一生從教的幾個故事

摘 要：小時候，教弟弟識字，體會到人和人不一樣，用不同的方法培養人是教學的趣味所在。師范學院畢業后，教中學數學時，因為給一位學生講題目的事情被學生傳了出去，受到學校領導重視，從而感受到學科基礎是真本領，對教學很重要。受蘇霍姆林斯基的啟發，進一步認識到終身學習就是在長期備課，這比短期備課更重要。在教學實踐中，體會到好的數學課盡量要在15分鐘之內講完，一節課關鍵的東西并不多。

關鍵詞：數學教育；個體差異；學科基礎；長期備課；精講精練

本文根據單墫教授2023年4月23日上午在第四屆江蘇省數學教育學術年會暨江蘇省數學學會數學教育專業委員會第二次代表大會上的講話整理而成，略有改動?！?/p>

我主要講幾個真實的故事，也是我對教書育人的一些體悟。

一、 用不同的方法培養人，有難度更有趣味

第一個故事，我從小就想當老師。在家里的男孩子中，我排行老二。大概是小學三年級，我開始教老三。老三比我小六歲。我教他加減法，教他認字。家里有字塊（識字卡片），一面是圖，一面是字。比如老虎的“虎”，一面是“虎”字，我教老三認一下這個字；然后翻過來，是一個老虎的圖片，彩色的，看一下；再翻過來，又認一下“虎”字。老三很老實，態度很端正，非常聽我的話。我也很有成就感。后來，我六年級時，又教老四。老四比我小九歲。老四和老三很不一樣，不太認真。我給他看字塊，他眼睛不知道看哪兒，掃一眼，就過去了。我就不太高興了，想“整”一下他的態度。但是，態度是很虛的東西。我說他不端正，他說他端正。有什么證據說他不端正呢？講不清楚。所以，我就搞一些實的東西。有一次，我教他認40個字，他漫不經心。這時，我讓他重認一遍——如果他認得不好，那就是態度不端正。結果很意外：40個字全認對了。那我就不好講他了：效果很好，務虛沒法務了。由此，我就感受到，教學很不容易。不容易在什么地方呢？人和人不一樣。哪怕是同父同母所生，同一個老師教的，情況也會不一樣，結果也會不一樣。這就是教學的難度所在，也是當老師有趣味的地方。如果我們做小板凳，做一個小板凳是小板凳，做一百個小板凳也是一模一樣的小板凳，沒有任何趣味。人和人不一樣，用不同的方法培養人，這個才是趣味。所以，我從小就喜歡當老師。

二、 學科基礎是真本領

第二個故事，我當了老師。因為我想當老師，中學上完后，就上了大學——現在的揚州大學，那個時候叫揚州師范學院。在揚州師范學院讀了四年本科后，被分到南京第四女子中學（現在叫人民中學）教書。才開始工作時，我教一個班的初一代數和兩個班的初三代數。那時，代數和幾何是分開的，初一只有代數；初三有代數，也有幾何。有一天，一個女生來找我。她有點膽怯，但很有禮貌地問我：“老師，我可不可以問一個問題？”我說：“當然可以，我們老師就是解決問題的?！彼謫枺骸袄蠋?，你會不會做幾何題??？”我有點不開心，覺得她這句話不太禮貌。我初中就會做幾何題，是班上學習最好的。后來又上了高中，上了大學，當了老師，怎么不會做幾何題呢？后來一想，她的疑問也有道理。因為當時代數和幾何是分開教的，可能有的老師嫌煩，教代數就只回答代數的問題，教幾何就只回答幾何的問題。我就說：“我試試看吧?！彼驼f了一道題：“延長銳角三角形ABC的高AD，與三角形的外接圓相交于一點E，且這個三角形的垂心為H，證明HD=DE，也就是垂心到垂足的距離等于垂足到高所在直線與外接圓交點的距離?！边@道幾何題，我在初中就做過?，F在又讀了高中、大學，再做這道題，應該說是居高臨下了——用現在的話說，就是“降維打擊”。所以，她題目一說完，我就說“這樣做”，然后把她寫題目的紙拿過來，在紙上寫起來，邊寫邊說。結果，她又說了一句讓我很意外的話：“老師，你有沒有聽清楚題目？”看她很懷疑的樣子，我就把題目說給她聽。

