微專題：初中數學復習教學的新模式

錢馮良

［摘? 要］ 微專題復習教學將零散的知識點進行整理，使數學知識呈現整體化和系統化，能夠使學生形成完整知識框架，從結構上整體把握. 教師通過專題設計，以問題為載體，激發學生主動參與學習的熱情，培養學生的動手實踐能力，提高學生的學習效率.

［關鍵詞］ 微專題；初中數學；復習教學；整體化；系統化

微專題教學是以一定的主題將相關知識進行整合，并通過問題進行復習的一種教學方式. 長期以來單純的復習教學容易陷入“炒冷飯”或者習題講評的誤區，影響了復習的效果，也導致學生對復習課提不起興趣. 新課程改革對于數學課堂提出了具體的要求，要求在課堂上開展教學活動，落實學生的主體地位，引導學生積極主動地參與學習和獲取新的知識，培養學生交流合作及自主學習的能力. 因此數學課堂應該具有整體性和系統性，將教材內容有機整合，使其符合學生的認知特點. 倘若在復習課中還是按照書本的章節進行按部就班、形式單一的復習，不利于學生建構完整的知識體系. 部分學生為了提高自己的考試成績，常常采用“題?！睉鹦g，耗費大量的時間和精力做題，不僅沒能體會數學核心思想，學會用數學的眼光看待世界，還導致缺乏創新意識. 微專題復習能彌補復習課中的上述不足，能從一個較小的切入點帶領學生進行深入研究，同時又能擺脫零散的知識點教學，構建完整的知識體系，由于微專題的切口小，還能避免因過大的專題導致思維太過跳躍，使學生學得太過吃力的問題［1］. 筆者進行一些微專題的復習教學嘗試，取得了不錯的效果. 下面以“數軸上的動點問題”為例，談一談微專題復習教學的具體實踐，與同行交流探討.

研究背景

初一數學中有一個比較困擾學生的難點就是“數軸上的動點問題”，它是點在數軸上運動而形成的各種問題，相關題型綜合考查學生對知識的掌握情況以及運用知識的能力，因此一般以試卷中的壓軸題的形式出現，常常讓許多學生望而生畏，大約一半以上的學生不能順利解決這類問題. 其原因主要是學生對這類問題沒有完整而清晰的認識，對題目考查的本質意圖沒有理解，導致學生每次遇到這類問題雖然能聽懂教師的講解，但是自己獨立完成時又找不到解題的思路. 筆者嘗試利用微專題進行專項復習，利用預習單進行有針對性的復習，獲得了不錯的成效.

教學過程

1. 課前導學——有效預習

課前教師精心設計了“預習單”（如表1），提前發給學生，并要求學生在獨立學習的基礎上，在組內進行適當的研討. 教師可以有意識地對小組的組長進行適當培訓，對研討的內容和目的進行說明.

2. 課堂展示——匯報交流

課堂教學開始，教師利用多媒體出示“預習單”，并指出其中的問題，讓學生以小組為單位進行匯報交流. 教師在聽取小組匯報的過程中進行追問和評價，并組織學生之間和小組之間進行互評，提出建議，最后教師進行總結.

（1）數軸上的動點問題，不僅有數量關系，還有圖形關系，因此數軸上的動點問題可以通過數量的加減進行計算. 本課主要通過數形結合的方式來研究數軸上的動點問題的解決方法. （明確本課主題）

（2）通過絕對值來表示兩點之間的距離可以實現多種不同的情況采用統一的表達方式.

（3）使用含有字母的代數式來表示數軸上的動點P的位置，其依據是加法運算中的幾何意義、利用含有字母t的代數式表示M點的位置的依據是根據題目中線段之間的數量關系，并且可以通過列方程進行表達.

設計說明 通過檢查學生的“預習單”，發現學生在預習之后基本會模仿樣例對加法計算的幾何意義進行描述，并且會使用絕對值表示兩點之間的距離，對于“預習單”中數軸上的動點問題也能基本解決，但是部分學生還不能解答“預習單”上“拓展思考”的問題. 因此，在課堂教學中，對于學生已經學會的問題教師不需要再進行重復教學，只要在學生展示過程中加以指導，引導學生解答疑難問題即可，這樣達到突出重點、詳略得當的目的［2］.

