初中數學教學中數學抽象的理解與實踐

陳金生

［摘? 要］ 教師要想讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，就必須對數學抽象這一概念形成正確的理論理解，并對實踐的正確途徑做出探究. 教師進行數學抽象的教學，要立足于學生的經驗和認知特點，要讓學生經歷一個相對豐滿的數學抽象過程，這樣才能讓學生在建構數學知識的過程中形成數學眼光，并且將數學眼光進一步應用于后續的數學知識學習中. 數學抽象有兩個端點：前一個端點是學生所能感知的現實世界，后一個端點是數學語言所描述的現實世界. 如果兩個端點以及中間的過程是科學的，那么數學抽象對于學生來說便是一種豐富的體驗，能夠讓學生在學習的過程中充分參與，進而獲得數學抽象素養的培養.

［關鍵詞］ 初中數學；數學抽象；理解；實踐

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）發布之前，初中數學教師在理解數學學科核心素養的時候，借鑒的是高中階段的相關表述，其中提及數學學科核心素養組成要素的時候，明確第一要素就是數學抽象. 在新課標頒布之后，可以發現其中并沒有數學抽象這樣的明確提法，只是強調要用數學的眼光觀察現實世界. 實際上，用數學的眼光觀察現實世界，指的就是數學抽象，只不過這種說法對初中學生而言，有著更多的失去性. 站在數學的角度看數學抽象，可以認為數學抽象是從空間形式與數量關系中得到數學研究對象的思維過程. 這樣一個過程，即使在核心素養沒有明確提出之前，在初中數學教學當中就已經有著充分的體現. 而在明確了數學學科核心素養的組成要素之后，數學抽象有了更加獨立的地位，當然也有了更加重要的地位. 教師要想讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，就必須借助數學抽象這一概念來形成正確的理論理解，以及付諸實踐.

初中數學教學中數學抽象的理解

初中數學教師都知道數學是研究數與形的學科，在這一表述當中，數與形是兩個抽象的概念. 也就是說數學的研究對象并不是現實世界中的實際物體，而是在對現實世界中的實際物體進行抽象之后，所獲得的與數或形相關的對象. 對數學研究者以及數學教師而言，日常的工作中對數與形已有了充分的加工，這種由先天釋放機制形成的熟悉感，容易讓教師忽視學生在學習數學時可能遇到的陌生感. 眾所周知，初中階段學生的思維特點在于形象思維與抽象思維并重，且正由形象思維向抽象思維轉化［1］. 這個轉化過程中學生會遇到諸多困難，很多時候學生難以自主解決這些困難，這就造成了數學學習的諸多挑戰——通過研究可以發現很多挑戰都出現在數學抽象的過程中，但是如果教師忽視了數學抽象的復雜性及其對學生學習產生的障礙，教師的教與學生的學之間就會出現脫節. 因此，一個稱職的初中數學教師一定會高度重視數學抽象過程的教學，而其前提就是對數學抽象必須有正確的理解.

這里所說的數學抽象理解，應當是站在學生角度的理解. 以“全等形”“全等三角形”相關知識的學習為例，雖然學生在生活中肯定會有“兩個物體一模一樣”的經驗性認識（當然這里要防止哲學意義上的“世界上沒有一模一樣的物體”的判斷干擾，關于這一話題，這里不再贅述），但是他們在生活當中也很難用數學的眼光去看待這些問題. 那么“全等形”這一知識的教學，實際上就是引導學生用數學的眼光去看生活中“一模一樣的物體”. 從“一模一樣的物體”到“全等形”之間的距離的判斷，是“全等形”教學中完成數學抽象的關鍵.

換句話說，只有站在學生的角度去思考“如果面前出現兩個一模一樣的物體，如何建立‘全等形概念呢”這一問題，尤其是重視學生在思考這一問題時可能會有哪些具體的想法，才能將學生的思維去逐步抽絲剝繭，并最終讓其獲得數學意義上的“全等形”概念. 這樣的教學思路相對于傳統的教學思路或某些版本的教材編寫而言，更貼近學生的學習實際，更有助于將學生的學習出發點錨定在生活上，將學生的學習落腳點錨定在數學上. 有些教材是直接給學生兩幅相同的圖片，然后告訴他們“像這樣能夠完全重合的兩個圖形叫做‘全等形”. 如果教師按照這種思路去教學，實際上學生所經歷的只是一個被動獲得知識的過程，并不利于對數學抽象素養的培養.

所以綜合來看，關于數學抽象的教學，要立足于學生的經驗和認知特點，要讓學生經歷一個相對完整的數學抽象過程，這樣才能讓學生在建構數學知識的過程中形成數學思維，并且將數學思維進一步應用于后續的數學知識學習中.

