理解概念本質 重構知識認知*
——從“圓周角”不同教學設計談幾何定理教學

無錫市東絳實驗學校

薛 鶯

《義務教育數學課程標準(2022版)》指出：“在教學中，應當引導學生在學好幾何概念、定理的基礎上掌握圖形規律，并著重培養學生的用圖能力.”由此可見，幾何定理不僅是獲取圖形信息的工具，而且是彰顯數學思想方法的重要載體，更是培養學生思維能力的良好素材．因此，幾何定理的教學是初中數學教學中的一個重要課型．基于此，無錫市陳鋒數學名師工作室對蘇科版九年級上冊“圓周角”一課展開了同堂異構活動，兩位成員對幾何定理的教學進行了一次有益的嘗試和深入的研討．

1 “圓周角”教學內容的說明

蘇科版教材中本節課的教學內容包括了圓周角的概念、圓周角的性質定理及其推論．對于初三學生來說，圓周角的概念直觀且易于理解，故本節課的重點放在圓周角的性質定理及其推論的探究和證明上．因此，本節課重點是幾何定理的教學；而性質定理中對圓周角的分類是學生的難點．

2 “圓周角”同堂異構的設計展示

2.1 第一位教師的教學設計

(1)情境創設，引出概念(略)

(2)動手操作，探索定理

①操作并探索：

(ⅰ)畫60°的圓心角∠BOC；

(ⅱ)作出弧BC所對的圓周角∠BAC．

②觀察并思考：

(ⅰ)弧BC所對的圓周角∠BAC唯一嗎？

(ⅱ)這樣的圓周角∠BAC可以作多少個？

(ⅲ)這些圓周角有什么共同的特點？

(ⅳ)這些圓周角和它所對的圓心角有怎樣的關系？

③演示并歸納：

(ⅰ)教師利用幾何畫板對學生的觀察結果分三種情況(圓心O在∠BAC的一邊上、圓心O在∠BAC的內部、圓心O在∠BAC的外部)進行驗證．

(ⅱ)歸納：同弧所對的圓周角有無數個且都相等，都等于它所對弧上的圓心角度數的一半．

設計意圖：先讓學生親自動手畫圖、觀察思考、實驗探究、發現結論，教師再利用幾何畫板從動態的角度進行演示、驗證，目的是引導學生用運動變化的觀點來研究問題，初步體會兩種數量關系：①同弧所對的圓周角和圓心角的關系；②同弧所對的圓周角的關系．

(3)訓練提高，拓展能力(略)

(4)交流體會，課堂總結

①學生歸納：談課堂學習收獲和體會．

②教師總結：本課知識點的梳理和探究過程中用到的數學思想方法歸納．

設計意圖：通過課堂總結幫助學生歸納、梳理本節的知識、技能、方法,培養學生的歸納、概括能力，使學生養成良好的學習習慣．

2.2 第二位教師的教學設計

(1)建構圓周角概念

①復習圓心角概念：展示圖片，回顧圓心角概念．

②遷移圓周角概念：移動圓心角頂點的位置至與⊙O相交，概括圓周角概念．

(2)探究圓周角定理

活動1:操作.

①看——觀察圓周角圖片．

②畫——在⊙O中畫出劣弧BC所對的圓心角和圓周角∠BAC．

③量——讓學生使用量角器測量圓周角、圓心角的度數．

活動2:猜想.猜想劣弧BC所對的圓心角和圓周角的關系.

活動3:驗證.引導學生根據下列問題分類畫圖，再通過證明驗證猜想．

①在平面內，可以畫出幾種圓心角與圓周角的位置關系，請嘗試．

②在圓中任意確定一條弧，作出這條弧所對的圓心角和三個不同位置的圓周角.

③你能證明這三種情況下猜想都成立嗎?

活動4:總結.圓周角定理——一條弧所對的圓周角等于它所對弧上的圓心角度數的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等．

活動5:拓展延伸.將圓心角的頂點繼續移動，移到⊙O內或⊙O外，讓學生觀察并度量，有學生會進一步發現角的度數和頂點的位置有關，讓學生思考，并作出一般化的猜想．

設計意圖：引導學生經歷操作觀察、動手度量、歸納猜想等基本數學活動，探索圓周角的性質，感知基本幾何事實；再通過細致的分析、完整的分類討論進行驗證，培養學生思維的深刻性和嚴密性．把直觀操作與邏輯推理有機結合，使將要進行的推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的延續．

(3)運用圓周角定理(略)

(4)反思圓周角的學習

反思①：你是怎樣發現圓周角的?它與圓心的位置關系又是怎樣發現的?對此有何啟發?

