解答填空題的幾個“小妙招”

宋琳琳

填空題是數學高考中的必考題型，且占比較大，因此，掌握一些解答填空題的技巧是很有必要的.那么解答選擇題有哪些“妙招”呢？下面我們一起來進行探究.

一、采用直接法

所謂直接法，顧名思義就是直接從題設條件出發，經過推理、運算，求得問題的答案.這是解答填空題的基本方法，也是常用的方法.這種方法通常適用于求解較為簡單的題目.在運用直接法解題時，往往要充分利用相關的公式、定理、性質等.

例1.如果一個三角形的三條邊長是連續的自然數，且最大角是最小角的兩倍，則該三角形的最大角的余弦值是 ；該三角形的周長是 .

解：

本題較為簡單，我們只需采用直接法，根據題意設出各個角以及各條邊長，并利用余弦定理建立關系式，便可通過解方程求得問題的答案.

二、取特殊值

取特殊值是解答選擇題、填空題的重要方法.在解題時，需根據題意，選取合適的特殊值、特殊向量、特殊數列、特殊函數、特殊位置等，運用一般與特殊思想，將一般問題轉化為特殊問題來求解，通過研究特殊情形，求得問題的答案.這樣可以規避繁瑣的推理、運算，有利于提升解題的效率.

例2.已知定義在 R上的奇函數 f（x）滿足 f（x -4）=-f（x），且在區間[0，2]上是增函數.若方程 f（x）= m（m >0）在區間[-8，8]上有4個不同的根，x1、x2、x3、x4，則 x1+x2+x3+x4=.

解：根據題意可設 f（x）= sin x ，畫出其圖象，如圖1所示.

此題重點考查抽象函數的奇偶性、周期性、單調性、對稱性.為了便于求得問題的答案，我們需結合題目中的條件構造出滿足題意的函數 f（x）= sin x .畫出其圖象，便可快速明確 x1、x2、x3、x4之間的關系.在解答抽象函數問題時，運用特殊值法，可化抽象為具體，這樣有助于降低解題的難度.

例3.（1）在ΔABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，如果 a，b，c 成等差數列，則=.（2） cos2α+ cos2（α+120°）+ cos2（α+240°）的值為 .

解：

若采用常規方法求解這兩個小題，需進行繁瑣的三角恒等變換，且容易出錯.取特殊值，令 A =B = C =60°、α=0° ， 便將問題轉化為簡單的計算問題.這樣便達到了化難為易的效果.

例4.在△ABC 中，AD⊥AB，BC =3BD ，||＝1，則·= .

解：

以BC 和AD 作為基底求AC· AD ，必須要知道兩個基底的夾角，但題目中并未告知.于是令||=2，即可根據題目中的其他條件求出和的夾角為，這樣便可運用向量的數量積公式快速求得問題的答案.

例5.已知等差數列{an}的公差 d ≠0，且 a1，a3，a9成等比數列，則的值是 .

解：

令 an =n ，即可將數列化為特殊的等差數列，這樣便可將問題轉化為等差數列問題，利用等差數列的通項公式和性質，即可快速解題.

三、利用構造法

在解答數學問題時，我們經常要用到構造法.在解答填空題時，根據題意巧妙構造函數、數列、向量、幾何圖形等，便可將問題轉化為函數、數列、向量、幾何問題，利用函數、數列、向量、幾何圖形等知識來求解.運用構造法解題，往往要從題目中捕捉到有關的信息，構造出合適的數學模型，為解題鋪路搭橋.

例6.若a = ln -，b = ln -，c = ln -，則 a，b，c 的大小關系為 .

解：

比較函數式的大小，往往要用到函數的單調性.雖然題目中沒有給出具體的函數，但仔細觀察題目中給出的三個代數式，就會發現它們的結構相同，于是構造函數 f（x）= ln x -x（0

四、等價轉化

所謂等價轉化，是指把不熟悉、復雜、不易計算的問題等價轉化為另一類比較熟悉、簡單、易于計算的問題來求解.最常見的轉換方式有：將函數問題轉化為圖象問題，將三角函數問題轉化為函數問題，將方程問題轉化為函數問題，將向量問題轉化為不等式問題，將代數問題轉化為幾何問題.

例7.

解：

我們將代數式進行變形，深入挖掘其幾何意義，可發現 x2+y2=1能表示圓，（u -1）x -（u +1）y +2u -2=0能表示直線.于是將“數”化“形”，把問題轉化為圓 x2+y2=1與直線（u -1）x -（u +1）y +2u -2=0有公共點的問題，通過研究直線與圓的位置關系，建立關系式，從而求得 u 的最大值.

例8.

解：

先通過分離參變量，把問題轉化為當直線 y =a 恒位于函數 f（x）的上方時，求 a 的取值范圍.只需畫出該函數的圖象，根據其圖象的變化情形，確定函數 f（x）的最大值，即可運用數形結合思想求得問題的答案.

填空題不要求提供詳細的解題過程，這給我們解題帶來了很大的便利.在解題時，同學們要運用發散思維，從多個角度進行思考，尋找最簡便的方法，盡可能地將問題簡化，這樣便可以用最短的時間得到正確的答案.

（作者單位：江蘇省石莊高級中學）