毒素環境下水生生物持續生存的狀態反饋脈沖控制分析

張 蒙,洪久勝,李澤妤

(1. 北京建筑大學 理學院, 北京 100044; 2. 北京工商大學 嘉華學院, 北京 101118)

0 引言

自20世紀中葉以來, 全球有近一半的淡水資源受到了工業和生活污水的污染, 水體中的毒素引起的生物多樣性喪失、水質退化等生態問題已成為亟待解決的問題[1]。 水體中含有大量的毒素和污染物, 會直接或間接造成水中的動植物窒息死亡, 同時水體的富營養化會加速細菌和病毒的繁殖, 影響動植物的生長和發育, 破壞水生生物的良好生長環境,甚至會造成物種的滅絕[2]。 因此保護水體環境和維持水生生物多樣性是當今科學研究的熱點問題[3]。

已有很多數學模型來描述淡水生態系統中的水生生物之間的相互作用關系,但利用狀態反饋脈沖微分方程描述人類的調控措施對毒素環境下水生生物種群影響的文獻并不多。近些年,許多學者將狀態反饋脈沖微分方程廣泛應用到生產和生活中。 例如,陳蘭蓀等[4]構建了害蟲脈沖治理模型,得出階1周期解存在性。郭紅建等[5]建立了具有物質循環的狀態反饋脈沖模型,并證明了模型具有唯一的軌道漸近穩定周期解。 JIANG等[6-7]對一類具有狀態反饋脈沖動力系統的動力學性質研究, 豐富了脈沖動力系統的分岔理論。 WEI等[8-9]證明了狀態反饋脈沖模型異宿環的存在性。 這些研究逐步完善了狀態反饋脈沖系統的理論框架,并初步形成了半連續動力系統的理論體系[10-14]。

本文將建立一類毒素環境下水生生物的捕食者-食餌狀態反饋脈沖模型, 研究其動力學性質,以討論人為調控(投放及捕獲)策略對物種持續生存的影響, 最后用數值模擬對所得結論加以驗證。

1 無控制模型的建立與分析

1.1 無控制模型的建立

基于文獻[8],建立毒素環境下具有Allee效應的捕食者-食餌模型如下:

(1)

式中:x=x(t)和y=y(t)分別表示t時刻食餌和捕食者的種群密度,L表示食餌種群的Allee效應系數,K表示食餌種群環境容納量,bxy/(1+wx)表示Holling-Ⅱ型功能性反應函數,d表示捕食轉化率,α和β分別是毒素對食餌和捕食者的影響系數,e表示捕食者的自然死亡率, 且捕食者種群無法離開食餌種群而存在。所有參數均為正。

1.2 無控制模型分析

根據模型(1)的第一個方程可以得到兩條垂直等傾線x=0和

同理可得兩條水平等傾線y=0和

式中:d>(β+e)w。

顯然,模型(1)存在一個邊界平衡點E0(0,0),下面討論其他邊界平衡點和正平衡點存在性。當y=0時,由

可以得到

于是可以得到:(1)當fmax>α/a時,模型(1)有兩個邊界平衡點;(2)當fmax=α/a,模型(1)有一個邊界平衡點; (3)當fmax<α/a時,模型(1)沒有邊界平衡點。

下面只考慮fmax>α/a的情況,記兩個邊界平衡點分別E1(x1,0) 和E2(x2,0), 其中x1和x2為方程

的兩個根。由韋達定理可知兩根均為正,不妨設x1

定理1模型(1)總存在一個邊界平衡點E0(0,0); 當d>(β+e)w,fmax>α/a時存在兩個邊界平衡點E1(x1,0)和E2(x2,0),且若滿足x1

定理2如果d>(β+e)w,fmax>α/a,x1

證明記

可得到Jacobian矩陣為

式中:

易得,E0(0,0)是穩定的結點。模型(1)在E1的Jacobian矩陣為

由x1

即det(J(E1))<0,則E1為鞍點。同理可以得到E2也為鞍點。

模型(1)在E*的Jacobian矩陣為

式中:

通過計算得到det(J(E*))>0, 若模型(1)滿足A<0且A2(1+ωx*)3-bdx*y*<0,則E*是一個穩定的焦點。證畢。

注1下面的討論均在滿足定理1和定理2的條件下進行。

2 脈沖模型的建立與分析

為使食餌和捕食者可以持續性生存, 人們在一些情況下需要對其進行管理,管理措施有多種,這里僅考慮狀態脈沖反饋控制措施。當x≠h時,食餌、捕食者種群的演化按照模型(1)進行;當x=h時,對食餌種群進行收獲,收獲比例為p,并對捕食者種群進行投放,投放量τ為常數,從而有如下具有狀態反饋脈沖控制的模型:

(2)

式中:△x=x+-x,△y=y+-y?？紤]實際的生物意義,模型(2)的參數均為正值。

2.1 異宿環的存在性

為了從理論上討論異宿環的存在性,下面僅考慮脈沖集為M={x|x=h,x*h}。假設鞍點E2的不穩定流形為l1, 與脈沖集M相交于點C(xC,yC),鞍點E1的穩定流形為l2,與N交于點D(xD,yD)。 由于△x=-px, 當yD>yC時,通過對無脈沖模型(1)的定性分析和模型(2)軌線的性質可知,不穩定流形l1和穩定流形l2都在等傾線dx/dt=0的上方。

