W玻色子質量精確測量背后的精確計算

李釗

（中國科學院高能物理研究所 100049）

1.永不缺席的W玻色子

標準模型中，W玻色子是負責傳遞弱相互作用的媒介粒子。像現在核電站發電涉及的核裂變反應，是由重元素的放射性衰變過程啟動的，該衰變過程本質上是由W玻色子傳遞誘導的。此外，1957年由李政道、楊振寧和吳健雄一起合作發現的弱相互作用中的宇稱不守恒背后的機制(圖1)也是由W玻色子傳遞的純粹左手的弱相互作用。

圖1 從左至右依次是李政道、楊振寧、吳健雄三位發現弱作用中宇稱不守恒的物理學家

1983 年歐洲核子中心CERN 的對撞機捕捉到了W玻色子，物理學家們對這個傳遞弱相互作用的帶電粒子進行了深入細致的研究。目前，W玻色子的各種性質早已被物理學家們廣泛應用在諸如頂夸克自旋關聯、希格斯玻色子衰變、B 物理中CP 破壞、超對稱粒子信號的研究中。

目前能量最高的對撞機LHC 依然在積累大量W 玻色子相關的數據。而上一代能量最高的對撞機是美國費米實驗室的Tevatron，在其于1983 至2011 的28 年運行時間里，依托于該對撞機的D0 和CDF合作組做出很多重要貢獻，例如首次在實驗中發現了頂夸克，積累了大量重要的實驗數據。雖然物理學家們已經在最終關機前分析了其中大部分數據，但仍然有可能利用新方法新技術從這些數據中挖掘更多有價值的信息。

2.出乎意料的高精度W質量測量

2022 年4 月8 日，依然堅持分析Tevatron 實驗數據的CDF組正式發表了關于W玻色子質量高精度測量的結果(圖2)。

圖2 目前各個實驗對W玻色子質量的測量結果，可見本次CDF Ⅱ的結果與其他實驗相比與電弱標準模型理論預言中心值有較大的偏差的同時測量誤差相應的也較小，很可能預示著某種不為人知的新物理效應或是原先標準模型計算結果有尚未考慮清楚的部分

圖3 Z玻色子與W玻色子不同的輕子衰變機制

圖4 擬合抽取W玻色子質量的橫向質量分布圖示

CDF 組的這一結果引起了物理學家們極大的興趣，因為此結果的中心值與過去Tevatron上D0組的結果、LHC上ATLAS組和LHCb組的結果以及電弱全局擬合結果(包含大量實驗結果的理論計算值)都有著明顯的差異。

其中最令大家意外的是CDF 最新的結果有著非常小的誤差。通常情況下，實驗測量值會在誤差范圍內圍繞真值呈現高斯分布，因此這種顯著大于誤差的偏離往往意味著某種不可調和的沖突存在。

3.W玻色子質量的“抽取”

在對撞機探測器上，大多數不穩定粒子雖然無法被直接測量，但可以通過收集其衰變產物來重建不穩定粒子的各種物理量。例如，Z 玻色子可以衰變到電子和正電子，雖然無法直接測量到Z 玻色子，但可以通過探測器非常清楚地測量到正負電子這兩個穩定粒子，從而比較精確地確定出Z玻色子的各物理量。

但在輕子衰變道中，W玻色子會衰變到帶電輕子(電子、繆子或陶子)和一個中微子，對撞機探測器是無法捕獲中微子的，故而W玻色子質量的重建就缺失了中微子帶走的一部分信息，這使得W玻色子的質量測量存在著較大的難度。

為了解決這個問題，物理學家往往要選取一個形狀上對W玻色子質量比較敏感的觀測量，比如橫向質量分布。物理學家可以通過對橫向質量分布的實驗數據與相應的理論計算結果進行比較，進而反解出W玻色子的質量。

因此，W 玻色子的質量實際上并不是被直接“測量”出來，而是被間接“抽取”出來的。這就導致了W 玻色子質量的誤差不僅依賴于實驗數據的測量統計誤差，還依賴于理論計算的穩定性“誤差”。

4.理論“誤差”的起源

理論計算為什么會存在“誤差”呢？這主要來源于目前人們采用的理論方法。在高能粒子物理的研究中，理論物理學家主要使用的是量子場論的理論框架，其可以兼顧狹義相對論與量子力學。在量子場論中，所有粒子的相互作用行為都是由拉格朗日量所決定的，簡稱拉氏量，例如著名的標準模型的拉氏量(圖5)。

圖5 標準模型拉氏量，其中包含了著名的電弱規范理論、量子色動力學、Higgs機制以及夸克輕子諸多耳熟能詳的信息，目前高能物理最前沿的研究內容幾乎都在這樣一個公式中

其中包括了電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用。然而，想要直接解這個標準模型的拉氏量是非常困難的，目前人們常用的主流方法有格點計算和微擾計算。格點計算主要采用大規模數值計算的方法解決部分非微擾的物理問題。

