基于OBE理念的“實變函數”課程教學探索與實踐

秦喜梅，趙開斌，彭維才，楊曉偉，查星星

（1.巢湖學院 數學與大數據學院，安徽 合肥 238000；2.中國科學技術大學 管理學院，安徽 合肥 230026）

實變函數論是19 世紀末20 世紀初，主要由法國數學家勒貝格創立的，其核心內容是Lebesgue積分理論。實變函數進一步發展了微積分學，不僅是數學分析的深化和推廣，也是現代數學研究的基礎。但由于實變函數概念和定理的抽象性、證明過程的邏輯性，讓很多學生望而卻步，他們覺得實變函數的很多概念像是“帽子里突然跑出了一只兔子”[1]。OBE理念中注重以學生為主體，以產出為導向，這種理論體系能更好地增強學生學習主動性和獲得感，這也說明OBE 理念為提升實變函數的教學效果帶來了新思路。

1 OBE理念內涵及教育發展要求

OBE（Outcome based education）的教育理念為成果導向教育、目標導向教育或需求導向教育。自從1981年由Spady等人提出OBE理念后，很快得到了人們的重視、認可與應用，并形成了一套比較完整的理論體系和實踐模式。

教育部于2017 年印發的《普通高等學校師范類專業認證實施辦法（暫行）》樹立了以“學生中心、產出導向、持續改進”為師范類專業認證的基本理念。新一輪的《普通高等學校本科教育教學審核評估實施方案（2021—2025 年）》中也要求推動“以學為中心、以教為主導”的課堂教學改革。所有這些都推動了OBE 理念在教育和教學中的指導和應用?！癘BE 進課堂”也因此成為教學改革的“最后一公里”[2]。在教學中融入OBE 理念，是推動高校教育教學變革的有效途徑之一，對創新型、應用型人才的培養具有重要意義。

2 課程教學存在的問題及相關研究現狀

2.1 課程教學中存在的問題

（1）教學形式單一、缺乏直觀演示，學生課堂參與度低。課堂教學模式多是教師一個人唱獨角戲，和學生互動的時間較少。學生往往依賴于教師單方面講述，疲于記錄筆記，課后僅僅憑借筆記、教材及習題來消化和吸收知識，與預期的教學設計效果有很大差距。

（2）學生在學習過程中容易出現急躁、急功近利的心理。隨著高等教育從“精英教育”向“大眾教育”的發展，加之“雙減”政策的實施，大學畢業生的數量增加，但就業崗位相對較少。就業的壓力促使學生選擇性學習，想去中學從教的認為作為中學教師不會碰到、不會用到像實變函數如此深奧、含混晦澀的理論，所以在上課時沒有學習的積極主動性，至多滿足上課不遲到、不早退。有些考研的學生認為初試不考實變函數，因此把絕大部分的時間和精力都用在初試的科目學習上，犧牲了實變函數的課程時間。

（3）教師的教學與自身的教科研聯系不緊密。一些教師只停留在講授課本知識，沒有將自己的教科研成果適當地轉化成教學案例，沒有讓學生體會到探索未知學術世界的樂趣，不利于學生創新能力的培養。

2.2 課程教學的研究現狀

曹廣福以測度論課題式教學案例，說明實施實變函數的課題式教學有利于培養學生的數學思維能力[3]。魏含玉研究了利用師范專業認證來破解實變函數課程教學中存在的問題[4]。劉益波等以可測集的性質為例，呈現了在實變函數中實施探究式教學的策略和方法[5]。余玉峰等討論了R2中面積和測度的關系，在實變函數課程中第一次把面積統一在測度之內[6]。依測度收斂是實變函數的一個教學難點，李成岳等研究了可測函數列依測度收斂與其Lebesgue積分的極限兩者之間的關系[7]。OBE理念的應用是近年來很多學者關注的熱點，對于OBE理念如何融入人才培養和一些課程的教育教學展開了詳細討論[8-10]，但OBE 理念在實變函數教學中的應用研究相對較少，而對于數學與應用數學專業師范認證、改革實變函數傳統的教學方式，OBE理念是深化教學改革、提高人才培養質量的有效途徑。

