2022年高考數學文化試題評析及教學建議

黃邵華

【摘要】本文分析2022年高考數學試卷中涉及數學文化的試題，發現這些試題分別以我國工程建設、環境治理等為背景考查數學知識的應用，以科技創新為背景展示數學與其他學科融合的意義，以及以古代建筑為背景展示數學文化之美，認為高中數學教師有必要學習領會教育改革與高考改革精神，與時俱進地調整教學方式，充分發掘和利用教材中的數學文化內容，重視在復雜情境教學中凸顯學生的主體地位，開展數學課外閱讀，從而發展學生的數學學科核心素養，落實立德樹人根本任務。

【關鍵詞】數學文化 數學高考 試題分析 教學建議

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）14-0048-04

黨的教育方針強調要把立德樹人作為教育的根本任務，不僅要教會學生知識和技能，更重要的是培養學生正確、科學的道德觀念和價值觀念?；诖?，以情境為依托，使學生堅定“四個自信”，落實立德樹人根本任務，成為近年高考的熱點，并將是2023年高考命題的核心要旨。

“數學文化”狹義上是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展；廣義上的“數學文化”除包含上述內涵外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育等?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，要關注數學學科發展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優秀傳統文化。本文展示2022年高考數學卷中有關數學文化的試題，分析這些高考數學試題如何通過具體的問題情境來考查數學知識，并提出教學建議。

一、試題評析

（一）以我國工程建設為背景，強調數學基礎作用

例1（2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2，將該水庫在兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（ ）。

A.1.0×109 m3 ? ? B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3 ? ? D.1.6×109 m3

本題主要考查立體幾何板塊中棱臺體積的求法。而有關臺體（包含棱臺和圓臺）的體積和面積的問題，沒有在2022年之前的近十年廣西高考試題中出現過。本題的出現，是新高考改革釋放的一個信號，即注重對基礎知識掌握的全面性和系統性。本題根據水庫的形狀建立棱臺的數學模型，在已知棱臺的兩個底面積和高的條件下求解棱臺的體積，考查和發展了學生數學運算、數學建模、直觀想象等數學核心素養。本題建立數學模型的難度不大，關鍵在于學生要記憶和理解棱臺的體積公式這個基礎知識，而臺體的體積公式比柱體、錐體的要復雜，建議教師在教授新課或高三復習過程中引導學生對公式進行適當的推導，使學生在理解的基礎上記憶公式而不是機械地記憶。

（二）以我國環境治理為背景，領悟數學應用價值

例2（2022年全國乙卷理科卷第19題，節選）某地經過多年的環境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數據（數據略），并計算得

（1）估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區這種樹木的根部橫截面積與量的樣本相關系數（精確到0.01）；

（3）現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2。已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比。利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值。

這是一道統計板塊的解答題，考查的知識包括樣本的數字特征、兩個變量的相關系數、正比例函數等，考查和發展學生數學建模、數學運算等核心素養。這道題以環境治理為背景，給出樹木根部橫截面積與樹木的材積量這組成對數據的相關樣本數據，考查學生對均值、相關系數、估算等統計學知識的理解和應用，使其領悟數學的應用價值。統計學的知識點比較多，分散在必修第二冊和選修第三冊兩冊教材的兩個模塊中，但在高考試題的考查中往往會綜合出現。因此建議教師在教學選修第三冊中的統計學知識的過程中，多與必修第二冊中的統計內容進行對比教學和綜合應用，使學生感受收集、整理、分析數據以及利用統計分析進行決策的連貫性和系統性，體會統計學知識的應用價值。

（三）以我國科技創新為背景，體會學科融合意義

例3（2022年北京卷第7題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和lgP的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar。下列結論中正確的是（ ）。

