振動力學基礎課程中的非線性振動

陳立群

(上海大學力學與工程科學學院，上海 200444)

(上海市應用數學和力學研究所，上海 200444)

由于自然界和工程系統中廣泛存在著非線性因素和現象，非線性振動逐漸成為振動力學的一部分，在多種國內外振動教材[1-3]中有相關內容。近年的振動力學基礎課程的教學實踐中，也有非線性振動介紹，例如搓動龍洗的自激振動實驗[4]和繩系衛星系統相軌跡和奇點[5]?！叭绾卧谟邢迣W時的限制和不增加學習負擔條件下使學生獲得必要的非線性振動知識，無論對教材編寫或對教師的教學實踐都是值得認真研究和探索的課題”[6]。文獻[7]給出了在本科生振動力學教材中敘述非線性振動的一種方案。本文總結在上海大學力學專業本科生振動力學課堂教學實踐中對非線性振動內容的處理。相關內容也可供為工程專業研究生開設的40 學時振動力學基礎課程參考。

1 總體考慮

力學專業的振動力學課程在1999 年至2001年曾經是50 學時，可以大體上遵循教材[7]的體系，較為統一地處理線性振動和非線性振動。2002 年起，振動力學課為40 學時，只能側重線性振動的教學?，F行教學大綱安排非線性振動簡介和混沌簡介各2 學時。如果有節假日等導致課時減少時，只保留非線性振動的2 學時。

非線性振動部分的教學目的包括3 個方面：（1）了解典型的非線性振動現象以及研究這些現象所需要的最基本近似分析方法；（2）初步了解非線性振動研究中建模、分析、仿真等環節及其相互關系；（3）具有分析和解釋最常見的非線性振動現象的初步能力。

需要指出的是，通過對非線性振動的學習，還可以對線性振動有更深入的理解。例如，對比非線性振動，更明確研究線性振動的必要性至少包括3 個方面：其一是有效性，在特定時間和變量范圍內近似預測動力學行為；其二是便利性，使得理論分析可能和數值仿真易行；其三是工具性，有些非線性振動問題在一定條件下可以用一系列線性問題的解逼近。又例如，通過與非線性減振和非線性隔振的比較，更明確線性減振和線性隔振的局限。

2 具體內容

兩學時教學內容分為非線性振動基礎知識和非線性減振隔振兩部分，各約一個學時。

非線性振動基礎知識包括非線性的概念、非線性振動分析的基本方法和典型非線性振動現象3 個方面。非線性的概念包括非線性的數學描述、非線性的分類、機械和電磁系統中非線性因素、線性振動和非線性振動比較。特別說明研究非線性振動的必要性，自然規律本身是非線性的，存在非線性現象如自激振動、內共振和混沌等，恰當設計的非線性能改進振動系統的動態特性。非線性振動的分析方法只敘述推導過程簡單、物理意義清晰的諧波平衡法，從簡諧外激勵作用下含立方非線性項振動系統個案分析入手，導出幅頻響應特性，隨后也討論較為一般的周期受周期外激勵作用單自由度非線性振動系統。非線性振動典型現象是教學的重點，對于前述非線性受迫振動分別介紹了跳躍現象、超諧波響應和亞諧波響應，從物理機制入手分析了自激振動并讓有興趣的學生課后對非線性阻尼系統進行諧波平衡分析，以含二次非線性項兩自由度系統受迫振動為例簡要介紹了內共振的飽和現象和雙跳躍現象。非線性振動分析的基本方法和典型的非線性振動現象取自教材[7]中相關內容，但沒有進行詳細的推導。

