怎樣求解二面角問題

張躍群

二面角問題常常出現在立體幾何試題中.此類問 題一般較為復雜，同學們需綜合運用二面角的定義、 三角函數的定義、勾股定理、正余弦定理、線面垂直的 判定定理等知識來求解.現結合實例，談一談求解二面 角問題的兩個技巧.

一、妙用定義

通常，我們用二面角的平面角的大小來表示二面 角的大小.在求解二面角問題時，需先根據二面角的平 面角的定義，在二面角的棱上取一點，過該點在兩個 半平面內作棱的垂線，則這兩條垂線的夾角就是二面 角的平面角；然后在平面角所在的平面內構造三角 形、四邊形，以利用三角函數的定義、勾股定理、正余 弦定理求出二面角的平面角的大小.

例1

解：

題目中涉及了較多的垂直關系，可從這些垂直關 系入手，先作 AE ⊥ SC ，利用線面垂直的性質定理以 及面面垂直的判定定理，證明 AD ⊥ SC ；再根據二面 角的平面角的定義，確定二面角 A - SC - B 的平面角 ∠AED ；然后根據等腰三角形的性質、正弦函數的定義 求得 sin ∠AED ，即可求得二面角 A - SC - B 的正弦值.

二、巧用向量

向量法是解答幾何問題常用的方法.運用向量法 求解二面角問題，往往要根據圖形的特點，建立合適 的空間直角坐標系，在得到相關點的坐標后，求得各 條線段的方向向量以及各個平面的法向量，就可以利 用向量的數量積公式，通過空間向量運算求得問題的 答案.

例2

解：

我們可根據已知條件：PA ⊥ 平面ABC 、AC ⊥ BC 來建立空間直角坐標系，求得各個點的坐標以及平面 PAB 與平面 PBC 的法向量，然后根據數量積公式求 得二面角的大小.運用向量法求二面角的大小，往往要 根據圖形中兩個半平面的位置關系來確定二面角是 銳角還是鈍角.因為鈍角和銳角的余弦值都為正數.

相比較而言，定義法比較常用，向量法的適用范 圍較窄，但運用該方法解題的思路較為簡單.同學們可 以根據題目所給的條件或者圖形的特點，選用最佳方 案來解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市伍佑中學）