課程視野下的數學結構化教學

顧麗英

【摘 要】數學教材中每一個單元的知識點，都可以看作是整個數學學科知識體系中的一部分，如果把它們放進某一知識體系中去分析，就能凸顯數學學科知識的整體性。學生在日常的學習中不斷向更高的發展水平過渡，這需要有知識系統的助力，而數學結構化教學就是能夠達到這一目標的卓有成效的教學方法。

【關鍵詞】結構化教學 模型思維 動態思維 辯證思維

結構化教學是指教師通過整合豐富的教學資源，選擇合適的教學方法，組織多元的學習活動，使學生的知識結構逐漸形成，并在一定層面上形成相關學科領域的基本觀念，其中就包含學科基本思想。在結構化的數學教學中，學生可以順利地走向整體關聯的深度學習意義建構、靈活遷移應用和系統框架思維。

一、數軸模型思維結構——基于“數的認識”的結構化教學

在結構化教學中，教師必須站在教材整體邏輯體系的高度，從整體關聯的視角出發，逐步引領學生理解、掌握數學知識的內在結構，達到對教材內容的二次加工和梳理組建。這樣就可以順利地將“知識點”串聯成“知識鏈”，進而將“知識鏈”織成“知識網”，從而真正實現“點→線→面→體”的立體關聯。

“數的認識”是學生數學學習的重要基礎，數學教材以板塊形式，將知識點劃分為多個層次并分布在各年級。面對現有數學教材的這種編排方式，部分學生不能自主地將知識點聯結成知識網。這就要求教師從整體知識的高度，溝通知識之間的橫向聯系，并且借助合理的直觀模型，幫助學生逐步形成關于數的知識的多向性、網狀結構的認知，即完整認知結構的建構。

數軸模型與數知識的形成是相伴相隨的，在教學中，教師可以充分發揮數軸模型的作用。就像從數量到數的抽象過程，對于學生的認知來說，是一個質的飛躍，不能一蹴而就，而有了數軸模型，數量與直線上的點，就形成了一一對應的關系，數與形的內在聯系就能直觀地呈現在學生面前，使抽象的數有形可依，讓思維有了真實可靠的依托。

1.借助數軸三要素，建立自然數知識結構

自然數按照序數邏輯從左往右依次是0，1，2，3，…，每相鄰兩個數相差1，右邊的數比左邊緊鄰的數大1，每個自然數前面的一個數都是比它小1的自然數。這其實就是自然數順序性、方向性、無限性和排列的等差性等特點的具體呈現方式。自然數不僅可以表示“第幾個”，即序數意義，還可以表示成“幾個”，即基數意義。這些意義和特征，如果在數軸上表示出來就是數軸的原點、單位長度和正方向三要素，以及向右無限延伸的特征。在教學時，可以根據數的知識的教學進度，逐步形成并完善數軸。

2.借助數軸單位長度，完善小數知識建構

在認識自然數時，我們可以清楚地看到，每一個自然數對應的點在數軸上有序且等距排列著。事實上，數軸上的點是緊密連續排列的。并且，任意兩點之間可以無限制地不斷細分，從而產生無數個點，這是數軸無限性的一個表現。值得一提的是，數軸上每兩點間的距離不斷平均分的時候，其實，數軸上任意連續兩點之間仍舊會存在一個“距離”。這個距離就是我們說的單位長度。很明顯，小數在數軸上所對應的單位長度比自然數更加抽象、更加復雜。這就需要教師利用直觀的方式讓學生先理解把單位“1”平均分成10份、100份、1000份后每一份的含義，并由此展開想象、推理，從而使學生在理解和建構數軸單位長度的同時，深刻理解小數的無窮小以及每兩個小數之間小數個數無窮性的特點。

3.借助數軸左半軸，建構負數知識結構

引入負數，從運算的封閉性看，實現了數系的又一次擴展，實現了這個數系關于加減運算的自封閉，也就是說，兩個有理數經過加減運算，它們的結果依然是有理數。如此一來，負數的出現也就成了必然。我們從實際表示的意義來看，有很多需要進行相反意義的描述，負數的出現也就應運而生。

在完全理解負數產生的必要性的基礎上，如何引導學生精準架構負數知識結構呢？這就需要借助數軸左半軸了。負數在數軸上的表示方式與正數相比，單位長度的建構是完全一致的，不同的是，負數的無窮小對應的是數軸的向左無限延伸，方向與正數正好相反。在數的結構性教學中可以看到，借助數軸模型，可以便捷地完善數知識的建構，數軸模型的建構與數知識的結構性教學相輔相成。

二、數學動態思維結構——基于知識聯系的結構化教學

所謂數學的動態思維，是以數學中動態的基本概念為基礎，反映數學對象的運動、變化、發展過程及其數學對象間辯證關系的思維方法。

在小學階段，“圖形與幾何”部分的知識點同樣是逐層分布在各個年級的。如何運用動態思維結構，進行知識聯系的結構化教學呢？這里，我們以“平面圖形周長與面積的整理和復習”為例來進行分析。課前，教師指導學生把平面圖形的周長和面積的相關知識運用思維導圖進行梳理。（見圖1）

