程 靜,周菊玲
(新疆師范大學 數學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)
Weibull分布是一種常見的壽命分布,經常用于可靠性工程、生存分析、電力工程、管理科學等眾多領域許多學者[1-5]在雙邊定數截尾下,基于不同損失函數分別研究了廣義指數分布、Pareto分布、Burr Ⅻ分布、指數-威布爾分布和Topp-Leone分布參數的Bayes估計,且都利用隨機模擬對所得的估計結果進行了進一步的分析;其中鄧嚴林[5]還算出了未知參數的估計及預測值和預測區間;魏艷華[6]等在定數截尾樣本下利用混合Gibbs算法研究了逆威布爾分布參數的Bayes估計并進行了數值模擬,最終結果表明該算法是可行的;龍兵[7]在定數截尾樣本下研究了艾拉姆咖分布參數在不同損失函數下的Bayes估計,并利用數值模擬對各個估計結果優良性進行了分析;成軍祥[8]在不同的截尾數據下,研究了Weibull分布參數的極大似然估計.
假設X是服從兩參數Weibull分布的隨機變量,其分布函數為
密度函數為
故可靠度以及失效率分別為
其中η為尺度參數,β為形狀參數,且尺度參數η是未知的記為Weib(η,β).
在某些場合中,可以令α=η-β,則分布函數及密度函數如下
F(X)=1-e-αxβ,α>0,β>0
(1)
f(x)=βαxβ-1e-αxβ,α>0,β>0
(2)
可靠度為
R(X)=e-αxβ,α>0,β>0.
上述α為尺度參數,β為形狀參數,記為Weib(α,β).
在雙邊定數截尾樣本下進行壽命試驗,具體方案:假設有一批產品的壽命服從Weibull分布(1),從中隨機抽取n個產品進行試驗,規定到r個( 0 ≤r≤n) 產品失效時該試驗終止,即定數截尾試驗,把觀察到的次序失效數據設為x1≤x2≤ … ≤xr.但因為一些外部及實驗手段等原因,導致現實操作過程中會有部分數據未被觀察到,假設前s-1個數據丟失,此時把觀測到的次序統計量為:xs≤x(s+1)≤…≤xr,1≤s≤r≤n記為雙邊定數截尾樣本在雙邊定數截尾樣本下,當產品服從Weibull分布時,記x=(xs,xs+1,…,xr-1,xr),可得樣本(xs,xs+1,…,xr-1,xr)的聯合分布密度函數為
(3)
將式(1)和式(2)代入式(3),可得
(4)
(5)
把參數α當作隨機變量,當先驗分布選為無信息先驗分布時,分布密度為
(6)
由式(4)和式(6)得α的后驗密度為
2.1.1 刻度平方誤差損失函數下的Bayes估計
在刻度平方誤差損失函數下,Weibull分布參數α的Bayes估計為
證明利用α的后驗分布有
同理可得
從而得到
證畢.
2.1.2 Linex損失函數下的Bayes估計
Linex損失函數的表達式為
關于等式兩邊對參數α同時求后驗期望得
(7)
在Linex損失函數下Weibull分布尺度參數α的Bayes估計為
證明由式(7)可得
把參數α當作隨機變量,先驗分布選為共軛先驗Γ-分布族Γ(a,b),分布密度為
(8)
聯合式(4)和式(8),α的后驗密度為
2.2.1 刻度平方誤差損失函數下的Bayes估計
在刻度平方誤差損失函數下,對于給定的先驗分布式(8),Weibull分布參數α的Bayes估計為
證明利用α的后驗分布(h1(α|x)有
同理可得
從而得到
證畢.
2.2.2 Linex損失函數下的Bayes估計
在Linex損失函數下Weibull分布尺度參數α的Bayes估計為
證明由式(7)可得
從上述內容易知,α的Bayes估計仍有超參數a,b,因為需要進一步討論θ的多層Bayes估計.所以此時把超參數看成相互獨立的隨機變量,再給出一個先驗,稱為超先驗,進而求得α的多層Bayes估計.當Γ(a,b)分布的超參數00時,a,b先驗分布分別為均勻分布,即
π2(a)=U(0,1),π2(b)=U(0,g).
上式的g是一個常數且不適合過大,因為當先驗分布的尾部越窄,所對應的Bayes估計的穩健性越差.
α的多層先驗密度函數為
(9)
定理1 基于Weibull分布,把式(9)作為α的先驗分布,則在刻度平方誤差損失、Linex損失函數下,α的多層Bayes估計分別為
證明先證刻度平方誤差損失函數下α的多層Bayes估計為
首先α的后驗密度是
其次α的多層Bayes估計為
接著證明Linex損失函數下α的多層Bayes估計為
表1 不同損失函數下參數α的Bayes估計
由表1可見,無論在刻度平方誤差損失下還是Linex損失下Γ先驗分布都比無先驗分布下的Bayes估計好.但是當在刻度平方誤差損失下,選用Γ先驗分布時,參數α的估計結果更接近真實值.
基于雙邊定數截尾Weibull分布壽命試驗數據,結果表明在刻度平方誤差損失函數下得到的Bayes估計比Linex損失下更接近真值.