巧建極坐標系，妙解圓錐曲線題

王瑞丁

圓錐曲線問題通常較為復雜，且解題過程中的運 算量較大，為了提升解題的效率，我們不妨另辟蹊徑， 巧妙建立極坐標系，借助極坐標知識來快速解題.

若 P 是圓錐曲線上的任意一點，可以焦點 F 為極 點，設 |PF | = ρ ，P 到準線 l 的距離為 d ，焦點 F 到準 線 l 的距離為 p ，由圓錐曲線的定義：圓錐曲線上一點 到焦點與到準線的距離之比為常數 e（e > 0） ，得 ρ d = e . 由圖易得 d = p + ρ cos θ ，將兩式聯立，整理得圓錐曲線 的極坐標方程為 ρ = ep 1 - e cos θ .

當 0 < e < 1 時，曲線的軌跡為橢圓；當 e = 1 時，曲 線的軌跡為拋物線；當 e > 1時，曲線的軌跡為雙曲線.

在解答圓錐曲線問題時，我們可以焦點 F 為極 點，x 軸為極軸建立極坐標系，利用圓錐曲線的極坐 標方程來解題，這樣就能用 θ 、p 快速表示圓錐曲線 的焦半徑、各條線段的長.

例1

解：

若采用常規方法解答本題，則需設出直線 MN 的 方程，并將其與拋物線的方程聯立，運用韋達定理、弦 長公式、向量的數量積、三角形的面積公式求解.而建 立極坐標系后，即可用角 θ 快速表示圓錐曲線的焦半 徑、ΔMNF 的面積，進而利用正弦函數的有界性求得 ΔMNF 面積的最值.

例2.已知 F 為拋物線 E：y2 = 2px（p > 0） 的焦點，過 F 作兩條相互垂直的弦 AB 和 CD ，證明：四邊形 ACBD 面積的最小值為 8p 2 .

證明：

以 F 為極點，x 軸為極軸建立極坐標系，設點 A 對應的極角為 θ ，即可用角 θ 表示各條線段 FA、FB、 AB、CD 的長.再根據三角形的面積公式求解，即可快 速解題.

例3

解：

在建立極坐標系后，即可根據圓錐曲線的極坐標 方程求得焦半徑 |FA|、|FB|、|FE|、|FD| ，進而求得焦點 弦 | AB|、|DE| 的表達式，這樣便將問題轉化為三角函 數最值問題，利用三角函數的有界性和基本不等式就 能順利求得最值.

例4

解：

在解答與焦半徑有關的夾角問題時，運用圓錐曲 線的極坐標方程可快速建立與夾角有關的關系式.再 通過三角恒等變換化簡關系式，便能直接運用三角函 數的有界性、單調性求得問題的答案.

運用圓錐曲線的極坐標方程解答焦點弦、焦半徑 及其角度問題，不僅避免了繁瑣的運算，省時省力，還 能有效地提升計算的效率.因此在日常學習中，同學們 既要掌握好基礎知識，將其融會貫通，也要重視對二 級結論的積累，這樣才能在考試時做到游刃有余！

（作者單位：江蘇省邗江中學）