于是存在τ*=yD-yC,當τ=τ*使得點D恰好為點C的后繼點,即軌線弧E2C、脈沖線段CD、軌線弧DE1、E1E2和平衡點E1、E2構成模型(2)的異宿環(如圖1所示)。 當τ>τ*時,C會脈沖到D的上方, 而后在模型(2)的作用下,向(0,0)點靠近。從l1右邊出發的解, 最終也會趨于(0,0),這表示投放量過大,捕食者和食餌食物均趨于滅絕。

圖1 模型(2)異宿環的存在性Fig. 1 The existence of Heteroclinic orbit of system (2)

注2 當yD≤yC時, 理論上存在τ*=yD-yC,當τ=τ*時,使得模型(2)存在異宿環;當yD≤yC且τ>τ*時,模型的解趨于點(0,0),但此時的τ*<0,這與投放的實際意義不符。另外,這里假設初值(x0,y0)∈Ω1={x0|x0>h},只是為了從數學上說明模型異宿環的存在性。

注3 當yD>yC且τ<τ*時,模型(2)可存在階1和階2周期解,具體討論參見2.2節。

2.2 周期解的存在性和穩定性

下面只考慮yD>yC的情況,如圖2所示,點R(xR,yR)為垂直等傾線與N的交點,點R在模型(2)的映射下與等傾線dx/dt=0交于點R′(xR′,yR′)。 當1-xR/x*≤p≤1-xR/xR′時, 脈沖集M介于x=x*和x=xR′之間。 不失一般性,令初值(x0,y0)∈Ω2={(x0,y0)|(1-p)h

圖2 模型(2)階1周期解的存在性示意圖Fig. 2 The existence of order-1 periodic solution of system (2)

定理3當yD>yC,1-xR/x*≤p≤1-xR/xR′和τ<τ*時,模型(2)存在階1和階2周期解。

證明在N上選取一點A(xA,yA),滿足00。

由于正平衡點是焦點,根據軌線的性質,在N上選取一點B(xB,yB)充分接近R點,滿足yB>yR,從B點出發的軌線在模型(2)的作用下與脈沖集交于B′(xB′,yB′),模型(2)的脈沖函數將B′映射到B″((1-p)xB′,yB′+τ)(如圖2所示),后繼函數存在兩種情況,分別為F(B)≤0和F(B)>0。

(1)當F(B)≤0時,顯然存在一點P使得F(P)=0, 即模型(2)存在階1周期解。由于該階1周期解關于x是單調的,容易證明其唯一性。

(2)當F(B)>0時,模型存在階1周期解或者階2周期解。 限于篇幅,這里略去證明過程,可參見文獻[6-7]。證畢。

定理4設(x,y)=(ξ(t),η(t))是模型(2)的一個具有周期T的階1周期解,(ξ(0),η(0))=(xp,yp),(ξ(T),η(T))=(xq,yq),若

則該階1周期解是軌道漸近穩定的。

證明由(ξ(t),η(t))是模型(2)的一個階1周期解, 可知

ξ(0)=(1-p)h=xp,η(0)=yp,

ξ(T)=h=xq,η(T)=yq,

ξ(T+)=(1-p)h,η(T+)=yq+τ。

由類Poincaré準則[5,7],可令

A(x,y)=-px,B(x,y)=τ,φ(x,y)=x-h,

進而可得

從而有

式中

從而得到

當定理條件滿足時,由類Poincaré準則可知,模型(2)的階1周期解是軌道漸近穩定的。證畢。

3 數值模擬

由定理3可知,模型(2)存在階1和階2周期解。選擇a=4.00,K=4.00,L=0.40,w=0.07,b=3.60,e=2.60,d=3.22,α=0.01,β=2.60,p=3/7,使用Matlab進行數值模擬,其分支圖和相圖如圖3所示。

圖3 模型(2)的周期解及分支圖Fig. 3 The periodic solutions and bifurcation of model (2)

將投放量τ作為分支參數,其分支圖如圖3(a)所示。由圖3(a)可知,存在一個閾值τ0≈0.36,當τ<τ0時,模型(2)存在一個階1周期解(如圖3(b)所示,τ=0.3);當τ>τ0時,模型(2)存在一個階2周期解(如圖3(c)所示,τ=0.38)。

4 結束語

考慮環境中毒素的影響, 構建了一類具有毒素項的食餌-捕食者模型。在無控制模型(1)的定性分析和動力學分析的基礎上,構建了狀態反饋脈沖模型(2),并研究其相應的動力學性質。結果表明:在食餌數量達到一定閾值時,當投放捕食者τ<τ*時,食餌-捕食者模型在規定的范圍內達到動態平衡, 可保護生物多樣性及種群的動態平衡。但是投放捕食者τ>τ*時,會導致捕食者缺少食物而滅絕。 這說明在人工干預維持物種持續生存時,不同的控制強度會產生不同的控制效果,選擇合適的控制手段十分必要。