有限環C?2/Zp的相關性質

鄭榮蘭，曹慧慧，曹文勝

（五邑大學 數學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

1 引言與預備知識

W. K. Clifford 在1878 年創建了Clifford 代數C?p,q[1]189.Clifford 代數作為幾何代數在其他領域有廣泛的應用.本文主要研究Clifford 代數C?2.

定義1[1]190由上的標準正交基生成的Clifford 代數滿足以下乘法規則：

Clifford 代數C?2在實數域上的基是

這些基滿足以下運算規則

其中eiej=-ejei，i,j=1,2,3.

定義2[2]67對于任意的正整數p，則模n 剩余類環是

命題1[2]87模n 剩余類環是域的充分必要條件是p 是素數.

Aristido 和Demetre[3]證明了不是有限除環. Migue 和Ser?dio[4]給出了中冪等元和零因子的個數. Aristidou[5]研究了中的冪等元. Aristidou[6]研究了中的冪零元. Kang，Munir和Nizami 等[7]給出了中求冪等元、冪零元和零因子個數的公式.

定義3令，其中，，p 是素數.

顯然有以下命題.

命題2是有限環，其元素個數為p4.

定義4對于，其中. 我們定義元素a 相關的符號：

Clifford 代數C?2在實數域R 上不是可除代數，那么它不構成域. 在有限域上，也不構成域. 因此，有非平凡冪等元、非平凡冪零元和非平凡零因子. 本文主要在p 是素數的情況下，研究中元素的相關性質.

2 冪等元

定義5中冪等元的集合是

命題3且p 是奇素數. 若a 是冪等元且Ha=0，則

證明如果a 是冪等元，則 a2= a. 因為 a2- 2a0a + Ha= 0，有2a0a- Ha= a ，即(2a0-1) a =Ha. 如果 Ha= 0，則有. 因為在中無零因子且a≠ 0，故有2a0- 1 = 0，即.

命題4若，則a 不是冪等元.

證明由定義 4 有. 則，所以 a2≠ a. 因此不是冪等元. 證畢.有以下定理.

定理1且p是奇素數，則a是冪等元的充分必要條件是

證明如果a是冪等元，那么2a0a-Ha=a，即

由式（6）得

或者

如果式（7）成立，則a為平凡冪等元0 和1. 如果式（8）成立，由式（5），有

即 (p+ 1)2+4(a12+a22-a32)=2(p+1). 因此 4(a12+a22-a32)=1.

反之，因為a2= 2a0a-Ha，有

因此a2=a. 證畢.

例1在中兩組數a0=4 ，a1=5 ，a2=0 ，a3=3 和a0=4 ，a1=1 ，a2=3 ，a3=1 滿足式（4），所以 4 +5e1+3e3和 4+ e1+3e2+e3是中的冪等元.

命題5若且p是奇素數，則a是冪等元的充分必要條件是也是冪等元.

證明若是冪等元，則. 因此

故有

反之，如果a是冪等元，得到式（4）. 由恒等式得

定理2中只有兩個冪等元0 和1.

證明令是冪等元，由式（5）和式（6），有a1=a2=a3=0. 那么a02=a0. 在此條件下，a= 0或者a= 1. 證畢.

3 冪零元和零因子

定義6對，若存在最小正整數k使得ak= 0，則稱a為k-冪零，所有k-冪零元素組成的集合記作.

若a是k-冪零，則am=0,m≥k且an≠0,n＜k.

定義7中冪零元的集合是

引理1若是冪零元，則Ha=0.

證明若a是冪零元，則存在最小正整數k使得ak=0. 如果k=1，結論成立. 下設k≥2. 由恒等式a2-2a0a+Ha=0得Ha=a(2a0-a). 故有Hak=ak(2a0-a)k. 則Hak=0. 由Zp中無零因子且Ha∈Zp，得Ha=0.

引理2若a∈C?2Zp是冪零元，則a0=0.

證明若a是冪零元，則存在最小正整數k使得ak= 0. 如果k= 1，結論成立. 下設k≥2. 由式（3）和引理1，有a2=2a0a.

i）當k是奇數，有，即. 那么得. 則，即a0= 0.

ii）當k是偶數，有，即. 那么. 由. 則，即a0= 0. 證畢.

由引理1 和引理2，有下面的定理.

定理3是冪零元的充分必要條件是a0=0且

例2在中兩組數a1=0,a2=2,a3=3和a1=2,a2=1,a3=0滿足式（9），所以2e2+3e3和2e1+e2是中的冪零元.

定義8中零因子的集合是

定理4是零因子的充分必要條件是Ha=0.

證明令. 若a是零因子，則存在一個非零元b使得ab=0. 因此，即H ab= 0. 則有. 由中無零因子且b≠0，則b0,b1,b2,b3有非零元，因此Ha=0.

反之，如果Ha=0，則. 故a是零因子.

例3在中一組數a0=2,a1=1,a2=0,a3=2滿足Ha=0. 則a=2+e1+2e3. 因此存在b=2-e1-2e3使得ab=0，所以2+e1+2e3是中的零因子.

4 環同構

本節將由C?2同構于實數域R 上的二階矩陣環引出同構于有限域上的二階矩陣環.先給出以下引理.

引理3[1]14Clifford 代數C?2同構于2 階實矩陣. 同構映射如下：

定理5，其中p是素數.

證明定義映射，其中p是素數. 由引理3 得