初中數學教學中認知地圖的意義理解與構造嘗試

劉紅

［摘? 要］ 在初中數學教學中，純粹經驗性的教學研究是不夠的，其只能夠讓教師在經驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破并不容易，原因是只有經驗而沒有理論. 站在學生的角度看，對認知最重要的把握就是建立一個認知地圖，可以說認知地圖越完整、越清晰，學生的學習過程就越順利. 認知地圖是通過地圖的方式來描述學生的認知過程. 借鑒道路、標志、節點、區域和邊界等要素來描述學生的認知，為學生的學習過程尋找道路、標志、節點、區域和邊界，可以發現學生在學習的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現哪些重要的標志，同時也能夠判斷出學生學習的重要節點，還能夠對學生的學習范圍、思維范圍作出一定的界定. 教師掌握了認知地圖這一理論工具，就可以借助其強大的闡釋性，對學生的學習過程有更為精確的把握；還可以借助其預見性，對學生的學習過程進行預設，從而提前采取有針對性的教學措施. 面向未來的初中數學教學，要充分利用好認知地圖這樣的工具，這樣才能讓立德樹人以及核心素養發展目標的落地變得更加有保障.

［關鍵詞］ 初中數學；認知地圖；意義理解；構造嘗試

在初中數學教學中，通過對學生學習過程的研究來提高教學效率，是很多教師的自然選擇. 在這一選擇之下，通過對比研究可以發現，絕大多數教師的研究都是經驗取向的，也就是總在自己的經驗基礎上，對學生的學習過程進行分析，然后形成相應的教學舉措. 應當說這樣的努力是具有一定成效的，對絕大多數一線教師而言，也是難能可貴的教學研究取向. 如果注意觀察，我們可以發現身邊確實存在著這樣的優秀教師，而這樣的專業發展路徑，也符合“經驗加反思”的基本思路，因此具有一定的理論自洽性. 與此同時，我們應當注意到，純粹經驗性的教學研究是不夠的，其只能夠讓教師在經驗上有所收獲，但是要想形成真正的突破卻并不容易，原因是只有經驗而沒有理論，那么教學研究只能借助經驗的車輪緩慢前進.

那么，這里所說的理論是什么呢？要知道對于一線教師而言，提及理論往往并不是一件很受歡迎的事，二十多年的課程改革讓不少教師厭惡了理論的空轉——不能對實際教學產生直接且有益的指導作用. 應當說這也是一個事實，如果反思這一事實就可以發現，這些理論之所以難接地氣，很大程度上是因為這些理論與學生的學習過程之間，難以形成直接的匹配關系，說得直白一點就是解釋性不強，其直接結果就是指導性不強. 很顯然，一線教師并沒有太多的時間與精力，去建立起這種相對抽象的理論與實際教學之間的關系. 那么有沒有一種理論，能夠直接解釋教學并指導教學呢？筆者以為還是有的，認知地圖就是屬于這種理論.

在闡述認知地圖之前，有必要先強調一下認知的意義. 具備一定理論知識的初中數學教師都知道，認知對于一線教師而言是一個重要的概念，可以認為學生的學習過程就是認知發展的過程. 從專業的角度來看，認知是指人們獲得知識或應用知識的過程，認知心理學當中最基本的表達之一，就是信息加工理論. 人們認為學習的過程就是在感覺知覺的作用之下，通過信息的輸入與加工，進而實現新的信息輸出的過程. 當然除了信息加工理論，認知心理學當中還有其他一些流派，這些流派無一例外地都強調對信息的獲取與加工，只不過側重點有所不同而已. 而站在學生的角度看，對認知最重要的把握就是建立一個認知地圖，可以說認知地圖越完整越清晰，學生的學習過程就越順利. 數學知識是抽象的，我國的初中數學教材具有一定的難度，這意味著學生在學習的時候會遇到更多的挑戰. 因此，教師要從經驗的角度做出努力，借助認知地圖這樣的工具，讓日常的初中數學教學取得事半功倍的效果.

