一次函數圖象教學設計

江蘇省睢寧縣第二中學

白文波

“一次函數”在初中數學中占據著重要的地位，《義務教育數學課程標準》中對一次函數的教學提出了更高的要求，具體來說要求能畫出一次函數的圖象，并根據它的圖象和表達式y=kx+b(k≠0)探索自變量x的系數k在取不同的值時函數圖象對應的變化.基于此，本文中以一次函數圖象教學為例，探討初中數學一次函數的教學設計，以期為教學提供助力.

1 情境引入

眾所周知，一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，主要說明了以下兩點：第一，滿足y=kx+b(k≠0)的任何一組x，y的值(橫、縱坐標)對應的點都在這條直線上，這說明了一次函數y=kx+b(k≠0)的完備性；第二，這條直線上所有點的橫、縱坐標(x，y的值)都滿足這個表達式，這說明了一次函數y=kx+b(k≠0)的純粹性.顯而易見，這兩個方面對初次接觸函數的學生來說，有一定的難度.因此，在部分教材中將一次函數的教學目標主要設置為“感知”，規避難點，以常規的“列表、描點和連線”三步操作，不斷引導學生觀察一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象，但對為什么滿足y=kx+b(k≠0)的點構成的圖形就是一次函數的圖象沒作出任何理解性說明.但以“列表、描點、連線”的方式得出的圖象就說其為一次函數的圖象是解釋不通的，會使學生感到突兀，最終導致不能很好地理解一次函數的知識，從而影響后續其他知識的學習；即便通過強化練習能讓學生從感官上接受一次函數的圖象是直線，但學生在理解上仍然存在著一定的障礙.

那么，怎樣才能引導學生正確理解一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線呢？首先，要從實際情境引入，從動態的直線著手，找到理解一次函數圖象就是直線的切入點.一般來說，點動成線，但點動未必成直線，只有點沿著某一個固定方向或其反方向運動時，點的運動軌跡才是直線.因此，想要說明一次函數的圖象是直線，亦可以說一次函數圖象上點的運動軌跡是直線.其次，從函數圖象的傾斜程度入手進行深度理解.實際上，想要說明點動態生成的直線方向是不變的，可從點的運動軌跡入手，說明其與一條特定的直線平行，即一次函數圖象上任意一點與其經過的定點的連線和一條特定直線平行.根據直線傾斜角的定義可知，一次函數圖象上任意一點和其與x軸(橫軸)交點的連線，傾斜角相同，因此可以說明一次函數y=kx+b(k≠0)上的點確實是在一條直線上，也充分體現了一次函數y=kx+b(k≠0)中，k的值決定了直線的傾斜程度，b的值確定了直線和縱軸的交點坐標.為了降低學生的學習難度，教師可以不介紹傾斜角的相關概念.下面以引入實際情境的問題為例，更好地幫助學生理解一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線.

問題1播放一段視頻，在視頻中顧客頭頂系的蝴蝶結的運動路線是怎樣的？

問題2哪位同學能說明一下為什么蝴蝶結的運動軌跡是直線？

上述兩個問題主要是讓學生從實際情境中抽象出點動成線的思維，理解一個點必須要沿著一個指定的方向進行運動，其運動軌跡才能是一條直線，為后續課程的學習奠定基礎.

2 完善知識體系

復習相關數學知識時，教師要積極尋找知識間的聯系，使學生完善知識，并通過遞進型的問題串將知識點串聯在一起，促使學生形成知識結構網絡.在選擇習題方面，教師要重點關注問題之間的關聯性，引導學生打破知識壁壘，尋找不同的解題方案.下面以三個習題為例，說明完善知識體系的重要性.

圖1

圖2

(1)求B′的坐標；

(2)求直線AM的解析式.

圖3

通過以上三道例題，將課程的講解推向高潮，把學生的思維引領到更深的層次.通過旋轉、平移、對稱三大變換，引導學生從不同的層面解決實際問題，尋找變換中的不變量，使學生最終領悟到圖形的變換本質，培養學生思維的靈活性.

3 開展實際應用

數學教師的主要職責就是盡可能開拓學生解決實際問題的能力.學生是在動態環境中學習數學，也能在動態中生成數學思維.通過呈現真實的情況，提出思考價值高的問題，進一步厘清學生的認知結構，促使學生在掌握基本技能和基礎知識的同時，還能增長解決實際問題的能力.

在應用中，教師可在學生看圖、思圖、議圖的過程中，對學生提出問題，培養學生的創新意識和發散思維.

圖4

例4一列快車從甲地開往乙地，一列慢車從乙地開向甲地，兩輛車同時出發，假設慢車的行駛時間為xh；兩輛車之間的距離為ykm，圖4的折線表示y與x之間的函數關系，請根據圖象探究以下問題：

(1)甲乙兩地之間的距離；

(2)解釋途中B,C,D點的實際含義；

(3)還能從圖中得到哪些信息？

例4通過將圖形作為背景，探究了以一次函數為基礎背景下的實際行程問題.通過看圖、思圖、議圖，反思題目的解決辦法，促使學生明白“數形結合”思想、方程思想等.最后教師再引導學生大膽提出問題，不僅能提高學生將實際問題變換成數學問題的能力，還能培養學生的發散思維、創新意識和探究能力.

4 教學反思

一次函數是學生在初中階段初次接觸的函數，因此，學習經驗的總結和積累是十分重要的.把學習一次函數積累的經驗運用到學習其他函數的過程中，是一種很重要的能力.主要體現在以下幾個方面.

4.1 建立全新的研究思路

當學習一種全新的函數時，研究函數性質起關鍵性的作用，函數圖象則是一種研究函數性質的工具.從圖象的特性著手探索函數的本質，真正體會到函數的實際變化規律.例如，學生在以后學習正比例函數時要關注函數圖象的大致變化趨勢，根據觀察能發現函數的增減性；在函數變化趨勢相同的情況下，又觀察發現圖象的陡和緩能影響函數值的變化速度；等等.本質上就是充分研究函數的性質，以及函數表達式中自變量前面的系數與函數圖象的關系.雖然說函數種類不同，但所有的函數題目考查方式都是差不多的，用推衍出的思路研究類似的函數對象是一種很重要的能力.

4.2 “數形結合”思想

“數形結合”思想是研究函數最重要的思想，在繪制函數圖象的過程中要時刻分析解析式.例如在觀察解析式y=2x時，要根據y隨x的變化對函數整體的趨勢有大致了解.而在利用函數圖象總結相關性質時，要注重函數基本特征的代數表達，正確引導學生發現函數的變化規律.以上操作就是“數”和“形”之間的相互轉換，讓學生自行體驗從抽象到具體，從特殊到一般的思想.

總之，讓學生更好地理解一次函數是一次函數的教學重點、同時也是難點.不能因為它是難點，就回避問題，而要像本文所設計的一樣，在學生理解的基礎上，結合相關實際情況，因材施教，讓學生自主形成發散思維，才是應有的教育態度.