初中數學教學中數學抽象的實踐

實際上數學抽象有兩個端點：前一個端點是學生所能感知的現實世界，后一個端點是數學語言所描述的現實世界. 要讓學生的數學抽象過程更完整，很大程度上取決于教師的教學思路以及實踐途徑. 有研究者認為，初中數學抽象的培養關鍵點包括：情境創設，即從生活情境走向數學情境；深度學習，即從循環類比走向結構生成；實踐體驗，即從系統關聯走向綜合解決［2］. 這樣的判斷明確指出了數學抽象的出發點與落腳點，而且強調了數學抽象應有的思維過程，事實證明，如果兩個端點以及中間的過程是科學的，那么數學抽象對于學生來說便是一個良好的體驗，能夠讓學生在學習的過程中充分參與，進而獲得數學抽象素養的培養.

以上面所說的“全等形”概念教學為例. 將教學的出發點從課本上給出的兩個相同的平面圖形，前移到學生生活中兩個相同的物體，這樣做最大的好處就是學生的認知出發點為自身的生活經驗. 教學的時候，教師可以直接讓學生舉出相關的例子. 在學生舉出相關例子之后，教師可以反問一個問題：你如何判斷這兩個物體是一模一樣的？提出這個問題的目的，不在于讓學生說出統一的答案，而在于驅動學生對自己所舉的例子進行深度思考，同時也可以為數學抽象的培養打下基礎. 學生在思考的時候，思維必然會加工自己所舉例子中的那些物體，這個時候學生很容易形成“對應”和“相同、一樣”等認識，連起來說就是“兩個一模一樣的物體對應的部位是相同的”——這是學生在學習過程中所進行的描述. 這一描述中的“相同”在教師的意料之內，而“對應”則在教師的意料之外. 要知道在后續證明三角形全等的時候，特別強調的一點就是“對應”，事實上也通常是在這個時候，教師才會強調“對應”的重要性. 但是通過以上的教學設計與實施可以發現，當學生有充分的數學抽象空間的時候，“全等形”所強調的“對應”可以提前出現，這很顯然非常有助于學生后續學習全等三角形性質及判定知識.

其后，教師可以引導學生進一步進行簡化，將學生所舉例子中的立體圖形分成一類、平面圖形分成另一類. 學生很容易發現，如果研究對象是平面圖形，學習起來相對簡單. 于是學生就會遵循由易到難的原則去學習——這種原則認識對于學生學習品質的提升來說也是有意義的. 由于前面已經有了相對深度的學習過程，因此當學生的觀察對象變成兩個一模一樣的平面圖形時，他們會有輕車熟路之感，讓他們總結這些圖形的規律，很多學生也會想到“重合”這個關鍵詞. 這時，只要教師稍加點撥，“完全重合”就會成為學生能夠自然接受的認識.

初中數學教學中數學抽象的反思

通過上面的例子可以得出的一個基本結論：初中數學教學中的數學抽象教學，目的在于發展學生的數學抽象素養，在于培養學生的數學眼光.

數學眼光顯然不是天然形成的，只有經歷了相對系統的數學抽象訓練，讓學生養成看待現實世界中的相關事物時帶著數學的意識，然后借助自己所學過的數學知識去加工這些實際物體，那么學生在現實世界當中，才有可能從數學的角度去對這些實際事物進行思考與判斷.

從這個角度來看，數學眼光的培養是初中數學教學中數學抽象素養培養的通俗表達. 教師一定要站在學生的角度洞察學生的認知基礎及生活經驗，知道怎樣借助學生經驗系統中的素材來創設情境，知道怎樣基于學生的認知特點去設計問題，以讓學生經歷一個完整的數學抽象過程. 大量的教學實踐經驗表明，當學生經歷了這些過程之后，數學眼光就會慢慢被培養. 學生在現實世界中遇到相關問題的時候，就會自然而然地從數學的角度給出或多或少的解釋與判斷，這也就意味著數學抽象的種子已經種下，并且處于生長的狀態. 如此長期堅持，數學抽象素養的養成目標就會真正實現.

通過上面的分析可以發現，教師在初中數學教學中落實數學抽象素養，需要基于學生視角的正確理解. 如果能夠做到這一點，那么數學抽象素養的落地，以及通過數學抽象素養的培養帶動其他數學學科核心素養組成要素的落地，就會在課堂上成為現實.

參考文獻：

［1］ 張本陸. 談初中數學教學中如何培養學生的抽象思維能力：以“變量與函數”的教學為例［J］. 數學教學通訊，2014（01）：9-10.

［2］ 吳小兵. 初中數學抽象的要義與培養關鍵點［J］. 教學與管理，2021（07）：39-41.