阿基米德對圓周率之估計及其與劉徽之“割圓術”的比較

歐陽順湘

(哈爾濱工業大學(深圳)理學院 518055)

1 引言

數學家們歷來提倡讀大師的原著以獲得啟發. 如阿貝爾通過閱讀高斯的《算術研究》而受益很深,并說:“要想在數學上取得進展,就應該閱讀大師的而不是他們的門徒的著作.”伍鴻熙在[15]中勸告讀者多讀大師作品,舉例言安德烈·韋伊(André Weil)就是通過閱讀高斯的著作獲得靈感而提出韋伊猜想的,又講到韋伊勸年輕人一定要找高斯、歐拉等第一流的數學家的全集來讀. 李文林在[8]中寫道:“閱讀數學家特別是數學大師們的原始著述,是了解數學的起源與發展的最直接與最可靠的途徑. 同時,這些原始著述向我們提供了數學創新思維的范例,學習歷史范例,可以‘促進數學發現的藝術,揭示數學發現的方法’,推動現實的數學研究.”

近年來,人們越來越重視數學史相關材料在數學教育中的作用[5-7],認為歷史范例可以在強調過程的數學教學中發揮作用,可以將數學家創造數學真理的思維過程活生生地展現在學生面前,在某種程度上改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學程式[6,7]. 無疑,數學史中最具啟發作用的范例在大師的原著中. 因此,從原著中汲取營養是自然而重要的. 只是為了教學的目的,有時可能需要將原著中的材料進行合理采取、適當整理與必要闡釋.

阿基米德是數學史上公認的最偉大的幾位數學家之一,其作品《圓的度量》[1,pp.282-288]是數學歷史上的珍寶.《圓的度量》包含三個命題. 第三個命題就是阿基米德著名的關于圓周率的上、下界的估計:

這個結論或許是《圓的度量》中最受人關注的部分.劉徽是我國魏晉時期杰出的數學家,他在《九章算術注》中對“圓田術”給的約1800個字的注,包含了奇妙的“割圓術”,給出了圓周率的估計.對初學者而言,“割圓術”原文可能稍顯晦澀,但其思想簡潔漂亮.輔以合適的解釋,中學師生能理解阿基米德、劉徽原著中關于圓周率估計的內容.

劉徽與阿基米德是光耀千古的中西雙壁,劉徽《九章算術注》中的“割圓術”足與阿基米德的《圓的度量》媲美,甚至更為精妙.將他們估計圓周率的數學技術和思想進行比較研究,可以更好地學習其中的數學思想,更清晰地認識到中外古代數學家們的智慧.

本文的主要目的是希望將阿基米德估計圓周率的原本方法以較友好的方式呈現給讀者,同時簡要介紹劉徽的“割圓術”,并對他們的方法進行對比,討論其異同與優劣.

(2.1)

這里的估計分數的特點在于它們非常接近真實值:

類似地,阿基米德在計算中還未加解釋地用到如下大數平方根的估計

以及

2.1 佩爾方程

所謂佩爾方程是指正整數對(x,y)所滿足的方程x2-Ny2=1,其中N為無平方因子的正整數.如果(x,y)是一組解,則由

2652-3×1532=-2, 13512-3×7802=1,

(p,q)=(70226,40545)=(2652+1,265×153)

是佩爾方程p2-3q2=1的解,因而有

2.2 調日法

下列引理被稱為調日法,常歸于我國南北朝時期數學家何承天.該方法通過調整有理數的分子分母以得到更佳近似值.

證明第一個結論可以用常規方法證明.第二個結論只要多次應用第一個結論即可得證.

圖1 希臘階梯示意圖(如由可得對此兩數應用調日法可得

2.3 連分數法

2.4 巴比倫法

設a0>0,

(2.2)

巴比倫法可以從我們現在熟悉的牛頓迭代法得到.設f(x)=x2-3,則牛頓迭代公式為

簡單整理易知

圖2 開方近似值的幾何示意圖

(2.3)

它只不過是完全平方展開式的簡單應用:

利用我們現在的知識,易理解(2.3)是麥克勞林級數展開的簡單應用:對任意|x|<1,有

近似公式(2.3)也等價于巴比倫方法:

克萊因認為阿基米德很可能是用如下與(2.3)有關聯的公式[3]

(2.4)

(未完待續)