3. 探究活動——解決問題

問題1? 已知，如圖3，數軸上的點A和點B分別表示－15和9，點P和點Q分別從點A和點B同時開始沿著數軸正方向移動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度. 設運動時間為t秒，請問：

（1）在運動過程中，你可以用含有t的代數式來表示點P的位置嗎？

（2）在運動過程中，若點P，點Q和原點這三個點中的一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，t等于多少？

教學設計：

第一步，請一個學生回答問題（1），并進行追問，用含有t的代數式來表示點P的位置的依據是什么？

第二步，引導學生分析解決問題（2）可以分為幾種情況.

第三步，請學生自主思考并小組合作計算，同時教師進行巡視指導.

第四步，組織學生進行成果展示，教師進行指導評價，并組織學生和小組之間進行互評.

第五步，教師講解規范的答題過程：

①當點P在點O的左邊時，點O是中點，因此可以列式－15+3t=－（9+t），解得t的值為3/2.

②當點P在點O的右邊，在點Q的左邊，并且是中點時，可以列式1/2（9+t）=－15+3t，解得t的值為39/5.

③當點P在點O、點Q的右邊，點Q是中點時，可以列式2（9+t）=－15+3t，解得t的值為33.

最后，教師總結本題的基本解答思路：首先用含有t的代數式表示動點的位置，再通過分類的辦法，分情況進行討論分析，利用和線段有關的數量關系列方程進行求解.

問題2? 已知，如圖4，數軸上點A、點B和點C分別表示－24、－10和10，兩只小甲蟲分別從點A和點C同時出發相向而行，甲的速度是每秒4個單位長度，乙的速度是每秒6個單位長度. 請問：

（1）若甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，那么它們運動了多長時間？

（2）甲、乙會在哪個點相遇？請你在數軸上表示出來.

（3）當甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度時，立即掉頭返回，請問：甲、乙還會在數軸上相遇嗎？如果能，請你求出它們相遇的點. 如果不能，請你說明理由.

教學設計：

第一步，引導學生分析問題（1）的解題方法：

①如果甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，那么甲會在點C的右邊嗎？

②假設它們運動的時間為t秒，請你用含有t的代數式表示甲的位置.

③請問怎么表示甲分別到點A、B、C的距離？

④若甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，請你列出相應的方程.

⑤你能求出上題所列方程的解嗎？

第二步，引導學生分析問題（2）的解題方法：

①設運動時間為t秒，請你分別用含有t的代數式表示甲和乙的位置.

②根據已知條件，可以列出哪些方程？

③所列的方程的解是什么？它們相遇的點在哪里？

第三步，引導學生分析問題（3）的解題方法：

①當t的值為2時，請問甲、乙分別在哪里？甲、乙它們能相遇嗎？為什么？

②當t的值為5時，請問甲、乙分別在哪里？甲、乙它們能相遇嗎？為什么？

最后，教師呈現規范解題過程：

①設運動時間為t秒，那么甲的位置為（－24+4t），根據題意可以列式：（－24+4t）－（－24）+（－24+4t）－（－10）+10－（－24+4t）=40，解得t的值為2或者5.

②設運動時間為t秒，那么甲的位置為（－24+4t），乙的位置為（10－6t），根據已知條件可以列式：（－24+4t）－（－24）+10－（10－6t）=10－（－24）. 經過計算，可以得到t的值為3.4，因此相遇的點可以表示為－24+4×3.4= －10.4.

③當t的值為2時，甲的位置表示的數為－16，乙的位置表示的數為－2. 因為乙比甲的速度快，所以乙可以追上甲. 根據題意可以列式：－2－（－2－6t）－［－16－（－16－4t）］=－2－（－16）. 經過計算可以得到t的值為7，即相遇的點可以表示為－2－6×7=－44.

當t的值為5時，甲位置表示的數是－4，乙位置表示的數是－20，因為甲比乙的速度慢，所以甲和乙不能相遇.