簡要介紹非線性減振和非線性隔振，以便讓學生對前述恰當設計的非線性能改進振動系統的動態特性有初步的了解。減振是對整星縮比模型設計了非線性能量匯，可以克服線性動力吸振器產生新共振頻率的局限性，實驗表明能實現寬頻減振并保持系統固有頻率基本不變；基于前兩階固有頻率相同可以建立降階簡化模型，用諧波平衡法導出幅頻特性，解釋實驗結果。非線性隔振采用圓環，通過對曲梁的分析可以導出非線性剛度，為分段函數，都涉及橢圓函數，基于實驗數據辨識系統的等效黏性阻尼；在所得到單自由度非線性振動模型基礎上，可以用諧波平衡法導出幅頻響應特性；用數顯式測力計的靜力學實驗驗證導出的非線性剛度，振動實驗驗證了近似解析方法預測的幅頻響應曲線，包括跳躍現象。這部分應用內容分別取材于研究論文整星縮比模型的非線性能量匯減振[8]和圓環非線性隔振[9]。兩篇論文共同特點是都有建模和分析，以及實驗驗證。

3 思政元素

課程思政提倡思政元素春風化雨、潤物細無聲地融入正常的課程教學中[10]。非線性振動的基礎知識有機內在地包含思政元素，試總結幾點如下。

在研究方法方面，突出建模和近似分析的簡化思路。所謂簡化，其實就是抓住主要矛盾?！暗闷渚浯?，在其內而忘其外，見其所見，不見其所不見，視其所視，而遺其所不視”(《列子·說符》)。用諧波平衡法進行近似分析時，聚焦于非線性項對低階次諧波的影響，而忽略了對高階次諧波的影響。在適當簡化的基礎上，數學建模中包括不同的思路，從原理出發的理論建模如圓環隔振器非線性剛度的推導，基于實驗數據的辨識建模如圓環隔振器的等效黏性阻尼系數的確定，基于功能等效建立簡化模型如整星降階模型。

作為振動力學課程的一部分，非線性振動的簡介試圖能彰顯力學學科特色。因此除了基本近似分析方法和典型非線性振動現象外，增加了非線性減振和隔振的應用性專題。與物理學等基礎科學以認識世界為主不同，力學同時也是應用科學，具有改造世界的功能。借用馬克思《關于費爾巴哈的提綱》(Thesen über Feuerbach)的話，“哲學家們只用不同的方式解釋世界，而問題在于改變世界(Die Philosophen haben die Welt nur verschieden interpretiert; es k?mmt drauf an,sie zu ver?ndern)?！绷W既要解釋世界，也要改造世界。在認識世界的基礎上改造世界，在改造世界的過程中更好地認識世界。非線性振動所涉及的問題，不僅有分析和仿真，也有設計和優化。

非線性振動的教學還突出力學與數學的密切關系?；谥C波平衡進行簡單的公式推導和數值計算，可預測幅頻響應曲線出現跳躍現象，并得到實驗驗證。不加推導給出的圓環的非線性剛度，為含有橢圓函數的非常復雜的數學表達式。但奇妙的是，恢復力隨變形變化的曲線，與靜力實驗結果吻合很好。這種數學在力學中的適用性、準確性和預見性，或許就是諾貝爾獎得主維格納(Eugene Paul Wigner, 1902—1995)與圖靈獎得主漢明(Richard Wesley Hamming, 1915—1998)分別討論的數學在自然科學中的 “不可思議的有效性(the unreasonable effectiveness)”[11-12]。但另一方面，力學不僅是數學。在力學中，數學建模和分析的結果，需要有實驗的驗證。

教學中采用的非線性振動兩個應用實例都是課程教學團隊在主流期刊上發表的研究結果，意在鼓勵學生創新探索?？茖W研究并不神秘，也不一定需要大量的準備知識。只要對科學問題有清晰的理解，并及時學習研究需要的準備知識，就有可能采取分析、數值或實驗的方法，在特定方面取得研究進展。

4 結語

本文總結在本科生振動力學課程中簡介非線性振動的思考和實踐。教學目的主要是了解典型非線性振動現象及其最基本的分析方法，以便能對常見非線性振動現象進行初步的理論分析和解釋。教學內容包括諧波平衡法、典型非線性振動現象（跳躍、超諧波響應、亞諧波響應、自激振動、內共振中的飽和和雙跳躍）以及非線性在減振和隔振中的應用。在教學過程中，幫助學生了解建模和分析過程中的簡化、理解力學學科具有應用學科的功能和體認力學與數學的密切關系。