談談二元二次最值問題的解法

蘭素梅 孫海

二元最值問題通常具有較強的綜合性，需靈活運用函數、不等式、方程等知識求解.下面以一道題為例，談一談二元二次最值問題的解法.

例題：已知實數 x，y 滿足方程 x2+（y -1）2=1，求2x +y 的最值.

問題中涉及了兩個變量 x、y，且 x、y 的最高次數均為二次.要求2x +y 的最值，需重點研究 x2+（y -1）2=1，將其進行合理的變形、構造，以使問題獲解.

一、數形結合

通?？蓪⒁辉淮未鷶凳娇醋髦本€的方程，將二元二次代數式看作圓、雙曲線、橢圓等的方程，將常數看作一條平行于坐標軸的直線.在求解二元最值問題時，可根據代數式的幾何意義畫出相應的幾何圖形，把數形結合起來，通過分析圖形中點、直線、曲線之間的位置關系，研究幾何圖形的性質，從而確定目標式的最值.

解：

將 y =-2x +t 看作一條直線，將 x2+（y -1）2=1看作一個圓，其圓心為（0，1），半徑為1，據此畫出幾何圖形，便可根據圖形中圓與直線的位置關系，確定直線的縱截距 t 取得最值的情形，進而利用點到直線的距離公式求得最值.

二、三角換元

對于二元二次最值問題，通?？蓪⒍问脚涑蔀閮蓚€完全平方式，并將其與同角的三角函數關系式 sin2θ+ cos2θ=1相關聯，再令 x =rcos θ，y =rsin θ ， 或 x = cos θ+a，y = sin θ+ b ，即可通過三角換元，將變量用同一個角的三角函數表示出來.再利用三角函數公式進行化簡，便能利用三角函數的有界性和單調性求得目標式的最值.

解：

先根據 x2+（y -1）2=1的結構特征，令 x = cos θ，y = sin θ+1；再利用輔助角公式將目標式化成 y =Asin（ωx +φ）的形式，即可利用三角函數的有界性求得最值.

三、利用判別式法

對于二元二次最值問題，可以將其中一個變量看作參數，構造關于另一個變量的一元二次方程，即可根據方程有解得出判別式Δ≥0.再通過解答不等式求得最值.

解：令2x +y =t ，則x =（t -y），將其代入 x2+（y -1）2=1，得關于 y 的一元二次方程5y2-（2t+8）y +t2=0，要使該方程有解，需使Δ=（2t+8）2-20t2≥0，解得 t ∈[1-5， 1+]，故2x +y 的最大值為1+，最小值為1-5.

令2x +y =t ，將其與圓的方程聯立，通過消元，即可構造出關于 y 的一元二次方程.再根據該方程有解，得出Δ≥0，便能利用判別式法求得最值.

四、利用柯西不等式

二維柯西不等式為（a2+ b2）（c2+d2）≥（ac + bd）2，當且僅當 ad = bc 時等號成立.在求解二元二次最值問題時，可將代數式配湊成柯西不等式的形式，就能利用柯西不等式求得兩式平方和的積或兩積式的平方和的最值.

解：

根據 x2+（y -1）2=1的結構，巧添因式22+12，即可構造出2x +y -1，再根據柯西不等式即可快速求得2x +y 的最值.

解法1是從“形”的角度出發，通過數形結合求得最值；解法2、解法3、解法4都是從代數的角度出發，利用相關的性質、定理等求得最值.可見，求解此類問題主要有兩種思路：一是從幾何角度切入，充分利用代數式的幾何意義與圖形的幾何性質求解；二是從代數角度入手，根據各個變量之間的關系，將代數式變形或構造方程，通過代數運算，求得最值.

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）