解答多元變量最值問題的兩種措施

王紅霞

多元變量最值問題的命題形式多樣，其解法各不相同.由于問題中涉及了多個變量，所以有的同學常常不知如何下手，導致解題失敗.下面介紹兩種解答多元變量最值問題的措施：消元、數形結合.

一、消元

對于多元變量最值問題，其解題的基本思路自然是消元.由于問題中的幾個變量之間相互聯系，相互依存，所以可根據變量之間的關系，或通過換元來消去變量的個數，以達到消元、減元的目的.通過消元，即可將多元變量最值問題轉換為熟悉的一元或者二元最值問題，就能直接利用基本不等式、導數法、函數的性質來求最值.

先用a表示b，再根據化簡后的目標式進行換元，令[a+1=t]，即可將目標式化為關于t的一元函數式，再利用基本不等式進行求解，即可求得最值.

二、數形結合

有時我們仔細研究代數式，可挖掘出其背后的幾何意義，此時便可畫出或者構造出相應的幾何圖形，通過研究圖形中點、直線、曲線之間的位置關系，求得點之間、直線與點之間的距離，即可快速求得最值.

例3.設[ΔABC]的面積為2，若[∠A，∠B，∠C]所對應的邊分別為[a，b，c]，求[a2+2b2+3c2]的最小值.

解：以[AB]所在的直線為[x]軸，中垂線為[y]軸，建立直角坐標系，如圖所示，

則[a2+2b2+3c2=BC2+2AC2+3AB2]

我們構造出直角坐標系后，求得各個點的坐標，即可根據兩點間的距離公式將目標式化為關于c的一元代數式.對于多元變量最值問題，有時我們從幾何角度去尋找解題的思路，能尋找到更為便捷的解題方案.而運用數形結合法解題，則需構造出合適的幾何模型.這就要求同學們要學會運用發散思想，展開聯想.

可見，解答多元變量最值問題，只要學會根據已知關系式進行消元、構造出合適的幾何模型，尋找到合適的方法，便能快速破解難題，提升解題的效率.