選用合適的方法，求解數列的通項公式

宋琳琳

通項公式是數列的一種表示形式.通過遞推關系式，往往可以求出該數列的通項公式.求數列的通項公式問題對同學們的邏輯推理與數學運算能力有較高的要求.當遞推關系式比較復雜時，很多同學不知該如何下手.下面介紹幾種常用的方法，供大家參考.

一、累加法

累加法也叫疊加法.當遇到形如[an-an-1=f（n）（n≥2]，且[n∈N?]）的遞推關系式時，可先將數列的各式累加，使等式左側的前后兩項相互抵消，只剩下第一項（[a1]）與最后一項（[an]），即[an=（an-an-1）+][（an-1-an-2）+]…[+（a2-a1）+a1]；再對右側的式子進行求和，即可求得[an].

在累加消項時，應注意消項的規律，明確要消去哪些項，保留哪些項，才能確保得到正確的結果.

二、累乘法

的各式累乘時，需使等式左側的前后兩項相約，最后只剩下第一項（[a1]）與最后一項（[an]）的比值.

三、構造法

構造法是求數列通項公式的常用方法.運用構造法解題，需將遞推關系式進行合理的變形，把某一部分看成一個整體，構造出等差數列或等比數列，以利用等差、等比數列的通項公式解題.

用構造法求數列的通項公式，要先仔細觀察遞推關系式，對其進行合理的變形，構造出新數列；再確定新數列的首項、公差、公比.在求出數列的通項公式后，還需對首項加以檢驗，如果不滿足所求的通項公式，就應分段表示數列的通項公式.

四、利用[Sn]與[an]的關系

我們知道，當[n≥2，n∈N*]時，數列的前n項和[Sn]與通項公式[an]的關系為[an=Sn-Sn-1].所以當題目中給出的遞推關系式中同時含有[Sn]與[an]時，要先利用[Sn]與[an]的關系消去[Sn]，再通過化簡求得數列的通項公式.

例5.已知數列[{an}]的前[n]項和[Sn=1-an]，其中[n∈N?].

（I）求[{an}]的通項公式；

（II）若[bn=nan]，求[{an}]的前[n]項和[Sn].

由[Sn]與[an]的關系求數列的通項公式時，應注意：（1）要重視分類討論思想的應用，分[n=1]和[n≥2]兩種情況討論；（2）要注意[Sn]與[an]互化的雙向性，既可由[an]求[Sn]，又可由[Sn]求[an].

以上四種方法都比較常用，運用每種方法解題，都需靈活運用轉化思想，對遞推關系式進行合理的變形，將問題轉化為簡單、易于計算的問題，這樣才能化難為易，化繁為簡.