江蘇省南通市第一初級中學
周紅娟
近年來,隨著不少地區中考卷設計了一些“新定義”考題,使得相關地區不只在九年級的模擬試卷中出現大量“新定義”考題,在七、八年級的期末考試中也出現了很多“新定義”考題.而不少學生對這些推陳出新的“新定義”考題常感束手無策,“新定義”也使得一些學生在解題時增加了畏難情緒.筆者近期圍繞一道新定義考題進行改編、再加工,設計了一節關于新定義考題的“一題一課”專題教學,帶領更多學生挑戰“新定義”考題,增強他們的解題自信,取得了較好的教學效果.本文結合這節課的教學設計,并圍繞新定義考題的解題教學,提出一些思考,提供研討.
在平面直角坐標系中,對于點M(a,b),N(c,d),作點M關于直線x=c的對稱點M′,當d≥0時,將點M′向上平移d個單位,當d<0時,將點M′向下平移|d|個單位,得到點P,我們稱點P為點M關于點N的對稱平移點.
已知點B(m,m),點A(1.5m,0).點C為點A關于點B的對稱平移點,當以A,B,C,O為頂點的四邊形圍成的面積為6時,求點B的坐標.
圖1
問題1(出示“新定義”的題干后)若點A(1,2),M(3,5),對照“新定義”,分析點A關于點M的對稱平移點的坐標.
教學預設:如圖1,畫出草圖,先求出點A關于直線x=3的對稱點A′(5,2),再將點A′向上平移5個單位得B(5,7).如果有學生感覺比較困難,可再提供一個變式——若C(3,1),求點C關于點M的對稱平移點的坐標.
問題2(在學生初步熟悉“新定義”之后,出示并研究考題)已知點B(m,m),點A(1.5m,0).點C為點A關于點B的對稱平移點,當以A,B,C,O為頂點的四邊形的面積為6時,求點B的坐標.
教學預設:先安排學生分析點A,B,C的可能位置,由于字母m的取值范圍沒有限定為正數,還要討論m>0和m<0兩種可能的情形.引導學生構造分析.
圖2
問題3已知點B(m,m),點A(1.5m,0),且m>0.點A向右平移1個單位得到點D,點A向右平移6個單位得到點G,以AD為邊向上作正方形ADEF,以DG為邊向上作正方形DGMN,點P為正方形ADEF的邊上的一個動點,在點P運動過程中,若點B關于點P的所有對稱平移點都在正方形DGMN的內部或邊上,分析m可取的最值(最大值和最小值).
圖3
小結問題1本課研究的這道新定義考題,首先是理解新定義,其中畫圖分析非常關鍵.你覺得怎樣才能畫出比較準確的圖形?將你的經驗與同學們分享一下.
小結問題3“問題3”中“虛線正方形”是如何生成的?在分析“虛線正方形”的四個頂點坐標時,你覺得怎樣更快?請說說你的理解.
作為一份試卷中的新定義考題,在呈現時往往力求簡潔,這樣就不會像平時我們在新授課時那樣,對一個新概念要從不同的角度進行定義或解釋.比如,為了說清絕對值的概念,我們會基于數軸直觀地給出定義,然后再給出絕對值的符號表示,最后舉例讓學生理解和運用.而考卷上的新定義,往往只是“單一”給出定義,教師在鉆研這些新定義時,要善于給出新定義的“不同表征”(比如文字表述、符號表達、圖形直觀等).在此基礎上,再研究問題的解法.值得指出的是,不少新定義考題的第(1)問,往往直接代入計算就能獲得結果,可是由于沒有從圖形的直觀角度對第(1)問進行“再認識”,對于后續較難問題的求解是不利的.如果能在解題的起步階段就對新定義有全方位、多角度、深層次的理解和揭示,特別是幾何結構的揭示與理解,對后續較難問題的思路獲取會有很大幫助.對于教師的課前備課,深入鉆研新定義考題的解法,深刻理解新定義的幾何結構是備課的前提和關鍵.
在深刻理解新定義之后,對設問中的較難題要想清有哪些關鍵步驟,接著針對這些關鍵步驟預設鋪墊式問題.鋪墊式問題常常體現了“例值引路”“以退為進”等解題策略.具體來說,為了解決某個較難題,可能會先舉一個讓學生容易理解的例子,然后再拾級而上,給出一個相對有難度的“臺階”問題[1],在這些鋪墊問題的熱身練習之后,學生再迎難而上,挑戰難題,思路自然而然就生成了,這樣不但實現了問題解決,而且幫助學生收獲了解題自信.需要指出的是,課前預設的鋪墊式問題應該更加“細致和密集”(可將“學情”想象得更弱作為預設鋪墊問題或啟發式問題的起點),然而在具體教學實施時,要根據學情的實際情況出示鋪墊式問題.比如,教學進程中,當有少數優秀學生已“跳過”課前預設的好幾個鋪墊式問題時,教師為了幫助更多還沒跟上解題進度的學生,可以“打斷”學生的講解,請該學生講講他“跳過”的一些關鍵步驟,展開思維過程,讓更多的學生跟上解題進度.這樣,課前預設的有些鋪墊式問題就不必出示了,因為已有學生幫助提供了這些鋪墊式問題的講解.
新定義考題一般都是在每份試卷中的最后一題(也稱“壓軸題”),這類考題的最后一問往往綜合性較強,成功解題需要打通多個關鍵步驟.這就要求教師在講評這類較難題時,要充分預設解后回顧與反思的環節.如上文教學設計中所見,精心預設“小結問題”,組織和引導學生學會從不同角度進行回顧反思,才能促進深入反思、有效提煉,積累解題策略,感悟解題經驗[2].在預設“小結問題”時,要防范“大而空”的問題,比如“這節課學到了什么”“這節課感悟了什么思想方法”“你還有哪些疑惑”之類.預設出針對性強的小結問題,才能促進學生對解題過程中的關鍵步驟、易錯點、表達細節等達到更好的回顧、反思與提升.