3 基于OBE理念的教學設計探索

3.1 基于超星學習通和微課的在線學習

信息化時代的快速發展使教育教學模式發生了翻天覆地的變化，“互聯網+教育”真正實現了教育的信息化。學習通里大量的網絡教學資源，為學生課前預習、課后的鞏固提供了自學的便捷途徑。

選用中國科學院數學與系統科學研究院李文林研究員的視頻“實變函數論簡史”，作為第一次課的總起介紹，選用超星學術視頻里華中師范大學李工寶教授的“實變函數”系列視頻作為自主學習視頻資源。把這些優質的教學視頻作為學習通中的任務點發布給學生觀看，讓學生隨時隨地進行學習，同時通過完成教師布置的練習題，進行知識的消化和鞏固。

教師也可以根據教學大綱和教學目標，結合班級學生的學情和特點，選取教學中的一些知識點錄制不同類型的微課。微課的主題可以是對教學中的某個重難點的突破，也可以是某類問題的專題講解，還可以是某個知識點的拓展延伸，這些短小精悍的微課不僅能讓學生根據自己的時間高效便捷地學習，而且能更好地滿足學生對知識點的個性化需求，為實變函數的課堂教學減負增效，實現了實變函數的移動教學、移動學習和移動閱讀（見表1）。

表1 視頻學習重點和微課主題部分示例

3.2 基于OBE理念的“問題驅動”課堂互動教學模式

問題驅動教學法即基于問題的教學方法，教師精心設計問題來形成利于學生思考的“問題鏈”，調動學生參與課堂的積極性，啟發學生連續地思考、深入地分析，根據問題的逐層深入去挖掘問題所體現的核心知識，提升學生的學習興趣和成就感，這與OBE理念中以學生為主體的理念不謀而合。

以Fatou 引理的講解為例，在教學中設置四個問題鏈，然后開展互動式教學，引導學生系統地應用所學知識，從探索疑問到解決疑問再到知識內化，實現從單純的講授型課堂向問題型課堂和能力型課堂轉變，強調學思結合。

問題1 能否把Fatou引理中的“≤”換成“=”？

下面的例題說明不能把Fatou 引理中的“≤”換成“=”。

例1 設

則?δ＞0，一方面有另一方面，

所以

問題2 Fatou引理中討論了非負可測函數列下極限的積分，以Fatou引理為基礎，能否討論一般可測函數的積分和上極限的積分？

定理1 設g(x)和h(x)都是可測集E上的可積函數，是E上的一列可測函數，

（1）如果對任意的n，有g(x)≤fn(x)，?x∈E，則

（2）如果對任意的n，有fn(x)≤h(x)，?x∈E，則

證明（1）當g(x)=0 時，此結論即為原Fatou 引理。

再證一般情形.由于對任意的n，有fn(x)-g(x)≥0，?x∈E，由Fatou引理知

即

已知g(x)在E上可積，所以積分∫Eg(x)dx的值有限，故由上式可得

從而

問題3 利用Fatou引理能否解決求極限與求積分交換順序的問題？

定理2 設函數g(x)和h(x)都是可測集E上的可積函數，是E上的一列可測函數。若對任意的n，有g(x)≤fn(x)≤h(x)，且于E，則

證明由定理1知，

問題4 利用Fatou 引理能判斷函數的可積性嗎？

結合Fatou引理，若再添加積分一致有界，則可以得到判定函數可積的一種新方法。

3.3 基于OBE理念的課后研討

作為課堂教學的延續，課后的及時研討不僅彌補了課堂教學時間的不足，而且還能有效地幫助學生拓寬知識面、培養合作精神，同時開放性任務的設置使學生學無壓力，并產生了“英雄有用武之地”的自信心和獲得感，提升了學生的學習興趣和主觀能動性。

