例析求分式值的幾種常用方法

甘肅省白銀市白銀區武川新村學校

王花香

分式的計算是“認識分式”這一章中的重點，而求分式的值是分式的計算中的重點.由此可見，掌握求分式的值的方法，對提高學生本章知識點的掌握程度和應用能力具有積極意義.所以，本文中在舉例分析的基礎上，利用舉一反三或變式等方法，呈現求分式的值的幾種常用方法，以期幫助一線教師不斷提高課堂教學效率.

通過對近幾年各地中考數學試卷的分類整理發現，求分式的值多以解答題形式出現，在某些省市區的試卷中也會以選擇、填空題的形式出現.下面，筆者采用例題分析的方式展現求分式的值的幾種方法.

1 參數法

參數法是解決求分式的值這類問題時最常用的方法，掌握這種方法，也就能解決大部分求分式的值的問題[1].

分析：這道題中的條件以等比的形式出現，那么可以假設該比的比值為k，把待求式轉化為關于k的代數式的值.

x=3k，y=4k，z=6k.

方法總結：參數法指的是在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發生聯系的新變量(參數)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題[2].此外，運用參數法需注意兩個問題：

第一，所設參數應保證不為零；

第二，不要受到引入的參數的干擾，因為最終該參數會消去.

在例1中，通過引入參數k，將x，y，z均用含k的代數式表示出來，最后消去參數k,求得結果.

y+z=kx，

①

x+z=ky，

②

x+y=kz.

③

于是，由①+②+③，可得

y+z+x+z+x+y=kx+ky+kz，

2(x+y+z)=k(x+y+z).

因為x+y+z≠0，所以k=2.

2 兩頭湊法

所謂兩頭湊法，其實就是觀察條件的特點思考所求分式需要怎樣的信息，或觀察所求分式的特點思考需要怎樣的條件[3].

④

將x=3y代入④,得

解法2：由于xy≠0，則根據分式的基本性質，將分式的分子、分母同時除以xy，得

所以，由⑤得

方法總結：解決分式的求值問題，最有效的方法是將題目已知條件和所求問題一同考慮.根據這一思路，首先要考慮條件能為所求問題提供什么有價值的信息，然后考慮所求問題需要條件能提供什么有效信息，這就是兩頭湊法[4].

需注意的是，在變形已知條件時，應該使變形所得到的式子在所求的式子中可用，如解法1；或者，變形所求的式子時，應該與已知條件有明顯的、直接的聯系，如解法2.

3 整體法

整體法和“認識分式”這一章中蘊含的整體思想有關聯.

x+y=5xy.

⑥

所以將⑥代入⑦中，得

解法3：由題意可知x≠0，y≠0，所以xy≠0.

將分式的分子、分母同時除以xy，可得

總而言之，求分式的值的方法非常多.本文中所例舉的參數法、兩頭湊法和整體法是幾種比較常用的方法.這幾種方法靈活性較強，一線數學教師應抓住機會構建高效課堂，讓學生在這樣的課堂中得到較充分的訓練.