課堂上讓學生邊展示邊闡述：以長方形為起點，長方形的周長計算公式為C=（a+b）×2，長方形的面積計算公式為S=a×b。正方形是特殊的長方形（長、寬相等），由此推導出正方形的面積公式為S=a×a，周長計算公式為C=4a。再由長方形通過動態割補，溝通長方形與平行四邊形之間的關系，即長與底相等，寬與高相等，于是推導得出平行四邊形面積公式為S=ah。緊接著，由平行四邊形展開，通過上底一端向左縮短至一點，動態呈現平行四邊形變成三角形的過程，并揭示兩者之間的關系：等底等高。據此可以看出，這個三角形面積是對應的平行四邊形面積的二分之一，進而推導出三角形面積公式為S=ah÷2。梯形面積計算公式也是由平行四邊形上底一端向左縮短至一定距離，兩者之間的關系是梯形上底和下底的和等于平行四邊形的底、等高，且可以看出梯形面積等于對應平行四邊形面積的一半，于是可以推導得出，梯形面積計算公式為S=（a+b）×h÷2。對于圓的面積計算公式，我們可以這樣推導：把圓轉化成近似的長方形，長方形的長相當于圓周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑，于是由長方形面積公式推導得出圓面積計算公式為S=πr2，周長計算公式為C=2πr。（見圖2）

在這一教學過程中，教師從數學動態中的基本概念“長方形”出發，利用圖形運動培養學生的空間意識，引導他們通過思維導圖將平面圖形的周長和面積計算公式進行溝通、整理，通過鎖定學習內容中的各個關鍵要素，并且對其進行關聯分析，這樣就可以逐步豐富學習內容的內涵，進而讓學生將收獲到的散點知識逐步連成一條線，再形成由顯及隱、由形及數、由表及里的結構理解，再達成反向的由內及外的深度建構，從而使學生對小學階段平面圖形的周長和面積的知識建構有了清晰的脈絡，形成了一個比較完整的知識結構，發展了學生的空間意識，同時培養了學生的結構化思維。

三、數學辯證思維結構——基于探索發現的結構化教學

一般來說，數學辯證思維都是從聯系、運動、發展三個方面來考察對象的，它在數學學習和研究中起著重要的作用。在基于探索發現的結構化教學中，教師必須以發掘數學知識的本質為抓手，以整體建構方法結構為特征，以發展思維為導向，以培養數學核心素養為目標。如“角的度量”，這部分知識安排在四年級上冊，我們可以發現，學生在二、三年級已經學過了時間、貨幣、長度、面積、質量的度量，接下來，還要學習體積、容積的度量。學習“角的度量”時，教師首先可以引導學生從深度建構維度幫助學生建立“度量”的知識結構，接著通過喚醒、潛移、融通知識，緊緊抓住知識的本質，進而幫助學生透徹理解1°和學習過的1元、1小時、1厘米、1平方米、1千克等一樣，也是一個度量單位，從而真正實現知識的正遷移，使學生達成對知識結構的學習和理解，形成知識的完整結構。

在這一過程中，我們還需要完成一個更重要的任務——方法的結構化，引導學生經歷方法的統一過程，促進有深度的結構化教學的開展。在教學“角的度量”之前，教師可以提問學生：如何知道一條線段的長度？這樣以度量的問題為載體讓學生在知識儲備中找到知識本質，接著將其遷移運用到解決“角的度量”問題中?！敖堑亩攘俊边@一知識點的學習是一個新知識的學習，但它與貨幣、時間、長度、面積、質量甚至以后要學習的體積、容積等度量是一體的，從這個層面上理解，就可以形成統一的方法結構。

還有一個更為重要的任務，即思維的結構化。這需要教師深度明晰思維的整體脈絡，引導學生學會融會貫通。在教學中，教師可以把表象雜亂的問題整理得清晰有序，此刻需要思維結構化。因為思維結構化對于促進學生形成數學思維的內部秩序是非常有利的，還可以幫助學生實現認知結構的內部自我成長。在教學“角的度量”時，教師可以引導學生辨析幾種不同的測量方法，在度量知識結構形成的基礎上，讓學生探索度量方法，加上經過回顧，溝通長度、面積、角的度量方法，此刻，學生腦中已經初步架構完成角的度量方法的思維結構。在這樣的學習過程中，學生不僅經歷了動手、動腦的過程，更實現了單、雙向思維到立體思維的跨越。這樣，學生可以不斷完善和發展知識結構，進而使學習力和自我生長力得到最大化的提升。

綜上所述，我們可以發現，數學結構化教學不僅可以幫助學生完整地建構數學知識，還可以幫助學生逐步完善思維結構，不斷提升數學學習力，實現數學學習的高階發展。