課后研討首先要分析學生對實變函數學習的目標需求和學習障礙，然后基于OBE 理念根據目標需求反向設計研討專題，比如讓學生研討對名人軼事的感悟，針對某個知識點的深入探討、某個題目的多種解題方法等，教師也可以根據自身教科研進展，以科研成果豐富課程內容，選取和實變函數關系密切的教科研成果作為研討課題。

實變函數論中的Lebesgue 積分是通過經典方法定義的，其過程是經過三個步驟完成：非負簡單函數的積分，非負可測函數的積分，一般可測函數的積分。對于一般的可測函數，Lebesgue積分定義為其正部的積分和負部的積分之差，而正部和負部總是非負函數，所以非負可測函數的積分是Lebesgue積分理論的首要關鍵知識點。以非負可測函數的Lebesgue積分為例，教師將學生進行分組研討，引導學生探索非負簡單函數與非負可測函數積分的關系，從而得到非負可測函數積分的一種新算法，培養學生從特殊到一般、從簡單到復雜的數學思想。

引理1 設φ(x)是可測集E上的非負簡單函數，如果是E上單調遞增的非負簡單函數列，且在

證明 任取0 ＜α＜1 ，令En(α)=E[φn≥αφ]，?x∈E，則En(α)是E中的可測子集。

由于φ(x) 是E上的非負簡單函數，不妨設，其中χEi(x) 是Ei的示性函數，，φ(x)在互不相交的每個Fj(j=1,2,…,l)上取非負常數值bj，則

因為φnχEn(α)和φχEn(α)仍是E上的非負簡單函數，且在En(α)上φn(x)≥αφ(x)，所以φnχEn(α)≥αφχEn(α)，從而

已知在E上且函數列單調遞增，則集合列單調遞增收斂到E,從而{Fj?En(α)} 單調遞增且

故

因此

由于0 ＜α＜1是任意的，所以

定理4 設f(x)是可測集E上非負可測函數，則存在E上的非負簡單函數列{φn(x)} ,使得對任意x∈E，φk(x)≤φk+1(x)(k=1,2,…),且同時

證明由可測函數與簡單函數的關系[1]，只需證明

根據非負可測函數積分的定義知

從而

因此

綜上可得

注：對E上的任意非負單調遞增的簡單函數列{φn(x)} ,只要就有

由此得出非負可測函數積分的一種新方法。

定理5 設f(x)是可測集E上非負可測函數，則

證明對任意的正整數n，將[0,n]劃分為n·2n等份，令

則φn(x)是非負簡單函數，且

當f(x)≥n時，φn(x)=n;

當f(x)＜n時，

3.4 基于OBE理念的課程評價設計

為了充分體現學生的主體地位，將學生的評價過程貫穿整個教學活動中，實行“4+N”的評價方式，“4”即是作業+單元測試+期中考試+期末考試，側重考查學生對基本概念和基本理論的掌握情況；“N”是簽到+學習筆記+視頻觀看+課后研討+課程小論文+隨堂自主講解等內容，綜合成績=平時成績×50%+期末考試×50%，強調了過程性評價的比重，客觀地評價了學生學習的整體效果。同時為了避免評價過程出現漏洞，要求每項成績均達到60%以上分數，否則綜合成績設置為不及格。這種評價方式不僅能檢驗學生對實變函數基礎知識的掌握情況和綜合應用能力，而且考查了學生的自主學習能力、數學推理能力、團隊合作能力和創新能力。通過學習通提供的分數分布圖信息和學生的評教，反饋教學，持續地改進教學。

4 結語

基于OBE 理念對“實變函數”課程進行教學模式和教學內容的探索、改革、調整和完善，在實際的教學活動實踐中已取得一系列的教學效果和后續的升學效應。在教學中引導學生進行認知探究，轉變學生的學習習慣，引導學生發現問題，輔助學生分析問題，關注學生的思維能力、實踐能力和創新精神，逐步實現從“知識的傳授”到“能力的培養”的轉變，不斷創新人才培養理念，逐步落實“以學生為中心、以成果為導向”的教育思想和理念，提升教學質量和水平，才能跟上新時代教育思想發展的步伐。