這件事本來很簡單，但是，產生了一些影響。她告訴同學，她的同學又告訴同學，結果整個初中都知道了：單老師會做題；單老師教代數，還能做幾何題；單老師題目才說完，就做出來了。這些其實都沒有什么稀奇的，但后來，學校領導也知道了。教導主任、校長、書記研究了一下，教導主任就找我談話了：“初一，你不要上了?！蔽艺f：“我才上不到一半——一個學期還沒上完呢！”他說：“你去上初三，上四個班的初三。初三六個班，還有兩個班是對面教師進修學校的老師在我們學校蹲點的，不能換。但是，這個老師不輔導，上完課就走人。所以，六個班的自習課，你都去轉一轉、看一看，你輔導，包括輔導幾何?！边@樣，代數就交給我了，幾何也交給我了，初三就交給我了。所以，我感覺，一個人還是要有點真本領的，教數學得數學學得好（包括會做題）。所以，學習很重要：如果你本領不夠，就去學習。

這里，我還要特別感謝揚州師范學院。那個時候，它剛從蘇北師范?？茖W校轉成師范學院，強調打好基礎，包括兩個方面的基礎。一個基礎是中學數學。當中學數學教師，中學數學不行怎么行呢？我們很多課基本上是重新上了一遍的——當然，是提高性質的，不是簡單重復。比如平面幾何，那個時候教的是梁紹鴻的《初等數學復習及研究（平面幾何）》。這本書上的很多題，可能現在搞競賽的人都不一定做得出來。至于代數，我記得是高古風老師教的。1949年以前國內出版的最好的代數教材是霍爾和奈特的《大代數》，后來又出版了一本蘇聯諾洼塞洛夫的《初等代數專門教程》，高老師把這兩本書里的精華都給我們講了。所以，我們的基礎打得很好。另一個基礎是大學的基礎課——數學分析和高等代數。有了這個基礎，我后來在中國科學技術大學教一年級的微積分，就很輕松。我認為，教大學（高等教育），重點在好的學生；教中學（基礎教育）則要注意照顧差的學生。所以，在中科大，我不大講書上的東西，更多地講我自己的想法。一開始，學生不怎么適應，后來，學生也接受了，所以，第二年、第三年……一直由我教。

三、 自學進修很重要

第三個故事，我研究生考到了中科大?！拔母铩逼陂g，高考中斷了。1976年開始，國家醞釀恢復高考。同時，很多學校也醞釀招收研究生。首先是復旦大學，于1977年年初開始招收研究生。當時，我的同事建議我去。我一想，不能去。為什么？因為錢。那個時候，我的月工資是51塊7毛，而且，上有老，下有小。去一趟復旦，來回路費，加上住宿費，估計要30塊錢。當時，我們組里的趙傳芬老師說他幫我出錢。我非常感激，但是想想，還是不能去。為什么？一個是請假、找人代課，都要頗費周折。還有一個原因是，我自己也沒有做什么準備，10年也沒有好好讀書，突然就考，沒有把握。但是，趙老師非常好，他說：如果你覺得沒有把握，可以看看有沒有其他學校能考，再準備一下。當時，我并不知道哪個學校好，偶然發現中科大是年底考試，時間充裕多了。但是，最終也沒有很好地準備：一方面有教學工作，另一方面有點得過且過的心理。到了下半年，9月份開學后的一個星期三，人事秘書突然把我喊出來，對我說：中科大有人找你。我一看，來了兩位老師：一位是常庚哲老師，一位是彭家貴老師。常老師說：“你是報考中科大的老師嗎？”我說：“是??！”“那就明天考?！蔽覇枺骸安皇悄甑卓紗?？怎么明天就考？”“沒有關系?？嫉貌缓?，不影響年底考；考得好，大有好處?！背＠蠋熡悬c結巴，說這句話的時候，“大”字重復了好幾遍。這讓我認為，考得好，一定錄取我。所以，我就準備第二天去考了。

