域1中每秒新增的車輛數，目的地分別為區域1和區域2，q2(t)表示區域2中每秒新增的車輛數。n11(t)(veh)和n12(t)(veh)表示區域1中目的地分別為區域1和區域2的累積量，故有n11(t)+n12(t)=n1(t)。u(t)是控制變量，表示t時刻區域1 轉移到區域2 的車輛比例，用以控制兩個區域間車輛的轉移，其滿足0 ≤u(t)≤1。當u(t)=0時，禁止區域1中的所有車輛駛向區域2；當u(t)=1 時，不限制區域1 的車輛駛向區域2。n11,0，n12,0，n2,0分別是初始時刻t0的累積量。n1,jam和n2,jam分別是區域1 和區域2 的阻塞累積量。umin，umax分別是u(t)的下限和上限，n11,s，n12,s，n2,s，us分別是狀態變量n11(t)，n12(t)，n2(t)和控制變量u(t)的穩定狀態。Qr∈Rnn*nn，Rr∈Rnu*nu是對稱的正定權重矩陣。以系統累積量和控制變量的穩定性為目標，建立的雙區域邊界控制模型如

圖1 雙區域邊界控制（控制器u(t)限制車輛從區域1流向區域2）

2 模型穩定性分析及MPC控制設計

3 數值模擬

為研究模型的控制效果，分別模擬了交通需求量q11(t)，q12(t)，q2(t)為常數和非常數時雙區域邊界控制模型的交通性能。本文MPC控制器的參數為Np=60和Nc=30，t=3600s，umin=0和umax=1分別控制變量的上限和下限。區域1的MFD為G1(n)=(1.4877×10-7n3-2.9815×10-3n2+15.0912n)/3600，區域1 擁塞累積量為n1,jam=10 000，臨界累積量為n1,cr=3400，臨界累積量對應最大的完成行程量為G1(n1,cr)=6.3(veh)。區域2的MFD與區域1相同，圖2是兩個區域的宏觀基本圖。

圖2 宏觀基本圖

3.1 交通需求為常數時雙區域邊界控制模型模擬結果

當交通需求為常數時，模擬交通系統初始狀態擁堵和不擁堵兩種情形。當初始狀態擁堵時，設兩個區域的初始累積量分別為n11(0)=3600，n12(0)=1900，n2(0)=5500。交通需求為常數，q11=0.25，q12=2.8，q2=3.2，滿足穩定條件。由于n1,cr=n1,s=3400，n2,s=4 200，可以計算出n11,s=135，n12,s=3 265，us=0.463。雙區域邊界控制模型模擬結果如圖3 所示。當不控制時，車輛涌入區域2，區域1 的累積量在前1 800 秒迅速下降，在2 580 秒降到880 輛（圖3a），此時區域2 的累積量在1 445 秒（圖3b）時就已達到10 000 輛，且區域2 的完成行程量為0，故系統雙區域完成行程量在2 580秒降到最低值3.1（圖3c），即系統陷入死鎖狀態。在MPC控制情況下，在前510 秒u(t)=0（圖3d），禁止車輛從區域1駛向區域2，從而區域1的累積量在從5 500輛略微升高到5 700輛（圖3a）；區域2交通擁堵得到控制和疏散，且累積量逐漸降低，在510秒時降低到4 200輛并達到穩定狀態（圖3b）。然后，控制器在510秒由最大值1開始緩慢下降，即限制區域1的車輛駛向區域2，促使區域1的累積量緩慢降低，區域2的累積量穩定。在3 000秒時，區域1的累積量減少到3 450輛，逐漸達到穩定；區域2的累積量穩定不變，在2 600秒以后，u(t)達到穩定值0.467。圖3c顯了示系統隨著兩個區域累積量的逐步穩定，車輛的完成行程量逐漸增加，在2 400 秒時增加到12.3，交通性能最佳。因此，在MPC控制下，可以逐步降低系統累積量，緩解交通擁堵并疏散交通。