設計意圖：引導學生用運動變化的觀點來研究圖形之間的位置關系．

反思②：證明圓周角定理時,為何會想到圓心角?對此有何聯想?

設計意圖：啟發學生善于聯想,注意化歸思想的應用．

反思③：圓周角定理的證明過程是怎樣的?對此有何啟發?

設計意圖：強化特殊到一般的化歸思想及分類思想．

反思④：師生共同從知識、方法、數學思想等方面小結本節課所學內容．

設計意圖：“回頭看”和“回頭想”，使課堂教學前后呼應，讓學生真正體會到數學無處不在．

3 對幾何定理教學的維度思考

3.1 維度一：聯系與拓展結合，理解定理本質

幾何定理教學，不僅是幾何圖形顯性表征的探究和幾何圖形特征的理解，也是幾何定理的運用和拓展，或是幾何定理的發展和演變的教學．這樣可以將幾何定理的顯性特征和隱形本質更好地凸顯出來[1]．本節課中第一位教師是通過讓學生自己畫出同一條弧所對的圓周角(圓周角定理的基本模型)，再通過問題串引領學生利用幾何直觀，觀察概括這些模型的共同特點，從中抽象概括出這一幾何(圓周角)定理的本質；第二位教師的設計很巧妙，通過角的頂點位置的移動完成了一系列探究過程，更突出了幾何定理的聯系與拓展，不僅為學生提供了直觀的感性模型，幫助學生從實例中去理解抽象的圓周角定理的本質，而且從變化的角度對圓周角定理進行了有益的拓展和延伸，引導學生去發現和揭示其中蘊涵的數學原理，這樣的設計就更勝一籌．從定理拓展的角度來看，第二位教師甚至可以提出：在優弧BC上再取一些點，將該點與B，C連接，然后進行觀察、猜想和驗證，學生的思維由此拓展開來，更容易理解圓周角性質定理的本質．因此，在幾何定理探索過程中，教師應該多關注以下兩個方面：①幾何定理的基本性，即構成該幾何定理的基本元素和基本特征之間的聯系；②幾何定理的拓展性，即該定理在整個幾何體系中處在前后有發展、輻射、貫穿效能的節點.結合這兩個方面給出一些幾何定理的例證、變式和拓展等探索實踐活動，這樣，不僅能為學生搭建一個感性認識的平臺，而且還可引發學生對幾何定理的一些本質屬性和內涵規律更深層次的思考．

3.2 維度二：直觀與思考結合，深化定理內涵

數學家克萊因曾說：“數學的直觀就是對概念、定理、證明的直接把握.”直觀即借助經驗、觀察、聯想，對事物關系產生的直接感知；而幾何直觀是借助見到或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知，即通過直觀能建立起對自身體驗和外物體驗的對應關系.從這個意義上說，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解幾何定理．僅靠幾何直觀，確實可以讓學生對幾何定理有一個感性的認知，但是要進一步地深化幾何定理的內涵，真正讓學生建立幾何定理的感知、理解、掌握、體悟和觀念，還必須輔以理性的思考，讓學生對幾何定理的認識，真正實現從感性認識到理性認知的升華[2]．本節課對圓周角定理的探究中，第一位教師先通過動手畫指定弧所對的圓周角，再通過圖形直觀得到圓周角的特點，最后用幾何畫板驗證，這一設計不僅帶著明顯讓學生易于得到圓周角定理而設計的痕跡，而且看似嚴謹的認知過程還只是停留在直觀的感性認識層面，沒能促成學生對圓周角定理深層次的思考．因此，這一設計，從理性思維的角度來看是有所欠缺的．第二位教師的設計則是先通過操作(畫和量)、猜想，再利用分類畫圖，最后利用完整的推理證明驗證了猜想．這一系列手腦并用的過程，不僅讓學生的幾何直觀能力有了一定的提升，而且讓學生的理性思維得到了加強，讓學生的邏輯思維更為嚴密，從而幫助學生實現對幾何定理從形象思維認知向抽象邏輯思維認知的跨越．