為什么會發生提前來找我去考這個事情呢？這就要講到另外兩個人。一個是肖剛，無錫人。他“文革”前讀到初一，后來插隊了，之后被當時的江蘇師范學院（現在的蘇州大學）招到外語系，學外語。但他的外語好得不得了，根本不用學。他就利用外語的優勢看數學，學了同調代數、代數幾何等——那個時候，只有外文書店才有這些書的外文版。然后，他就給中科大寫自薦信：我學了這些東西，我覺得我學科上沒問題，你們不信，可以派個人來考我。結果，中科大就派人來考他，發現果然很厲害，就招去了。另一個是李克正，南京人。他在南京師范大學附屬中學讀的高中，高一的時候就自學了范德瓦爾登的《代數學》，我想現在大學四年級的學生也不一定能看?？上?，“文革”發生了，他就去插隊了；插隊幾年后，就調回城里當了工人。到了1977年，他就去考復旦大學的研究生。一考，不滿意：成績不太理想。他又去參加高考。高考，也不滿意：題目太容易了。他也給中科大寫自薦信：我讀過哪些書（報了幾本很專門的書），我覺得我可以讀研究生，你們可以來考我。中科大一看：前一個肖剛考得很好，這又來一個。所以，又派人去了。想著既然到了南京，可以順便看一下其他人。然后，就來找我了。同時，還找了另外一個人，一共三個人。

學校提供了一個會議室，布置一下作為考場。第二天就考。上午考數學分析，6道題，5道正式題、1道附加題。我10年沒考過試了，有點緊張，趕緊埋頭做。差不多快做完兩題的時候，稍微歇一口氣，就看看動靜。第三個人是學工科的，覺得理科的題太難，就放棄了；李克正也沒動靜，我想他是不是也不會做??！又過了一會兒，常老師講話了。他看李克正動了一下筆，就說：你這一步做得很好。我當時就有點奇怪：監考員能和考生講話嗎？但我還是趕緊做，雖然知識忘了不少，但是做題還行。結果5道題都做完了，就松了一口氣。一松氣就不行了，附加題做不出來了，總是走到死胡同里。后來，我就交卷了。結果，李克正也做了5道題。但李克正比我強，他一開始就做附加題，而且做出來了?？傊?，兩位老師對我和李克正都很滿意。

四、 終身學習，長期備課

第四個故事，要從蘇聯教育家蘇霍姆林斯基講起。嚴格來講，蘇霍姆林斯基是烏克蘭人。他生在烏克蘭，長在烏克蘭，原來在烏克蘭當兵，復員回來當了老師，后來當了校長，寫了很多教育方面的著作。有一次，他去聽課，聽一節歷史課。聽完以后，他就問上課老師：“你這節課，備課花了多長時間？”上課老師回答了一句很有名的話：“我這一生都在備這節課?！边@句話讓他非常佩服。這句話好，說出了長期備課和短期備課的關系。一個人一生都在學習、在讀書，水平很高，維度很高，上一節課，就是“降維打擊”了。長期備課了，短期備課就不是那么必要了。我再舉一個例子。有一年，南師附中開會，研討馬明老師的教育思想。當時，馬老師還健在。會上，很多老師講話，講了馬老師怎么認真備課，講了很多。后來，要我講。我就說，馬老師肯定是認真備課的，但是，馬老師不備課，也可以把課上得很好：第一，他字寫得好，粉筆字是一流的，硬筆書法也是一流的；第二，他的文字功底、語言表達好；第三，他的數學好，他“文革”前就出過一本書——《圓和二次方程》；第四，他對教材的理解很好，因為教了很多年，對課堂的掌控、駕馭游刃有余。

五、 好的數學課，要教關鍵點

第五個故事，叫“15分鐘”?，F在，教師寫備課筆記，花的時間很多，很辛苦，有的半夜還在寫。但是，我當學生的時候，不是這樣的。我們的數學老師沒有人帶備課筆記，只帶一本教材。有一位語文老師，會帶一本備課筆記。一上課，把備課筆記往桌上一放，文言文中的一個字能講一節課，講得滔滔不絕。他的語文課有時連上兩節。中間休息的時間，我們偷看他的備課筆記，發現上面只有五行字：第一行，課題；第二行，作者；第三行，主題思想；還有兩行，再寫點其他的（有時下面兩行也沒有）。很簡單！那些上課講的東西，都是平時積累的，不需要備課。我認識一個人，他從當老師開始到正式退休，有45年的教齡，從來沒有備過課，從來沒有寫過教案。這個人是誰呢？就是我本人！實際上，長期備課以后，有了一定的水平，就會發現上課很簡單。