問題3? 已知，如圖5，點A、B和線段CD都在數軸上，點A表示－2，點C表示0，點D表示3，點B表示12，線段CD以每秒1個單位長度的速度向正方向移動. 設運動時間為t秒，回答下列問題：

（1）當t的值分別為0和2時，線段AC的長度分別是多少？

（2）請用含有t的代數式表示線段AC的長.

（3）若AC與BD的差為5，那么t的值是多少？若AC與BD的和為15，那么t的值是多少？

（4）如果點A與線段CD同時出發沿數軸的正方向移動，點A的速度為每秒2個單位長度，在移動過程中，能使AC的長度等于BD的2倍嗎？如果可以，請求出t的值；如果不可以，請說明理由.

教學過程：

第一步，請學生回答問題（1）.

第二步，再請一位學生回答問題（2）.

第三步，引導學生對問題（3）的解題方法進行分析：

①在移動過程中，點D在點B的左邊還是右邊？

②設移動的時間為t秒，你能用含有t的代數式分別表示動點C和動點D的位置嗎？

③AC與BD的差為5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

④AC與BD的和為5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

第四步，引導學生對問題（4）的解題方法進行分析：

①在移動過程中，點D在點B的左邊還是右邊？點A在點C的左邊還是右邊？

②設移動的時間為t秒，那么動點A的位置為（－2+2t），動點C的位置為（0+t），動點D的位置為（3+t），你能用含有t的代數式分別表示AC與BD的長度嗎？

③假設AC是BD長度的2倍，那么可以列出哪些方程？這些方程的解是什么？

④請你根據方程的解來回答問題.

最后，教師呈現問題（4）的規范解題過程：

設運動時間為t秒，那么點A的位置為（－2+2t），點C的位置為（0+t），點D的位置為（3+t）. 假設AC的長度是BD長度的2倍，那么可以列式：（－2+2t）－（0+t）=2（3+t）－12，經過計算可以得到t的值為16或者20/3，因此，當t等于16秒或者20/3秒時，AC的長度是BD的長度的2倍.

總結 數軸上的動點問題的基本解題思路是：首先用含有字母的代數式將動點的位置表示出來，接著通過分類討論結合已知條件列方程進行計算. 學生的錯誤或者解題的困難主要表現在：不會有效利用代數式表示動點的位置，缺少分類討論的思維能力，缺少利用絕對值對線段的長度進行表示并列出方程的經驗［3］. 因此在教學時還應著重引導學生利用已學知識進行方法的建構.

4. 回顧反思——認識內化

首先，教師列出一系列問題，引導學生對這些問題進行思考和總結.

（1）解決數軸上的動點問題一般有哪些步驟？

（2）為什么要用含有字母的代數式表示動點的位置？

（3）運用絕對值表示線段的長度有哪些好處？

（4）通過今天的學習你有哪些收獲？

其次，在學生進行交流討論時，教師適當指導.

最后，教師進行課堂總結. ？搖

教后反思

微專題的數學復習教學方式體現了以過程為核心、以學生為主體的教育理念，對于問題中涉及的知識技能、解題思路、數學思想等通過分類討論、引導探究、逐步總結的方式一一呈現，條理清晰，教學過程層層遞進. 在教學活動中，學生的觀察能力、思維能力、數學猜想能力和分類討論能力得到了有效的提升. 本課例的成功關鍵在于：第一，為學生提供了有效的“預習單”，學生在課前做了充分的準備，使課堂教學重點更加突出和具有針對性；第二，教師對專題進行了深入研究和理解，精心設計了環環相扣的問題，引導學生由淺入深地進行學習，提高了課堂教學效率.

參考文獻：

［1］ 王煒煜. 基于核心素養下中學數學教學中數學思想方法的滲透［J］. 中學數學研究（華南師范大學版），2020（06）：13-15.

［2］ 李樹臣，曹繼生. 加強思想方法教學提高學生整體素養［J］. 中學數學雜志，2017（10）：3-7.

［3］ 劉岳，康翠. 初中數學簡約課堂教學的探索與實踐［J］. 教學與管理，2015（25）：41-44.