3.3 維度三：思想與方法結合，拓展定理外延

數學學科的特點決定了數學教學要重視數學思想方法的滲透，通過數學思想方法引導學生如何去思考，從而培養學生的思維能力．對幾何圖形思想方法的理解有利于學生在幾何教學中對幾何對象的學習產生積極的正遷移.如在本節課學習前，學生已經積累了研究角、三角形、圓、弧、弦、圓心角等幾何圖形的經驗，理解了構成這些幾何圖形的基本元素，掌握了研究幾何圖形的基本問題、基本思路和基本方法.因此，本節課的教學中，教師要充分將學生已有的學習幾何圖形的思想和方法貫穿本節課的教學，并引導學生進一步強化這些思想方法．如在這節課的設計中，兩位教師都是從圖形的位置關系探索圖形的數量關系，是數形結合思想的應用，運用了實驗和驗證相結合的方式，即讓學生通過作圖、觀察、測量、猜想，再利用幾何畫板驗證或邏輯推理進行證明．又如在探究和推導圓周角定理時，第一位教師利用幾何畫板的動畫演示功能，設計了圓周角的頂點在圓周上運動的動畫，直觀地展示了圓心與圓周角的三種位置關系，為圓周角定理的證明創設了條件，較好地體現了分類討論的數學思想．第二位教師則是引導學生從圓心在圓周角一邊上這種最簡單、最特殊情況出發，再通過體會一般情況，為后續兩種情況下的證明提供了思路，體現了從特殊到一般的思想，同時也滲透了轉化、分類、化歸等數學思想．再如，在課堂總結時，兩位教師都通過學生反思、交流、歸納等方式，讓學生體會幾何定理中蘊含的思想方法，進而提高學生的數學素養．

4 對幾何定理教學的幾點建議

4.1 注重學生的自主探究活動

一些教師認為教學時間緊，訓練任務重，因而選擇一種快餐式的幾何定理教學，簡單說明定理的來由，然后讓學生記住幾何定理的結論，不花時間讓學生去經歷幾何定理形成的探索過程．而《義務教育數學課程標準(2011版)》提出:“數學學習內容應該是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、試驗、猜想、驗證、推理與交流等數學活動.”但對于學生而言，事非經過終覺淺，動手操作和自主探究對他們理解幾何概念、運用幾何定理都具有積極的意義．本節課的教學重點就是圓周角定理的探究過程．因此，在幾何定理的教學中，教師要引導學生采用動手實踐、自主探究方法進行學習，使學生在觀察、實踐、問題轉化等數學活動中體驗探索的快樂，從而使知識和能力得到內化，體現幾何能力的提升．

4.2 注重學生的邏輯推理能力

在研究幾何圖形的過程中，雖然大多數幾何定理和結論是通過幾何直觀“看”出來的，而不是“求證”出來的，但不能止步于此，在幾何教學中，課標對學生邏輯推理能力的培養是有要求的．幾何教學要求培養學生“言之有據”的推理習慣，要求學生具有一定的書寫證明格式的能力，要求從具體的幾何定理證明中掌握推理論證的一般步驟、常規方法和常用技巧．因此在實際教學中，教師要結合教學內容，提供相關推理論證的訓練機會，切實提高學生的邏輯推理能力．如，本節課中對圓周角定理猜想的驗證，不僅需要借助量角器的度量和幾何畫板的動畫演示驗證，更需要理性、嚴謹的推理論證．通過細致的分析和完整的證明，可以進一步培養學生推理論證的能力，培養學生嚴謹求實的學習態度，有利于學生的健康成長．

4.3 注重多媒體技術的恰當運用

多媒體技術的恰當運用，能為學生學習幾何定理提供豐富多彩的教學情境和強大的學習平臺．在幾何教學中，運用多媒體技術可以靈活地制作圖形，動態地展示圖形和方便地測量圖形，這樣有利于學生在圖形的運動變化過程中去發現圖形中特殊的位置關系和不變的數量關系，從而有利于學生發現圖形的本質屬性，這樣可以使得許多傳統幾何教學做不到或做不好的事件變得更容易[3]．如本節課中，教師利用幾何畫板的測量功能測出同弧所對的圓周角和圓心角的大小，通過觀察變化過程中角的大小變化，去發現圓心角和圓周角的數量關系，這樣就比學生用量角器的度量來得更精確，更有說服力，這正是多媒體技術的優勢所在.但是多媒體技術只是一種輔助手段，有時過度使用多媒體技術反而限制了學生的思考方向，對學生思維能力的培養不利．