解答根式函數最值問題的思路

董雪嬌

含有根式的函數最值問題側重于考查簡單基本函 數的單調性、復合函數的單調性、根式的性質的應用.下 面結合一道例題，來談一談解答此類問題的思路.

題目：求函數 y = 3 x - 1 + 8 - 2x 的最大值.

該函數式中含有兩個根式.解題的關鍵是去掉根 號，將問題轉化為常規函數最值問題來求解，本題主 要有以下幾種解法.

一、利用導數法

導數法是解答函數最值問題的重要方法.先對函 數求導；然后根據導函數與0之間的關系，判斷出函數 的單調性；再根據函數的單調性求得函數的極值.一般 地，函數的極值即為函數的最值.

解：

在利用導數法求得函數的極值后，往往要將函數 的極值與定義域端點處的函數值相比較，較大的為最 大值，較小的為最小值.

二、三角換元

對于含有兩個根式的函數式，可采用三角換元法 求解.先分別將兩個根式或根號下的式子用新變量替 換；然后根據三角函數公式進行三角恒等變換，將函 數式化為只含有一種三角函數名稱的式子，即可根據 三角函數的有界性和單調性求得最值.

解：

利用三角換元法解題，要注意根據函數的定義域 確定角的取值范圍，以根據角的取值范圍快速求得三 角函數式的最值.

三、構造向量

向量是解答數學問題的重要工具.在解題時，需將 函數式變形，使其與向量的數量積、模的公式等的形 式一致，據此構造出向量模型，便可利用向量運算法 則進行運算，求得問題的答案.

解：

利用向量法解答根式函數最值問題，需利用向量 的模的公式，將函數式中的根式視為向量的模，即可 根據向量的數量積公式、余弦函數的有界性，確定 α?β的最值.

總之，解答根式函數最值問題，需抓住“根號”和 “最值”兩個關鍵信息，從導數知識、三角函數的性質、 向量公式入手，尋找不同的解題思路.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學）