A.當T=220，P=1 026時，二氧化碳處于液態

B.當T=270，P=128時，二氧化碳處于氣態

C.當T=300，P=9 987時，二氧化碳處于超臨界狀態

D.當T=360，P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態

本題以北京冬奧會為背景，展示數學與其他學科的交叉應用，展示我國在科技創新領域取得的成就。本題考查的知識有函數的圖象、對數運算、對數函數的單調性等，屬于較易題，考查和發展學生的數學運算、直觀想象等核心素養。本題中出現的“溫度”“壓強”“液態”“氣態”“二氧化碳”“超臨界狀態”等名詞，是物理、化學等學科中的專業術語，此題體現了高中數學知識中函數的運算、性質以及圖象等相關內容與其他學科在科技創新領域中的交叉融合。歷史上許多數學新知識，往往是在其他一些實踐性較強的學科的發展和應用過程中產生的。因此，高中數學教師在日常教學中，一方面要多利用其他學科的知識背景創設情境，闡述數學知識的形成過程，另一方面也要引導學生將所學的知識運用于解決其他學科的問題，體會數學在多學科交叉融合中的意義。

（四）以我國古代建筑為背景，感受數學文化之美

例4（2022年天津卷第8題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（ ）。

A.23? ? B.24? ? C.26? ? D.27

本題主要考查立體幾何板塊中的組合體的體積問題，要求學生從“十字歇山”這個具體的實例中抽象出兩個直三棱柱重疊的組合體形象，同時借助空間想象力理解該組合體的對稱性，并利用棱柱和棱錐的體積公式進行求解，主要考查和發展學生數學抽象和直觀想象的核心素養。立體幾體中組合體的體積和面積的求解問題是學生的易錯點，學生在解題過程中容易出現遺漏或重復的情況，建議教師在教學過程中利用實物模型讓學生獲得直觀感知，同時鼓勵學生多動手作圖，提升他們的空間想象力。

2022年的高考數學試題中，除了此題以美輪美奐的中國古代建筑“十字歇山”為背景，與中國傳統文化相關的試題的背景還有自然科學、工藝技術及社會歷史現象的綜合性筆記體巨著《夢溪筆談》，中國古代建筑的特色結構“舉架結構”，發現了“三斜求積”公式的中國古代著名數學家秦九韶……考查的知識覆蓋三角函數、數列、立體幾何等。中華民族在源遠流長的歷史長河中，在文化、藝術、科技等方面都有著巨大的貢獻，積淀了屬于中華民族的智慧結晶和精神追求。這些試題既考查了學生的知識和技能，又讓學生感受和領悟數學之美，加深學生對我國數學發展及獲得成就的了解，使學生堅定文化自信。

二、啟示和建議

《中國高考評價體系》提及的“一核四層四翼”中，“一核”指的是高考的核心功能，即“立德樹人、服務選才、引導教學”，回答“為什么考”的問題。2023年度高考藍皮書《中國高考報告（2023）》中也指出，高考要落實立德樹人，鮮明體現時代主題，將立德樹人這一根本任務融入高考試題命制中，引導學生堅定“四個自信”，助力培養擔當民族復興大任的時代新人。在教育改革理念的指導下，2022年及近年的高考數學試題充分體現了這方面的要求，也必將成為今后高考試題命題的重點。

鑒于以上分析，針對高中一線數學教師如何把握高考改革趨勢，通過數學文化教學落實立德樹人根本任務，筆者提出以下教學建議。

（一）學習領會教育改革和高考改革精神，緊跟時代步伐調整教學方式

隨著我國教育改革和高考改革的不斷深入，將德育滲透于各學科的課堂已經成為趨勢和常態。數學是一門強調邏輯分析和理性思維的學科，因此更需要教師學會與時俱進地調整和改進教學方式，落實立德樹人根本任務。教師不能只講數學知識，只強調數學知識的形成和發展，只關注數學運算、推理的過程與結論正確與否，還應該調整和更新教學方式，多創設問題情境切入，重視數學在實際生產生活中的應用，積極展示我國在人類社會發展歷程中取得的輝煌成就，使學生堅定“四個自信”。