初中數學教學中認知地圖的意義理解

初中數學教學過程是教師對初中生進行相應難度的數學知識教學的過程. 我國的初中數學知識之所以具有一定的難度，其實就是因為數學概念與規律之間的聯系體現得比較充分. 對初中生而言，無論是對概念和規律的學習還是對它們之間聯系的建立，都需要付出一定的努力，因此也就有了所謂的難題. 解決這些難題最好的辦法不是重復訓練，而是在把握學生認知規律的基礎上，采取有針對性的教學. 顯然，要想準確把握學生在數學學習過程中表現出來的認知規律，教師首先必須對學生的數學學習過程有一個清晰的認識. 由于學生的數學學習過程是內隱的，因此通過直接的觀察難以得出結論. 這個時候就有了兩個選擇：一是基于學生的學習結果進行反推，這實際上就是經驗取向；二是對學生的學習過程建立模型，這實際上就是理論取向. 相比較而言，如果能夠根據學生的學習建立起準確的模型，那么教學效益就會更高. 在筆者看來，認知地圖就是這種模型.

所謂認知地圖，就是通過地圖的方式來描述學生的認知過程. 地圖實物通常包括道路、標志、節點、區域和邊界等要素，借鑒這些要素來描述學生的認知，為學生的學習過程尋找道路、標志、節點、區域和邊界，就可以發現學生在學習的過程中遵循怎樣的路徑、有可能出現哪些重要的標志，同時也能夠判斷出學生學習過程中的重要節點，還能夠對學生的學習范圍、思維范圍作出一定的界定. 顯然，教師借助認知地圖的概念，可以對學生的學習過程進行更為準確的描述.

可能有教師會提出：認知地圖這么抽象的概念，要想運用到實際教學當中并不容易. 確實從概念的角度來看，認知地圖對于很多初中數學教師來說并不熟悉. 但是實際上在教師的經驗系統當中，有很多努力與認知地圖實際上是高度重合的，如果能夠將經驗系統中的相關認識，用認知地圖的相關理論來描述，就會發現認知地圖實際上是一個我們再熟悉不過的概念. 比如對于當下熱門的學案，就有研究者指出，學案如能貼合學生學習心理與認知發展規律，可引領學生“按圖索驥”完成學習任務，因而可以成為學生學習的一個認知地圖［1］. 從這個角度看，教師只要在日常教學當中積累了關于學生學習的相關經驗，借助類似于學案這樣的有形工具來促進學生的數學學習，那理解認知地圖就沒有太多的困難.

一旦教師掌握了認知地圖這一理論工具，那么就可以借助其強大的闡釋性，對學生的學習過程有更為精確的把握；同時可以借助認知地圖的預見性，對學生的學習過程進行預設，從而提前采取有針對性的教學措施. 如果初中數學教學能夠進入這樣的狀態，那么認知地圖的意義就充分體現出來了.

初中數學教學中認知地圖的構造嘗試

對于初中數學教師而言，認識到認知地圖的價值只是運用其指導教學的第一步，更重要的一步是在日常的教學當中能夠將其作為一個工具. 當然建立一個工具，并且能夠熟練使用也不容易，根據筆者的經驗，如果能夠對照日常的教學嘗試去構造認知地圖這個工具，那么教師就會在這過程中對認知地圖越來越熟悉，應用也會越來越熟練，最終做到得心應手. 有研究表明，認知地圖的建構有兩個重要環節：一是教師的教學設計環節，二是具體的教學實踐環節. 而且研究表明，只有當學生具有了認知地圖建構能力，他們才能在具體的數學學習過程中擁有清晰的學習對象，擁有清晰的思維過程，才能有效實現核心素養的提升［2］.

“平面直角坐標系”是初中數學知識體系中的一個基本概念，因為其具有基礎性，所以教師在教學中必須高度重視，要想方設法幫助學生建立起關于平面直角坐標系的清晰表象，還要讓學生在學習的過程中獲得相應的方法性認識，以提升自身的數學學習品質和數學學科核心素養. 那么從認知地圖構造的角度看，平面直角坐標系這一內容的教學應當如何設計呢？

首先，要充分激活學生的生活經驗.

初中生的數學學習需要表象的支撐，絕大多數情況之下，表象都來自生活經驗（有時也來自學生的想象）. 平面直角坐標系這一概念，對于初中生來說，很難基于字面的意思去完成想象——筆者進行過多次調查研究，都發現初中生在面對平面直角坐標系這一概念的時候，最多只能在大腦中出現平面和直角的表象，無法讓兩者之間形成聯系，更加不知道坐標系是何物. 面對這樣的實際情況，教師就必須激活學生的生活經驗.

最常見的經驗就是生活中出現的“第幾排，第幾列”這種確定位置的情況，這個時候教師應當讓學生自己舉例，無論是教室中的座位還是電影院中的座位，例子越多，那么學生分析的對象就越多，在后一個環節完成數學抽象的時候，思維加工就越充分，所形成的表象也就越清晰.