我們說代數課，說穿了，就是“一個法則、兩個例題”?！耙粋€法則”我當然知道，推導我也會。就是不會，或者“卡殼”了，拿教材來看一下，也沒有問題?！皟蓚€例題”當然更會做，例題一般都不難。如果是面對面的培訓，5分鐘就行了。如果是一個班里有四五十個學生的情況，可能時間要多一點，但是，至多不應該超過15分鐘。為什么？因為學生注意力高度集中的時間不會超過15分鐘。時間一長，思想就分散開去了，效果就很差。所以，課盡量要在15分鐘之內講完。我第一次在初三上課，就講15分鐘，講完了就讓學生做作業。學生很疑惑：怎么就做作業了？我說：是做作業了，把作業本拿出來。后來，學生就知道了，我只講15分鐘，所以，有學生一上課就把作業本擺在邊上。學生做作業，我就在課桌之間轉來轉去，看哪些學生不會。第一次，我也不知道哪些學生好，哪些學生差。后來，我就熟悉了。我特別關心差的學生，看他們會不會做。差的學生，常常拿作業本都比別人慢。有一次，一個學生不拿作業本，我對他就說：“作業本拿出來做作業?！薄拔也粫??！薄皠傊v過就不會了？”“不會?！薄澳囊活}不會？”第一題不會，我就講第一題……也有時不會的原因是我講得不好。這時，我會再講一下（頂多5分鐘）：大家注意啊，有個地方我講得不清楚……我結合例題再講，學生就算不會，抄也抄下來了。所以，大部分學生在下課之前，作業都做完了。對好的學生，我就出幾道思考題給他們。比如，后面要講韋達定理了，我就讓他們思考：一個一元二次方程如果有兩個根x1、x2，那么，x1+x2會等于什么？x1x2又等于什么？

我現在發現，一些數學老師不像是教數學的，更像是教語文的。一黑板漢字，再一黑板還是漢字。最近在網上看到一位數學老師的課，他40分鐘講完后還要總結一下——一節課有什么好總結的呢？一個單元還差不多?？偨Y時，又寫了幾黑板，全是漢字。沒用??！這里，我再插入一個典型的故事，也算笑話吧。我在中科大的時候，有一個縣城的老師，想調到中科大附中。他試講時，我也去聽了。他一上講臺，就在黑板上寫幾個大字：“我今天的教學計劃：1. 組織教學，3分鐘?！蔽倚南耄航M織教學就組織教學，寫在黑板上干什么呢？你不需要讓學生知道，組織就是了。接下去，他又寫：“2. 引入新課，5分鐘?！薄恢睂懙健安贾米鳂I”為止。浪費了很多時間，講課也啰里啰唆。講到還有10分鐘的時候，才開始講正題。那天講的題目是，復數用三角式表示時怎么乘。這正是符合“一個法則、兩個例題”的內容。法則就是“模相乘，輻角相加”，推導用到三角函數的恒等變換。這時，他發現時間不夠了，可能有點慌，第一個例題竟然講錯了。第二個例題剛講完，就打下課鈴了，作業也來不及布置。

一節課，應當著重教真正的數學。我認為，15分鐘就可以講完了，就那一點關鍵的東西，不多。如果多了，學生肯定接受不了。

最后，說一點很高興的事：桃李芬芳。一輩子教書，教過中學，教過大學；教了數學，也教了點數學教育。學生很多，很多都比我強、比我好。我在中科大教過的一個學生，一個很厲害的學生，叫陳秀雄，他得到了數學界的兩個大獎：維布倫獎和西蒙斯獎。而且，他不但自己做得很好，帶的團隊（包括他的學生以及學生的學生）也做得很出色。但是，沒有人宣傳他。我覺得這是很不可思議的事，我們對數學、數學家乃至科學、科學家的宣傳太少了。

（單 墫，南京師范大學數學系原系主任，教授，博士生導師。中國首批18名博士之一。曾帶領我國中學生首次取得國際數學奧林匹克總分第一名。主要著作有《解題研究》《數學競賽研究教程》等。）