圖3 交通需求量為常數時的雙區域控制結果（擁堵）。（a）區域1累積量；（b）區域2累積量；（c）完成行程量；（d）MPC控制的變量u

當初始狀態不擁堵時，設兩個區域的初始累積量分別為n11(0)=1300，n12(0)=700，n2(0)=1500。交通需求為常數，q11=0.8，q12=4.3，q2=3，設n1,s=3000，n2,s=3600，可以計算出n11,s=385，n12,s=2 615，us=0.79。雙區域邊界控制模型模擬結果如圖4所示。當不控制時，區域1的累積量緩慢下降，在3 600秒時到達1 780輛左右（圖4a），區域2的累積量在3 600秒（圖4b）時達到6 600輛，系統中完成行程的車輛數降到最低8.6（圖4c），區域2陷入死鎖狀態。在MPC控制下，前840秒u(t)=1（圖4d），允許區域1中車輛駛向區域2，區域1 的累積量在前840 秒從2 000 輛下降到1 840輛（見圖4（a）），而區域2車輛累積量略微升高（圖4b）。之后u(t)由最大值1開始緩慢下降，在840秒下降到0.87，即逐漸限制區域1中車輛涌入區域2，直至3 000秒處控制器穩定在0.71。由于交通需求較高，區域1中車輛累積量逐漸增加，于2 910秒累積量達到2 965輛并保持穩定；區域2的累積量也逐漸增加，在2 910秒左右達到3 545輛并保持穩定，交通擁堵得到控制（圖4b）。圖4c顯示在MPC控制下隨著兩個區域累積量的逐步穩定，車輛完成行程量逐漸增加，在2 860秒時增加到12.4，并趨于穩定，交通系統效率較高。當不控制時車輛的完成行程量更低。因此，無論交通系統初始狀態是否處于擁堵狀態，在MPC控制下兩個區域的車輛累積量趨于穩定，且分布更均勻，車輛的完成行程量更高，可緩解交通擁堵并提高交通效率。

圖4 交通需求量為常數時的雙區域控制結果（不擁堵）。（a）區域1累積量；（b）區域2累積量；（c）完成行程量；（d）MPC控制的變量u

3.2 交通需求變化時雙區域邊界控制模型模擬結果

假設在起初300秒和最后300秒時交通需求量最低，低峰值保持在0.2 veh/s、0.5 veh/s和0.6 veh/s，高峰期時段持續2 400 s，分別保持在1.7 veh/s、4.7 veh/s 和3.6 veh/s，交通需求量隨時間變化如圖5 所示。n1,s和n2,s隨交通需求量變化而變化。設兩個區域的初始累積量分別為n11(0)=1300，n12(0)=700，n2(0)=1500，交通需求變化時雙區域邊界控制模型模擬結果如圖6所示。

圖5 交通需求隨時間變化

當不控制時，區域1 累積量在400 秒時下降到770 輛（圖6a），接著緩慢上升，于3 040秒時上升至2 850輛，隨著車流量減少，在3 600秒處降至1 000輛。區域2累積量在前500秒時下降至900輛，由于在300秒后，區域1流向區域2的車輛不受控制，故區域2 的累積量一直處于波動上升狀態（圖6b），在3 600 秒時達到最大值7 500，此時該區域較為擁堵。與此同時，雙區域車輛的完成行程量也隨著累積量的變化而變化，在2 020 秒處達到最大值12.27，接著急速減少，在3 600 秒處降至最低5.7，此時系統處于完全擁塞狀態（圖6c）。

在MPC控制下，因交通需求變化，累積量和控制變量的穩定狀態也在不斷變化。區域1的累積量在前390秒內短暫下降，然后在3 240秒緩慢上升至最大值5 120輛（圖6a），最后在MPC控制下累積量緩慢下降。區域2的累積量趨勢與區域1基本相似（圖6b），在500秒處到達最小值570輛，隨后在3 000秒處升至4 460輛，在3 600秒左右降至1 950輛。在前500秒u(t)=0，禁止區域1的車輛駛向區域2；之后控制器u在700 s內持續是1.00，1 200秒后持續在0.84上下浮動，在3 000秒處稍微下降至0.78，隨后30秒后降至0.4，又在40秒后升至0.47，之后在3 090秒處降為0并持續到3 600秒，即進入區域2的車輛得到完全控制（圖6d）。圖6c 顯示在MPC 控制下隨著兩個區域累積量的控制，車輛的完成行程量逐漸增加，在2 000秒時增加到12.6，交通系統效率較高。然而，不控制時車輛的完成行程量更低，說明MPC控制確實起到了良好效果，兩個區域車輛累積量趨于平衡，且分布更均勻，車輛的完成行程量更高，從而可緩解交通擁堵并提高交通效率。

仿真結果表明MPC對交通系統的各種擁堵狀態的控制都有效，可使兩個區域在有限時域內的累積量和控制量的閉環穩定，并促使兩個區域累積量平衡[5,7]，從而防止區域擁堵，提高交通效率。當交通需求為常數，在不控制情況下，初始狀態擁堵時區域2很快到達堵塞累積量（10 000輛），交通系統陷入死鎖狀態；初始狀態不擁堵時區域2 的累積量也在逐漸增加，在模擬時間內也進入擁堵狀態。在MPC 控制下，無論初始狀態車輛是否擁塞，系統中兩個區域累積量最終都能達到穩定狀態，且車輛的完成行程量更大。當交通需求變化時，在不控制情況下，區域2容易陷入擁堵狀態；在MPC控制下，系統中兩個區域的累積量更均衡，車輛的完成行程量更高。

4 結論

本文建立了一個基于MFD的城市交通系統雙區域邊界控制模型，采用模型預測控制方法對系統進行宏觀控制，并對交通需求為常數和交通需求變化的兩種交通狀態進行仿真，結果顯示在MPC控制下交通系統性能提升較大，能有效控制和平衡高峰期區域累積量，且緩解交通擁堵，從而縮短控制時間和降低控制成本。