高能對撞機上的散射碰撞問題主要依賴微擾計算。微擾計算的核心思想是由于耦合常數普遍小于1，對應某一特定物理過程，涉及相互作用越多，其發生的概率越小。因此對最終結果有主要貢獻的應該對應于涉及相互作用最少的情況，這也是最容易計算的部分，而更精確的結果可以通過逐次考慮加入更多的相互作用，即增加更高階的輻射修正效應來實現。

這一點可以類比于大家非常熟悉的圓周率π的測量，古代的數學家祖沖之在1500年前利用有限的技術手段就算出圓周率π是3.1415926 到3.1415927之間，而后隨著技術不斷進步人們算出圓周率π的位數越來越多，相應的圓周率π的“誤差”也就越來越小(圖6)。

圖6 圓周率π

在量子場論中，微擾計算的廣泛使用得益于費曼(Richard Feynman)(圖7)發明的費曼圖計算方法。這個方法能夠讓稍加訓練的大學本科生計算出，例如粒子散射截面、粒子衰變寬度等曾經非常復雜的理論問題。

圖7 這是邦戈鼓及其鼓手費曼先生，他很會畫圖

在各種計算技術相當發達的今天，經過眾多理論物理學家不懈的努力，在個人筆記本計算機上就可以對簡單費曼圖進行自動化計算。例如W 玻色子產生過程的最低階樹狀費曼圖(圖8)。

圖8 W玻色子產生過程的最低階樹狀費曼圖，感謝邦戈鼓手費曼為我們帶來的簡明圖示

然而，微擾計算雖然方便，但是相應的問題也隨之到來：人們只能計算一定數量相互作用的修正效應，計算的結果總是缺少更高階的修正效應，而這正是所謂的理論“誤差”的主要來源。

5.精算掌控理論“誤差”

從微擾計算的邏輯出發，加入更高階的修正效應來讓理論計算更為精確，但涉及更多相互作用的費曼圖的計算會變得非常復雜。例如在高一階相互作用的情況下費曼圖的計算會出現費曼積分：

很多同學都曾經苦于大學高數課的一維積分題目，但是費曼積分卻是一個非整數D 維的積分，其復雜度著實會嚇退很多同學。而在更高階的費曼積分中，甚至有可能會出現求解橢圓積分這種在數學領域也是世紀難題的任務。

此外，人們在計算研究這些微擾逐階修正效應的時候發現在橫動量分布中理論計算和實驗結果有著極大的差異(圖9)。

這個差異是無法通過加入有限的高階修正效應能夠改善的，為了解決這個問題，物理學家需要求助于“重求和”的方法，通過重整化群方程外推出無窮階的修正效應，最終使得理論與實驗結果符合一致。在相應的具體分析中，人們也發現由重求和技術修正過后的理論計算“誤差”確實降低了(圖10)。

圖10 重求和修正過理論計算與實驗的對比

隨著高能對撞機技術的不斷進步，實驗上獲取的數據中的誤差在不斷降低，提供相匹配精度的理論計算就成為了理論家必須完成的任務。所幸，經過幾十年的努力，物理學家們已經將理論計算的精度提高到了足夠匹配Tevatron 和LHC 這樣的前沿實驗誤差的程度。

在本次的W玻色子質量的高精度結果中，CDF合作組采用了Z 玻色子數據做標定等手段降低實驗誤差，同時還使用了能夠提供高精度理論計算結果的程序ResBos(圖11)。

圖11 ResBos啟動字符畫

ResBos 由美國密歇根州立大學的袁簡鵬教授開發，歷經20 多年的維護和升級，參與這個程序的很多人都已經成為前沿領域各方向的專家。

ResBos 可以為W 玻色子產生等過程快速提供高精度的包含有橫動量重求和的理論預言，并長期以來與Tevatron 和LHC 上的各個實驗組保持著緊密聯系，ResBos也因此成為了前沿物理分析的標準工具。

近幾年人們也陸續開發了不同風格的用于提供矢量玻色子產生過程的高精度理論預言的計算程序，例如DYturbo和Radish等。

在W玻色子質量精確測量中，控制誤差的關鍵除了上面提到的微擾論提供的精確理論計算之外，部分子分布函數的誤差控制也極其重要。而其中就依賴于大量實驗數據的把控、非微擾QCD 的初始函數形狀以及描述能標演化的DGLAP方程。

目前主流的部分子分布函數合作組有CTEQ、MMHT和NNPDF。其中CTEQ合作組是美國密歇根州立大學的董無極教授發起，目前由袁簡鵬教授領導。CTEQ 合作組有著嚴謹務實的傳統，其開發的部分子分布函數也被廣泛地應用到實驗分析和理論研究中。

6.挑戰和機遇

面對來自實驗學家的不斷提高精度的實驗數據，或者未來進一步的實驗數據，理論學家也在利用各種手段逐步解決各種高難度的挑戰，在這個過程中，物理學家也深化了對量子場論理論本身的理解。

同時，這一次W 玻色子質量精確測量的結果也提醒著物理學家們，在已經成熟的物理測量中依然存在大量值得深入分析的物理問題，細致的工作往往也能夠帶來出人意料的結果。未來將依舊充滿挑戰與機遇。