（二）充分利用和發掘教材中的數學文化內容，滲透立德樹人理念

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。在現今各個版本的教材中，許多章節或知識板塊都會以適當的文化背景為情境進行切入或延伸，教師在教學中應充分利用這些教學資源滲透德育。例如教材中利用“復興號”動車引入函數概念，教師可以介紹我國高鐵的快速發展史；教材中通過“恩格爾系數”引出函數的表示方法，教師則可拓展恩格爾系數的相關知識，讓學生感受我國人民幸福指數的不斷增長；教材中以我國政府減少水資源浪費為背景提出統計學相關問題，教師可以強調我國在尊重人類社會發展規律方面提出的正確理論；等等。又如教材中由“趙爽弦圖”闡述重要不等式的幾何意義、由“祖暅原理”推導體積公式等，教師可以強調我國古代數學在世界數學發展歷程中的重要地位和作用，使學生堅定文化自信。這樣的例子還有很多，教師在以數學文化為背景進行教學的同時，應多嘗試發掘其背后的德育價值，滲透立德樹人理念。

（三）重視在復雜情境教學中凸顯學生主體地位，提升學生數學學科核心素養

有了合適的數學文化作為情境背景，如何將實際問題轉化為數學問題便成為教學的關鍵。復雜的背景情境蘊含了諸多信息，在處理信息的過程中，教師要重視學生的主體地位，嘗試讓學生自主閱讀材料，找到需要解決的關鍵問題，而不能過多引導或直接給出問題背后的數學模型。在復雜背景情境中，教師要重視培養和提升學生的信息處理能力，一方面，要教授學生在具體問題中學會舍棄無用信息、留下有用信息；另一方面，要注重建立關鍵信息之間的聯系，嘗試將這種聯系與已有數學知識體系中的概念聯系相結合；最后一個方面，更重要的是引導學生進行合理的數學抽象、科學的假設，將實際問題轉化為數學問題，通過求解數學問題，獲得解決實際問題的辦法，提升學生數學抽象、數學建模等核心素養。

（四）提倡數學課外閱讀，發展學生綜合素養

教師在常規教學活動之余，應鼓勵學生多進行與數學相關的課外閱讀。閱讀的內容可以是數學課上的內容的深化，也可以是數學課外拓展內容；可以是數學發展史，也可以是數學實踐應用等。通過數學閱讀，學生對數學知識的形成過程有更加清晰的理解；了解數學知識在學科交叉和實際生產生活中的應用，體會數學的價值，培養實踐能力和創新能力；了解和學習到更多課本中沒有的知識，拓寬數學學習的廣度，加深數學學習的深度，培養自主學習能力；發展理解和組織數學語言的能力以及信息處理能力，提升邏輯思維水平；了解中外數學的歷史和現狀，關注時事，提升政治素養。

（五）開展數學研究活動，加強理論與實踐的結合

對學生而言，不論是教材中提供的數學文化背景還是高考題中呈現的數學文化背景，終究都是他人提供的情境信息，而不是學生自主提出和發現的。因此，教師在教學過程中，應注重開展數學研究活動，可以引導學生以個人或小組為單位，設計數學實驗，開展學科交叉融合的創新實踐課題研究，讓學生在參與活動的過程中自主觀察、自主思考、自主發現、自主探索、自主解決問題。發現問題到解決問題的過程，可以讓學生充分感受數學的應用價值和數學之美，大大激發學生的數學學習興趣和學習熱情，提升學生數學學習成就感，提升學生的創造意識和實踐意識。開展數學研究活動，將理論與實踐相結合，既讓學生學習知識，又在教學中滲透德育，落實立德樹人根本任務，為社會主義事業培養德才兼備的高素質人才。

參考文獻

［1］顧沛.數學文化［M］.北京.高等教育出版社，2017.

［2］徐尚昆，楊汝岱，郝保偉.中國高考報告（2023）［M］.北京：新華出版社，2022.

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［4］徐爭.2022年高考數學試題中的數學文化［J］.中學數學月刊，2022（10）.

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［6］向立政，周遠方，張云輝.深度考查關鍵能力充分發揮育人功能：2022年高考數學試題命題特點及復習教學建議［J］.中國數學教育，2022（9）.

注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度廣西高考綜合改革專項課題“基于中學數學教師核心素養發展的教師新教材實施的實踐能力培養研究”（2021ZJY1755）、南寧市教育科學“強基計劃拔尖人才培養”專項課題“強基計劃背景下培養高中數學競賽拔尖創新人才的實踐研究”（2021QJ002）的研究成果。

（責編 劉小瑗）