其次，要引導學生進行適度的數學抽象.

數學抽象是學生學習數學知識的重要過程，也是一個重要的數學工具. 數學抽象的對象是形象的事物，數學抽象的結果是用數與形來描述形象的例子. 剝離生活實例中的非數學因素，只留下與數學相關的因素，就是數學抽象的過程. 比如在上述例子當中，讓學生描述自己在教室的哪個位置，學生通常就會說是“第幾組的第幾個”. 這個時候教師就要引導學生認識到，“第幾組的第幾個”，實際上就是從“排”與“列”的角度去確定位置，而從數學的角度來看，“排”與“列”其實就是相互垂直的兩條線（這個時候有少數學生會想到槍械的瞄準儀也是通過相互垂直的兩條線的交點來確定位置的，這一生活經驗也可以加以利用）. 事實上，有了這樣的引導，學生的大腦當中就出現了相互垂直的兩條線的表象，而這正是平面直角坐標系的雛形.

最后，要引導學生學會用恰當的數學語言來描述抽象結果.

有了上述雛形之后，教師的另一個教學任務就是完善這個雛形，使之變成平面直角坐標系. 這里可以借助對上述位置的具體分析來完成，限于篇幅，不再贅述.

在這里有必要從認知地圖的角度來解析這樣的教學設計，也就是要回答一個問題：為什么說這樣的教學設計能夠讓學生獲得一個清晰的學習過程？換一個問法就是：為什么說這樣的教學設計能夠讓學生擁有一個清晰的認知地圖？

上文已經提及認知地圖具有道路、標志、節點、區域和邊界等要素，上述教學設計對這些要素的關注是清晰的：讓學生舉出生活中“確定位置”的例子，實際上就規定了學生的學習范圍，亦即明確了學生學習的邊界；從生活實例的舉出，到對生活實例的分析與綜合，再到對生活實例進行抽象，然后是用數學語言來描述數學抽象的結果——這是一個清晰的學習過程，也是從形象思維到抽象思維的學習過程. 這樣的過程不僅符合初中生的認知規律，更重要的是讓學生體驗了一個通過自身思維加工所輸入或激活的信息，最終得到數學概念的學習過程. 當這一過程被學生強化之后，就有可能成為數學概念建構或規律建立的方法性認識，這對于促進學生理解數學思想方法、提升自身學習品質有著重要的作用. 因此，教師可以認為通過上述教學設計，學生能夠經歷一個合理的學習過程——后來的教學實踐也證明了這一點，這就說明認知地圖是行之有效的.

初中數學教學中認知地圖的實踐前景

當前，包括數學學科在內的初中數學教學正經歷著不小的變化，立德樹人目標的實現、核心素養概念的提出、新的《義務教育數學課程標準》的頒布，都意味著初中數學教學必須以新的面貌，來與這些新的情況進行匹配. 這既需要借助教師的教學經驗，又需要相應的理論指導.

如同上文所指出的那樣，這里所說的理論不是飄在空中的理論，而是接地氣的理論，是能夠具體指導實際教學的理論. 認知地圖這一理論，與我國師范教育實際上是一脈相承的——我國師范教育中的心理學主要就是指認知心理學；同時也是與教師的經驗相匹配的，教師經驗中的很多收獲與認識，都可以用認知地圖來描述. 因此，認知地圖在初中數學教學當中有著強大的生命力.

這種生命力體現在新時代背景下的初中數學教學中，就是對學生學習過程的精確描述，對學生學習過程中可能遇到的困難進行準確的判斷. 這樣就可以讓教師提前做好相關的教學準備，從而提高課堂教學的效率. 總而言之，在初中數學教學中幫助學生建構認知地圖，無論是從傳統的知識學習與運用的角度來看，還是從核心素養培育的角度來看，都有著十分重要的理論意義［2］. 面向未來的初中數學教學，教師要充分利用好認知地圖，這樣就能讓立德樹人以及核心素養發展目標的落地變得更加有保障.

參考文獻：

［1］ 章飛，顧繼玲. 指向認知地圖形成的初中數學學案設計［J］. 教學與管理， 2019（10）：62-64.

［2］ 丁麗云. 初中數學教學中認知地圖的建構意義——核心素養培育的視角之下［J］. 數學教學通訊，2021（29）：47-48.